2019-2020年高考數(shù)學(xué)二模試卷 文（含解析）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二模試卷 文（含解析） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．（5分）集合{x∈Z|﹣1≤x≤1}的子集個數(shù)為（） A． 3 B． 4 C． 7 D． 8 2．（5分）若復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z=i，其中i為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面上復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 3．（5分）已知向量，，則向量與的夾角為（） A． B． C． D． 4．（5分）由不等式組確定的平面區(qū)域記為M，若直線3x﹣2y+a=0與M有公共點，則a的最大值為（） A． ﹣3 B． 1 C． 2 D． 4 5．（5分）某班有49位同學(xué)玩“數(shù)字接龍”游戲，具體規(guī)則按如圖所示的程序框圖執(zhí)行（其中a為座位號），并以輸出的值作為下一個輸入的值，若第一次 輸入的值為8，則第三次輸出的值為（） A． 8 B． 15 C． 29 D． 36 6．（5分）不可能以直線作為切線的曲線是（） A． y=sinx B． C． y=lnx D． y=ex 7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則A=（） A． B． C． D． 8．（5分）已知函數(shù)f（x）=（x+a）（bx+2a），（a，b∈R），則“a=0”是“f（x）為偶函數(shù)”的（） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充分必要條件 D． 既充分也不必要條件 9．（5分）已知a，b，c均為直線，α，β為平面，下面關(guān)于直線與平面關(guān)系的命題： （1）任意給定一條直線與一個平面α，則平面α內(nèi)必存在與a垂直的直線； （2）a∥β，β內(nèi)必存在與a相交的直線； （3）α∥β，a?α，b?β，必存在與a，b都垂直的直線； （4）α⊥β，α∩β=c，a?α，b?β，若a不垂直c，則a不垂直b． 其中真命題的個數(shù)為（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 10．（5分）若集合P具有以下性質(zhì)： ①0∈P，1∈P； ②若x，y∈P，則x﹣y∈P，且x≠0時，∈P． 則稱集合P是“Γ集”，則下列結(jié)論不正確的是（） A． 整數(shù)集Z是“Γ集” B． 有理數(shù)集Q是“Γ集” C． 對任意的一個“Γ集”P，若x，y∈P，則必有xy∈P D． 對任意的一個“Γ集”P，若x，y∈P，且x≠0，則必有 二、填空題：本大題共3小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分15分.（一）必做題（11～13題） 11．（5分）已知等差數(shù)列{an}滿足a3+a4=12，3a2=a5，則a6=． 12．（5分）用兩種不同的顏色給圖中三個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，則相鄰兩個矩形涂不同顏色的概率是． 13．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，過x軸上的一個動點P引圓C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，則線段AB長度的取值范圍是． （二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）【極坐標(biāo)與參數(shù)方程選講】 14．（5分）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，曲線C的極坐標(biāo)方程為，則直線l和曲線C的公共點有個． 【幾何證明選講】 15．如圖，AB是圓O的直徑，CD⊥AB于D，且AD=2BD，E為AD的中點，連接CE并延長交圓O于F，若CD=，則EF=． 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 16．（12分）已知函數(shù)． （1）求的值； （2）求函數(shù)f（x）的值域和單調(diào)遞增區(qū)間． 17．（12分）寒假期間，很多同學(xué)都喜歡參加“迎春花市擺檔口”的社會實踐活動，下表是今年某個檔口某種精品的銷售數(shù)據(jù)． 日期 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日 2月18日 銷售量（件） 白天 35 32 43 39 51 晚上 46 42 50 52 60 已知攤位租金900元/檔，售余精品可以以進貨價退回廠家． （1）畫出表中10個銷售數(shù)據(jù)的莖葉圖，并求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)； 明年花市期間甲、乙兩位同學(xué)想合租一個攤位銷售同樣的精品，其中甲、乙分別承包白天、晚上的精品銷售，承包時間段內(nèi)銷售所獲利潤歸承包者所有．如果其它條件不變，以今年的數(shù)據(jù)為依據(jù)，甲、乙兩位同學(xué)應(yīng)如何分擔(dān)租金才較為合理？ 18．（14分）如圖，平面ABCD⊥平面PAB，且四邊形ABCD為正方形，△PAB為正三角形，M為PD的中點，E為線段BC上的動點． （1）若E為BC的中點，求證：AM⊥平面PDE； （2）若三棱錐A﹣PEM的體積為，求正方形ABCD的邊長． 19．（14分）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，數(shù)列{an}滿足a1=a，，其中a＜0． （1）求數(shù)列{an}的通項公式； （2）設(shè)，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，若當(dāng)且僅當(dāng)n=4時，Tn取得最小值，求a的取值范圍． 20．（14分）已知橢圓E：過點（0，﹣1），且離心率為． （1）求橢圓E的方程； （2）如圖，A，B，D是橢圓E的頂點，M是橢圓E上除頂點外的任意一點，直線DM交x軸于點Q，直線AD交BM于點P，設(shè)BM的斜率為k，PQ的斜率為m，則點N（m，k）是否在定直線上，若是，求出該直線方程，若不是，說明理由． 21．（14分）設(shè)常數(shù)a＞0，λ∈R，函數(shù)f（x）=x2（x﹣a）﹣λ（x+a）3． （1）若函數(shù)f（x）恰有兩個零點，求λ的值； （2）若g（λ）是函數(shù)f（x）的極大值點，求g（λ）的取值范圍． 廣東省佛山市xx高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．（5分）集合{x∈Z|﹣1≤x≤1}的子集個數(shù)為（） A． 3 B． 4 C． 7 D． 8 考點： 子集與真子集． 專題： 集合． 分析： 先求出集合中的元素的個數(shù)，從而求出集合的子集的個數(shù)． 解答： 解：集合{x∈Z|﹣1≤x≤1}={﹣1，0，1}， ∴子集的個數(shù)是23=8， 故選：D． 點評： 本題考查了集合的子集的個數(shù)，若集合有n個元素，則集合的子集有2n個，本題屬于基礎(chǔ)題． 2．（5分）若復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z=i，其中i為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面上復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考點： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 專題： 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)． 分析： 直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出z的坐標(biāo)得答案． 解答： 解：由（1﹣i）z=i，得， ∴在復(fù)平面上復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（），位于第二象限． 故選：B． 點評： 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題． 3．（5分）已知向量，，則向量與的夾角為（） A． B． C． D． 考點： 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角． 專題： 計算題；平面向量及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算求出兩向量的夾角即可． 解答： 解：向量，， ∴cosθ===﹣， 又θ∈[0，π）， ∴向量與的夾角為． 故選：C． 點評： 本題考查了利用平面向量的坐標(biāo)運算求向量夾角的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目． 4．（5分）由不等式組確定的平面區(qū)域記為M，若直線3x﹣2y+a=0與M有公共點，則a的最大值為（） A． ﹣3 B． 1 C． 2 D． 4 考點： 簡單線性規(guī)劃． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求a的最大值． 解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）． 由3x﹣2y+a=0得y=x+， 平移直線y=x+， 由圖象可知當(dāng)直線y=x+經(jīng)過點A時，直線y=x+的截距最大， 此時a最大． 由得，即A（1，0）， 代入3x﹣2y+a=0得3+a=0． 解得a=﹣3， 即a的最大值為﹣3． 故選：A 點評： 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法． 5．（5分）某班有49位同學(xué)玩“數(shù)字接龍”游戲，具體規(guī)則按如圖所示的程序框圖執(zhí)行（其中a為座位號），并以輸出的值作為下一個輸入的值，若第一次 輸入的值為8，則第三次輸出的值為（） A． 8 B． 15 C． 29 D． 36 考點： 程序框圖． 專題： 算法和程序框圖． 分析： 由已知中的程序框圖，可知該程序的功能是利用條件結(jié)構(gòu)，計算并輸出變量a的值，模擬程序的運行過程，可得答案． 解答： 解：輸入a=8后，滿足進條件，則輸出a=15， 輸入a=15后，滿足條件，則輸出a=29， 輸入a=29后，不滿足條件，則輸出a=8， 故第三次輸出的值為8， 故選：A 點評： 本題考查的知識點是程序框圖，模擬運行法是解答此類問題常用的方法，要注意分析模擬過程中變量值的變化情況． 6．（5分）不可能以直線作為切線的曲線是（） A． y=sinx B． C． y=lnx D． y=ex 考點： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 專題： 導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；直線與圓． 分析： 分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點，求出切線的斜率，令它們?yōu)?，解方程即可判斷是否可能? 解答： 解：對于A．y=sinx的導(dǎo)數(shù)為y′=cosx，令切點為（m，n），則cosm=，m存在，則A可能； 對于B．y=的導(dǎo)數(shù)為y′=﹣，令切點為（m，n），則﹣=，即m∈?，則B不可能； 對于C．y=lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=，令切點為（m，n），則=，解得m=2，則C可能； 對于D．y=ex的導(dǎo)數(shù)為y′=ex，令切點為（m，n），則em=，則m=ln，則D可能． 故選B． 點評： 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點處切線的斜率，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題． 7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則A=（） A． B． C． D． 考點： 余弦定理；正弦定理． 專題： 解三角形． 分析： 由條件利用正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式求得cosA=，可得A的值． 解答： 解：△ABC中，由，利用正弦定理可得（ sinC﹣sinB）cosA=sinAcosB， 即sinC?cosA=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC，∴cosA=，∴A=， 故選：C． 點評： 本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題． 8．（5分）已知函數(shù)f（x）=（x+a）（bx+2a），（a，b∈R），則“a=0”是“f（x）為偶函數(shù)”的（） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充分必要條件 D． 既充分也不必要條件 考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 專題： 簡易邏輯． 分析： 根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合偶函數(shù)的定義進行判斷即可． 解答： 解：f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx2+a（2+b）x+2a2， 若a=0，則f（x）=bx2，為偶函數(shù)， 若f（x）為偶函數(shù)，則f（﹣x）=f（x）， 則bx2﹣a（2+b）x+2a2=bx2+a（2+b）x+2a2， 即﹣a（2+b）=a（2+b）， 即a（2+b）=0，解得a=0或b=﹣2，即必要性不成立， 即“a=0”是“f（x）為偶函數(shù)”的充分不必要條件， 故選：A 點評： 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵． 9．（5分）已知a，b，c均為直線，α，β為平面，下面關(guān)于直線與平面關(guān)系的命題： （1）任意給定一條直線與一個平面α，則平面α內(nèi)必存在與a垂直的直線； （2）a∥β，β內(nèi)必存在與a相交的直線； （3）α∥β，a?α，b?β，必存在與a，b都垂直的直線； （4）α⊥β，α∩β=c，a?α，b?β，若a不垂直c，則a不垂直b． 其中真命題的個數(shù)為（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考點： 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系． 專題： 空間位置關(guān)系與距離． 分析： 利用空間線面關(guān)系性質(zhì)定理和判定定理對選項分別分析解答． 解答： 解：對于（1），任意給定一條直線與一個平面α，如果線面垂直，顯然命題成立；如果線面不垂直，則直線在平面內(nèi)必垂直射影，在平面一定能找到一條直線與射影垂直，根據(jù)射影定理，命題也成立；故任意給定一條直線與一個平面α，則平面α內(nèi)必存在與a垂直的直線是正確的； 對于（2），a∥β，則直線與平面內(nèi)直線一定沒有交點，所以β內(nèi)不存在與a相交的直線；故（2）錯誤； 對于（3），α∥β，a?α，b?β，與兩個平面垂直的直線，與直線a，b垂直，故必存在與a，b都垂直的直線；所以（3）正確； 對于（4），α⊥β，α∩β=c，a?α，b?β，若a不垂直c，則a不垂直于平面β，但是直線a可能與直線b垂直；故（4）錯誤； 故選：B． 點評： 本題考查了空間線面關(guān)系性質(zhì)定理和判定定理的運用，注意考慮特殊情況． 10．（5分）若集合P具有以下性質(zhì)： ①0∈P，1∈P； ②若x，y∈P，則x﹣y∈P，且x≠0時，∈P． 則稱集合P是“Γ集”，則下列結(jié)論不正確的是（） A． 整數(shù)集Z是“Γ集” B． 有理數(shù)集Q是“Γ集” C． 對任意的一個“Γ集”P，若x，y∈P，則必有xy∈P D． 對任意的一個“Γ集”P，若x，y∈P，且x≠0，則必有 考點： 命題的真假判斷與應(yīng)用． 專題： 簡易邏輯． 分析： A．當(dāng)x=2時，?Z，即可判斷出正誤； B．?x，y∈P，則x﹣y∈P，且x≠0時，∈P，即可判斷出正誤； C．由已知可得：?x，y∈P，則x﹣y∈P，可得x+y∈P．若x，y中有0或1時，顯然xy∈P．下設(shè)x，y均不為0，1．由定義可知：x﹣1，，∈P．可得∈P．從而得到x2∈P．2xy=（x+y）2﹣x2﹣y2∈A．于是∈P．=∈P，可得 xy∈P． D．對任意的一個“Γ集”P，若x，y∈P，且x≠0，則∈P，由C可知：必有=，即可判斷出正誤． 解答： 解：A．當(dāng)x=2時，?Z，所以整數(shù)集Z不是“Γ集”； B．?x，y∈P，則x﹣y∈P，且x≠0時，∈P，因此有理數(shù)集Q是“Γ集”； C．由已知可得：?x，y∈P，則x﹣y∈P，取x=0，可得﹣y∈P，∴x﹣（﹣y）=x+y∈P． 若x，y中有0或1時，顯然xy∈P． 下設(shè)x，y均不為0，1．由定義可知：x﹣1，，∈P．∴∈A，即∈P．∴x（x﹣1）∈P．因此x（x﹣1）+x∈P，即x2∈P． 同理可得y2∈P．若x+y=0或x+y=1，則顯然（x+y）2∈P．若x+y≠0，或x+y≠1，則（x+y）2∈P．∴2xy=（x+y）2﹣x2﹣y2∈A．∴∈P．=∈P， ∴xy∈P．即C為真命題． D．對任意的一個“Γ集”P，若x，y∈P，且x≠0，則∈P，由C可知：必有=，因此正確． 綜上可知：只有A不正確． 故選：A． 點評： 本題考查了新定義、集合的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題． 二、填空題：本大題共3小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分15分.（一）必做題（11～13題） 11．（5分）已知等差數(shù)列{an}滿足a3+a4=12，3a2=a5，則a6=11． 考點： 等差數(shù)列的通項公式． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 由題意可得首項和公差的方程組，解方程組由等差數(shù)列的通項公式可得． 解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， ∵a3+a4=12，3a2=a5， ∴2a1+5d=12，3（a1+d）=a1+4d， 聯(lián)立解得a1=1，d=2， ∴a6=a1+5d=11 故答案為：11 點評： 本題考查等差數(shù)列的通項公式，涉及方程組的解法，屬基礎(chǔ)題． 12．（5分）用兩種不同的顏色給圖中三個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，則相鄰兩個矩形涂不同顏色的概率是． 考點： 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： 所有可能的基本事件共有8個，相鄰兩個矩形涂不同顏色的有2種情況，即得答案． 解答： 解：記兩種不同的顏色分別為1，2，則所有可能的基本事件共有8個， 如圖所示． 記“相鄰兩個矩形涂不同顏色”為事件A，由圖知， 事件A的基本事件有2個，所以P（A）=． 故答案為：． 點評： 本題考查分步計數(shù)的原理的運用，屬基礎(chǔ)題． 13．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，過x軸上的一個動點P引圓C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，則線段AB長度的取值范圍是[，2）． 考點： 圓的切線方程． 專題： 直線與圓． 分析： 利用直線和圓的位置關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論． 解答： 解：圓心C（1，2），半徑R=1， 要使AB長度最小，則∠ACB最小，即∠PCB最小， 即PC最小即可， 則當(dāng)P位于P（1，0）時，滿足條件， 此時CP=2，則∠PCB=60，∠ACB=120，即AB=， 當(dāng)點P在x軸正半軸或者負半軸上無限取值時，∠ACO→180， 此時AB→直徑2， 故≤AB＜2， 故答案為：[，2） 點評： 本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度． （二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）【極坐標(biāo)與參數(shù)方程選講】 14．（5分）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，曲線C的極坐標(biāo)方程為，則直線l和曲線C的公共點有1個． 考點： 簡單曲線的極坐標(biāo)方程；直線的參數(shù)方程． 專題： 直線與圓． 分析： 把參數(shù)方程化為普通方程，得到方程表示一條直線．把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，表示一個圓．圓心到直線的距離等于半徑，可得直線和圓相切，從而得到結(jié)論． 解答： 解：把直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為直角坐標(biāo)方程為 x﹣y+4=0，表示一條直線． 曲線C的極坐標(biāo)方程為，即 ρ2=4ρ（+），即 x2+y2=4y+4x， 即 （x﹣2）2+（y﹣2）2=8，表示以（2，2）為圓心，以r=2為半徑的圓． 圓心到直線的距離等于 d==2=半徑r，故直線和圓相切，故直線l和曲線C的公共點的個數(shù)為 1， 故答案為 1． 點評： 本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系的判定，屬于基礎(chǔ)題． 【幾何證明選講】 15．如圖，AB是圓O的直徑，CD⊥AB于D，且AD=2BD，E為AD的中點，連接CE并延長交圓O于F，若CD=，則EF=． 考點： 與圓有關(guān)的比例線段；相似三角形的性質(zhì)． 專題： 選作題；推理和證明． 分析： AB是圓O的直徑，可得∠ACB=90．利用射影定理可得CD2=AD?DB．已知AD=2DB，得DB=1，已知E為AD的中點，可得ED=1．在Rt△CDE中，利用勾股定理可得CE．利用△ACE∽△FBE可得：EA?EB=EC?EF，即可求得EF． 解答： 解：在Rt△ABC中，CD⊥AB于D，∴CD2=AD?BD=2BD2=2， ∴DB=1， ∵E為AD的中點， ∴AE=ED=1， ∴， 又△ACE∽△FBE，∴． 故答案為：． 點評： 熟練掌握圓的性質(zhì)、射影定理、勾股定理、相交弦定理是解題的關(guān)鍵． 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 16．（12分）已知函數(shù)． （1）求的值； （2）求函數(shù)f（x）的值域和單調(diào)遞增區(qū)間． 考點： 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象． 專題： 三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： （1）首先利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)的關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的值． （2）利用正弦型函數(shù)的解析式，進一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，最后利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 解答： 解：（1） =2（） =2sin（2x+）， 所以：f（）=2sin（π+）=﹣． （2）由于：x∈R，且f（x）=2sin（2x+）， 所以函數(shù)的值域為：f（x）∈[﹣2，2]． 令： 整理得：，（k∈Z） 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[]（k∈Z） 點評： 本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，利用正弦型函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域，利用整體思想求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力． 17．（12分）寒假期間，很多同學(xué)都喜歡參加“迎春花市擺檔口”的社會實踐活動，下表是今年某個檔口某種精品的銷售數(shù)據(jù)． 日期 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日 2月18日 銷售量（件） 白天 35 32 43 39 51 晚上 46 42 50 52 60 已知攤位租金900元/檔，售余精品可以以進貨價退回廠家． （1）畫出表中10個銷售數(shù)據(jù)的莖葉圖，并求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)； 明年花市期間甲、乙兩位同學(xué)想合租一個攤位銷售同樣的精品，其中甲、乙分別承包白天、晚上的精品銷售，承包時間段內(nèi)銷售所獲利潤歸承包者所有．如果其它條件不變，以今年的數(shù)據(jù)為依據(jù)，甲、乙兩位同學(xué)應(yīng)如何分擔(dān)租金才較為合理？ 考點： 莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)． 專題： 計算題；概率與統(tǒng)計． 分析： （1）以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，畫出莖葉圖， 根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計算中位數(shù)與平均數(shù)即可； （2）計算今年花市期間白天與晚上的平均銷售量，按此比例收取甲、乙二同學(xué)的租金比較合理． 解答： 解：（1）以十位數(shù)為莖，個位?數(shù)為葉，畫出莖葉圖，如圖所示； 這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是=44.5， 平均數(shù)是=45； （2）由題意，今年花市期間該攤位所售精品的銷售量與時間段有關(guān)， 明年合租攤位的租金較為合理的分?jǐn)偡椒ㄊ歉鶕?jù)今年的平均銷售量按比例分擔(dān)， 因為今年白天的平均銷售量為=40（件/天）， 今年晚上的平均銷售量為=50（件/天）； 所以甲同學(xué)應(yīng)分擔(dān)的租金為900=400（元）， 乙同學(xué)應(yīng)分擔(dān)的租金為900=500（元）． 點評： 本題考查了莖葉圖的應(yīng)用問題，也考查了中位數(shù)與平均數(shù)的計算問題，是基礎(chǔ)題目． 18．（14分）如圖，平面ABCD⊥平面PAB，且四邊形ABCD為正方形，△PAB為正三角形，M為PD的中點，E為線段BC上的動點． （1）若E為BC的中點，求證：AM⊥平面PDE； （2）若三棱錐A﹣PEM的體積為，求正方形ABCD的邊長． 考點： 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定． 專題： 空間位置關(guān)系與距離． 分析： （1）取AP的中點O，連接MO，BO．又DM=MP，利用正方形的性質(zhì)與三角形中位線定理可得：四邊形MOBE為平行四邊形，EM∥OB．由△PAB為正三角形，可得BO⊥AP，利用面面線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得：AD⊥平面ABP，得到AD⊥OB，因此OB⊥平面PAD，OB⊥AM，．由AP=AD，M為PD的中點，可得AM⊥PD．即可證明：AM⊥平面PDE； （2）BC∥AD，可得：BC∥平面PAD．由（I）可知：OB⊥平面PAD，故OB為三棱錐E﹣APM的高，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，利用VE﹣APM=?OB=．又VE﹣APM=VA﹣EPM，即可解出． 解答： （1）證明：取AP的中點O，連接MO，BO．又DM=MP， ∴，又， ∴， ∴四邊形MOBE為平行四邊形， ∴EM∥OB． ∵△PAB為正三角形，∴BO⊥AP， 由四邊形ABCD為正方形，∴AD⊥AB， ∵平面ABCD⊥平面ABP，平面ABCD∩平面ABP=AB，AD?平面ABCD， ∴AD⊥平面ABP，OB?平面PAB，∴AD⊥OB， 又PA∩AD=A，∴OB⊥平面PAD． 又AM?平面PAD，∴OB⊥AM，即EM⊥AM． 又AP=AD，M為PD的中點，∴AM⊥PD． 又EM∩PD=M，∴AM⊥平面PDE； （2）解：BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD． ∴BC∥平面PAD．由（I）可知：OB⊥平面PAD，故OB為三棱錐E﹣APM的高， 設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則VE﹣APM=?OB==． 又VE﹣APM=VA﹣EPM，∴，解得a=3． 即正方形的邊長a=2． 點評： 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、正方形與正三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三棱錐的體積計算公式，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題． 19．（14分）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，數(shù)列{an}滿足a1=a，，其中a＜0． （1）求數(shù)列{an}的通項公式； （2）設(shè)，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，若當(dāng)且僅當(dāng)n=4時，Tn取得最小值，求a的取值范圍． 考點： 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （1）由，其中a＜0，利用遞推式可得：．利用等比數(shù)列的通項公式即可得出． （2）=+n﹣1，又a＜0，可得數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增數(shù)列．由當(dāng)且僅當(dāng)n=4時，Tn取得最小值，可得T3＞T4，T4＜T5，可得b4＜0，b5＞0．解出即可． 解答： 解：（1）由，其中a＜0， ∴當(dāng)n≥2時，， ∴an=（2n﹣1）an﹣（2n﹣1﹣1）an﹣1，化為． ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項為a，公比為， ∴． （2）=+n﹣1，又a＜0， ∴數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增數(shù)列． 當(dāng)且僅當(dāng)n=4時，Tn取得最小值， ∴T3＞T4，T4＜T5， 解得b4＜0，b5＞0． 又當(dāng)b4＜0，b5＞0時，數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增數(shù)列，可知：Tn取得最小值時，n=4． 即當(dāng)且僅當(dāng)n=4時，Tn取得最小值的充要條件為當(dāng)b4＜0，b5＞0． 由b4＜0，b5＞0，解得﹣64＜a＜﹣24， ∴a的取值范圍是（﹣64，﹣24）． 點評： 本題考查了等比數(shù)列的定義通項公式、數(shù)列的單調(diào)性、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 20．（14分）已知橢圓E：過點（0，﹣1），且離心率為． （1）求橢圓E的方程； （2）如圖，A，B，D是橢圓E的頂點，M是橢圓E上除頂點外的任意一點，直線DM交x軸于點Q，直線AD交BM于點P，設(shè)BM的斜率為k，PQ的斜率為m，則點N（m，k）是否在定直線上，若是，求出該直線方程，若不是，說明理由． 考點： 橢圓的簡單性質(zhì)． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （1）由已知得b和，結(jié)合隱含條件a2=b2+c2求得a，b的值，則橢圓方程可求； （2）由題意求出A，B，D的坐標(biāo)，得到直線AD的方程，再設(shè)出直線BP方程，聯(lián)立兩直線方程求得P的坐標(biāo)，聯(lián)立直線BP的方程與橢圓方程求得M的坐標(biāo)，再由M，D，Q三點共線求得Q的坐標(biāo)，代入兩點求斜率公式得到直線PQ的斜率，整理后即可得到關(guān)于k，m的等式，則可求得點N（m，k）所在定直線方程． 解答： 解：（1）依題意，b=1，，又a2=b2+c2， ∴3a2=4c2=4（a2﹣b2）=4a2﹣4，即a2=4． ∴橢圓E的方程為：； （2）由（1）知，A（﹣2，0），B（2，0），D（0，1）， ∴直線AD的方程為y=， 由題意，直線BP的方程為y=k（x﹣2），k≠0且k， 由，解得P（）， 設(shè)M（x1，y1），則由，消去y整理得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0． ∴，即，． 即M（）， 設(shè)Q（x2，0），則由M，D，Q三點共線得：kDM=kDQ，即， ∴，則， ∴PQ的斜率m=． ∴2k+1=4m，即點N（m，k）在定直線4x﹣2y﹣1=0上． 點評： 本題考查了橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，訓(xùn)練了直線和圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，（2）的求解著重體現(xiàn)了“舍而不求”和整體運算思想方法，屬中高檔題． 21．（14分）設(shè)常數(shù)a＞0，λ∈R，函數(shù)f（x）=x2（x﹣a）﹣λ（x+a）3． （1）若函數(shù)f（x）恰有兩個零點，求λ的值； （2）若g（λ）是函數(shù)f（x）的極大值點，求g（λ）的取值范圍． 考點： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)零點的判定定理；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 專題： 計算題；分類討論；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （1）分類討論，當(dāng)λ=1時，f（x）=x2（x﹣a）﹣（x+a）3=﹣a（4x2+3ax+a2）；由二次函數(shù)的性質(zhì)判斷；當(dāng)λ≠1時，則必有一個零點是極值點；不妨設(shè)該零點為x0， 從而可得f（x0）=x02（x0﹣a）﹣λ（x0+a）3=0，再求導(dǎo)得f′（x0）=3x02﹣2ax0﹣3λ（x0+a）2=0，從而解得x0=0或x0=；再檢驗即可； （2）求導(dǎo)f′（x）=3x2﹣2ax﹣3λ（x+a）2=3（1﹣λ）x2﹣2a（1+3λ）x﹣3λa2，分類討論； ①當(dāng)λ=1時，f′（x）=﹣8ax﹣3a2；從而確定極大值點g（λ）=﹣a； ②當(dāng)λ≠1時，1﹣λ≠0，令△=4a2（1+3λ）2+36（1﹣λ）λa2=4a2（1+15λ），討論二次項系數(shù)及判斷式的正負以確定f′（x）的正負，從而確定極大值點g（λ）；可得λ＞﹣且λ≠1時，g（λ）=a；再利用換元法令=t，則λ=，（t＞0且t≠4）；從而得g（λ）=h（t）=a；從而求取值范圍． 解答： 解：（1）當(dāng)λ=1時，f（x）=x2（x﹣a）﹣（x+a）3 =﹣a（4x2+3ax+a2）； ∵﹣a＜0，△=（3a）2﹣16a2=﹣7a2＜0， ∴f（x）＜0恒成立；故沒有零點； 當(dāng)λ≠1時，函數(shù)f（x）恰有兩個零點； 則必有一個零點是極值點； 不妨設(shè)該零點為x0， 則f（x0）=x02（x0﹣a）﹣λ（x0+a）3=0， 即x02（x0﹣a）=λ（x0+a）3，① 又f′（x）=3x2﹣2ax﹣3λ（x+a）2 故f′（x0）=3x02﹣2ax0﹣3λ（x0+a）2=0，② 由①②化簡可得， x0=0或x0=； 經(jīng)檢驗，當(dāng)x0=0時成立，此時λ=0； 當(dāng)x0=時也成立，此時λ=﹣； 故λ=0或λ=﹣； （2）∵f′（x）=3x2﹣2ax﹣3λ（x+a）2 =3（1﹣λ）x2﹣2a（1+3λ）x﹣3λa2； ①當(dāng)λ=1時，f′（x）=﹣8ax﹣3a2； 則x＜﹣a時，f′（x）＞0，x＞﹣a時，f′（x）＜0； 故g（λ）=﹣a； ②當(dāng)λ≠1時，1﹣λ≠0，令△=4a2（1+3λ）2+36（1﹣λ）λa2=4a2（1+15λ）， （i）當(dāng)λ≤﹣時，1﹣λ＞0且△≤0，故f′（x）≥0， 函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）無極值點； （ii）當(dāng)﹣＜λ＜1時，1﹣λ＞0且△＞0， 由f′（x）=0解得， x1=a，x2=a； 注意到x1＜x2，且x＜x1時，f′（x）＞0，x1＜x＜x2時，f′（x）＜0，x＞x2時，f′（x）＞0； 故g（λ）=a； （iii）當(dāng)λ＞1時，1﹣λ＜0且△＞0， 由f′（x）=0解得， x1=a，x2=a； 注意到x1＞x2，且x＜x2時，f′（x）＜0，x2＜x＜x1時，f′（x）＞0，x＞x1時，f′（x）＜0； 故g（λ）=a； 綜上所述，λ＞﹣且λ≠1時， g（λ）=a； 令=t，則λ=，（t＞0且t≠4）； 將λ=代入g（λ）=a得， g（λ）=h（t）=a； 當(dāng)λ=1時，t=4，g（λ）=﹣a，上式也成立； ∵h（t）=a=（﹣1+）a是（0，+∞）上的減函數(shù)， 由t＞0得﹣a＜h（t）＜， 即g（λ）的取值范圍是（﹣a，）． 點評： 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，本題難點在于分類討論的情況比較多，討論的依據(jù)也比較多，屬于難題．