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2019-2020年高考數(shù)學大二輪總復習 增分策略 專題四 數(shù)列 推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問題試題
1.(xx湖南)已知a>0,函數(shù)f(x)=eaxsin x(x∈[0,+∞)).記xn為f(x)的從小到大的第n(n∈N*)個極值點,證明:數(shù)列{f(xn)}是等比數(shù)列.
2.(xx課標全國Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.
(1)證明{an+}是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(2)證明++…+<.
1.數(shù)列的綜合問題,往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結合,探求數(shù)列中的最值或證明不等式.2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景,利用函數(shù)觀點探求參數(shù)的值或范圍.3.將數(shù)列與實際應用問題相結合,考查數(shù)學建模和數(shù)學應用.
熱點一 利用Sn,an的關系式求an
1.數(shù)列{an}中,an與Sn的關系:
an=.
2.求數(shù)列通項的常用方法
(1)公式法:利用等差(比)數(shù)列求通項公式.
(2)在已知數(shù)列{an}中,滿足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n)可求,則可用累加法求數(shù)列的通項an.
(3)在已知數(shù)列{an}中,滿足=f(n),且f(1)f(2)…f(n)可求,則可用累積法求數(shù)列的通項an.
(4)將遞推關系進行變換,轉化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列).
例1 數(shù)列{an}中,a1=1,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且滿足=1(n≥2).求數(shù)列{an}的通項公式.
思維升華 給出Sn與an的遞推關系,求an,常用思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉化為an的遞推關系,再求其通項公式;二是轉化為Sn的遞推關系,先求出Sn與n之間的關系,再求an.
跟蹤演練1 已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=,則數(shù)列{an}的通項公式是________.
熱點二 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題
數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景,給出數(shù)列所滿足的條件,通常利用點在曲線上給出Sn的表達式,還有以曲線上的切點為背景的問題,解決這類問題的關鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應關系,將條件進行準確的轉化.數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體,考查最值問題,不等關系或恒成立問題.
例2 已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象經過坐標原點,其導函數(shù)為f′(x)=6x-2,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,求使得Tn<對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.
思維升華 解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點:(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù),函數(shù)定義域是正整數(shù),在求數(shù)列最值或不等關系時要特別重視;(2)解題時準確構造函數(shù),利用函數(shù)性質時注意限制條件;(3)不等關系證明中進行適當?shù)姆趴s.
跟蹤演練2 (xx安徽)設n∈N*,xn是曲線y=x2n+2+1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標.
(1)求數(shù)列{xn}的通項公式;
(2)記Tn=xx…x,證明:Tn≥.
熱點三 數(shù)列的實際應用
用數(shù)列知識解相關的實際問題,關鍵是合理建立數(shù)學模型——數(shù)列模型,弄清所構造的數(shù)列是等差模型還是等比模型,它的首項是什么,項數(shù)是多少,然后轉化為解數(shù)列問題.求解時,要明確目標,即搞清是求和,還是求通項,還是解遞推關系問題,所求結論對應的是解方程問題,還是解不等式問題,還是最值問題,然后進行合理推算,得出實際問題的結果.
例3 自從祖國大陸允許臺灣農民到大陸創(chuàng)業(yè)以來,在11個省區(qū)設立了海峽兩岸農業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農民創(chuàng)業(yè)園,臺灣農民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務,某臺商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬元的蔬菜加工廠M,M的價值在使用過程中逐年減少,從第二年到第六年,每年年初M的價值比上年年初減少10萬元,從第七年開始,每年年初M的價值為上年年初的75%.
(1)求第n年年初M的價值an的表達式;
(2)設An=,若An大于80萬元,則M繼續(xù)使用,否則須在第n年年初對M更新,證明:必須在第九年年初對M更新.
思維升華 常見數(shù)列應用題模型的求解方法
(1)產值模型:原來產值的基礎數(shù)為N,平均增長率為p,對于時間n的總產值y=N(1+p)n.
(2)銀行儲蓄復利公式:按復利計算利息的一種儲蓄,本金為a元,每期的利率為r,存期為n,則本利和y=a(1+r)n.
(3)銀行儲蓄單利公式:利息按單利計算,本金為a元,每期的利率為r,存期為n,則本利和y=a(1+nr).
(4)分期付款模型:a為貸款總額,r為年利率,b為等額還款數(shù),則b=.
跟蹤演練3 某年“十一”期間,北京十家重點公園舉行免費游園活動,北海公園免費開放一天,早晨6時30分有2人進入公園,接下來的第一個30分鐘內有4人進去1人出來,第二個30分鐘內有8人進去2人出來,第三個30分鐘內有16人進去3人出來,第四個30分鐘內有32人進去4人出來……按照這種規(guī)律進行下去,到上午11時30分公園內的人數(shù)是( )
A.211-47 B.212-57
C.213-68 D.214-80
已知數(shù)列{an}和{bn},對于任意的n∈N*,點P(n,an)都在經過點A(-1,0)與點B(,3)的直線l上,并且點C(1,2)是函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖象上一點,數(shù)列{bn}的前n項和Sn=f(n)-1.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)求證:數(shù)列{}的前n項和Tn<.
提醒:完成作業(yè) 專題四 第3講
二輪專題強化練
專題四
第3講 數(shù)列的綜合問題
A組 專題通關
1.(xx成都外國語學校月考)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=an-1(a≠0),則數(shù)列{an}( )
A.一定是等差數(shù)列
B.一定是等比數(shù)列
C.或者是等差數(shù)列,或者是等比數(shù)列
D.既不可能是等差數(shù)列,也不可能是等比數(shù)列
2.若數(shù)列{an}的通項公式是an=(-1)n(3n-2),則a1+a2+…+a10等于( )
A.15 B.12
C.-12 D.-15
3.(xx日照一模)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-6n,則{|an|}的前n項和Tn等于( )
A.6n-n2 B.n2-6n+18
C. D.
4.(xx成都七中高三上學期期中)今有女善織,日益功疾,且從第2天起,每天比前一天多織相同量的布,若第1天織5尺布,現(xiàn)在一月(按30天計)共織390尺布,則每天比前一天多織( )尺布.(不作近似計算)( )
A. B.
C. D.
5.已知定義在R上的函數(shù)f(x)、g(x)滿足=ax,且f′(x)g(x)
0)及兩點A1(x1,0)和A2(x2,0),其中x2>x1>0.過A1,A2分別作x軸的垂線,交曲線C于B1,B2兩點,直線B1B2與x軸交于點A3(x3,0),那么( )
A.x1,,x2成等差數(shù)列
B.x1,,x2成等比數(shù)列
C.x1,x3,x2成等差數(shù)列
D.x1,x3,x2成等比數(shù)列
12.記數(shù)列{2n}的前n項和為an,數(shù)列{}的前n項和為Sn,數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n-8,則bnSn的最小值為________.
13.已知向量a=(2,-n),b=(Sn,n+1),n∈N*,其中Sn是數(shù)列{an}的前n項和,若a⊥b,則數(shù)列{}的最大項的值為________.
14.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且對任意正整數(shù)n,點(an+1,Sn)在直線2x+y-2=0上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)是否存在實數(shù)λ,使得數(shù)列{Sn+λn+}為等差數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.
學生用書答案精析
第3講 數(shù)列的綜合問題
高考真題體驗
1.證明 f′(x)=aeaxsin x+eaxcos x
=eax(asin x+cos x)
=eaxsin(x+φ),
其中tan φ=,0<φ<.
令f′(x)=0,由x≥0得x+φ=mπ,即x=mπ-φ,m∈N*,對k∈N,若2kπ<x+φ<(2k+1)π,
即2kπ-φ<x<(2k+1)π-φ,則f′(x)>0;
若(2k+1)π<x+φ<(2k+2)π,即(2k+1)π-φ<x<(2k+2)π-φ,則f′(x)<0.
因此,在區(qū)間((m-1)π,mπ-φ)與(mπ-φ,mπ)上,f′(x)的符號總相反.
于是當x=mπ-φ(m∈N*)時,f(x)取得極值,所以xn=nπ-φ(n∈N*).
此時,f(xn)=ea(nπ-φ)sin(nπ-φ)
=(-1)n+1ea(nπ-φ)sin φ.
易知f(xn)≠0,而==-eaπ是常數(shù),
故數(shù)列{f(xn)}是首項為f(x1)=ea(π-φ)sin φ,公比為-eaπ的等比數(shù)列.
2.(1)解 由an+1=3an+1
得an+1+=3(an+).
又a1+=,
所以{an+}是首項為,公比為3的等比數(shù)列.
an+=,因此{an}的通項公式為an=.
(2)證明 由(1)知=.
因為當n≥1時,3n-1≥23n-1,
所以≤.
于是++…+≤1++…+
=(1-)<.
所以++…+<.
熱點分類突破
例1 解 由已知,當n≥2時,=1,
所以=1,
即=1,
所以-=.
又S1=a1=1,
所以數(shù)列{}是首項為1,公差為的等差數(shù)列.
所以=1+(n-1)=,即Sn=.
所以當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-=-.
因此an=
跟蹤演練1 an=2n
解析 Sn=,當n=1時,a1=S1=,解得a1=2或a1=0(舍去).
當n≥2時,由an=Sn-Sn-1=-?a-a=2(an+an-1),因為an>0,所以an+an-1≠0,則an-an-1=2,
所以數(shù)列{an}是首項為2,公差為2的等差數(shù)列,故an=2n.
例2 解 (1)設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0),
則f′(x)=2ax+b.
由于f′(x)=6x-2,得a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.
又因為點(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)
y=f(x)的圖象上,
所以Sn=3n2-2n.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;
當n=1時,a1=S1=312-2=61-5,
所以an=6n-5(n∈N*).
(2)由(1)得bn==
=,
故Tn=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-).
因此,要使(1-)<對n∈N*恒成立,則m必須且僅需滿足≤,即m≥10.所以滿足要求的最小正整數(shù)為10.
跟蹤演練2 (1)解 y′=(x2n+2+1)′=(2n+2)x2n+1,曲線y=x2n+2+1在點(1,2)處的切線斜率為2n+2,
從而切線方程為y-2=(2n+2)(x-1).
令y=0,解得切線與x軸交點的橫坐標xn=1-=.
所以數(shù)列{xn}的通項公式為xn=.
(2)證明 由題設和(1)中的計算結果知
Tn=xx…x=22…2.
當n=1時,T1=.
當n≥2時,因為x=2=>==.
所以Tn>2…=.
綜上可得對任意的n∈N*,均有Tn≥.
例3 (1)解 當n≤6時,數(shù)列{an}是首項為120,公差為-10的等差數(shù)列,
故an=120-10(n-1)=130-10n,
當n≥7時,數(shù)列{an}從a6開始的項構成一個以a6=130-60=70為首項,以為公比的等比數(shù)列,故an=70()n-6,
所以第n年年初M的價值an=
(2)證明 設Sn表示數(shù)列{an}的前n項和,由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式,得
當1≤n≤6時,Sn=120n-5n(n-1),
An==120-5(n-1)=125-5n≥95>80,
當n≥7時,由于S6=570,
故Sn=570+(a7+a8+…+an)=570+704[1-()n-6]=780-210()n-6.
因為{an}是遞減數(shù)列,所以{An}是遞減數(shù)列.
因為An==,
A8=≈82.734>80,
A9=≈76.823<80,
所以必須在第九年年初對M更新.
跟蹤演練3 B [由題意,可知從早晨6時30分開始,接下來的每個30分鐘內進入的人數(shù)構成以4為首項,2為公比的等比數(shù)列,出來的人數(shù)構成以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,記第n個30分鐘內進入公園的人數(shù)為an,第n個30分鐘內出來的人數(shù)為bn,則an=42n-1,bn=n,則上午11時30分公園內的人數(shù)為S=2+-=212-57.]
高考押題精練
(1)解 直線l的斜率為k==2,
故直線l的方程為y=2[x-(-1)],即y=2x+2.
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+2.
把點C(1,2)代入函數(shù)f(x)=ax,得a=2,
所以數(shù)列{bn}的前n項和Sn=f(n)-1=2n-1.
當n=1時,b1=S1=1;
當n≥2時,bn=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,
當n=1時也適合,
所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n-1.
(2)證明 設cn=,
由(1)知cn====(-),
所以Tn=c1+c2+c3+…+cn=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=(1-).
因為>0,所以Tn<.
二輪專題強化練答案精析
第3講 數(shù)列的綜合問題
1.C [a1=S1=a-1,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1(n>0).當a=1時,Sn=0,是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列;當a≠1時是等比數(shù)列.故選C.]
2.A [記bn=3n-2,則數(shù)列{bn}是以1為首項,3為公差的等差數(shù)列,所以a1+a2+…+a9+a10=(-b1)+b2+…+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+…+(b10-b9)=53=15.]
3.C [由Sn=n2-6n可得,當n≥2時,
an=Sn-Sn-1=n2-6n-(n-1)2+6(n-1)=2n-7.
當n=1時,S1=-5=a1,也滿足上式,
∴an=2n-7,n∈N*.
∴n≤3時,an<0;n>3時,an>0.
∴Tn=]
4.C [由題意可知,該女每天的織布量成等差數(shù)列,首項是5,公差為d,前30項和為390.根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式,有390=305+d,解得d=.]
5.A [令h(x)=,則h′(x)=<0,故函數(shù)h(x)為減函數(shù),
即00,
所以函數(shù)f(x)min=f(),
但6<<7,且f(6)=-48,f(7)=-49,
因為-48>-49,所以最小值為-49.
8.2n+1-2
解析 ∵an+1-an=2n,
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n.
∴Sn==2n+1-2.
9.(1)解 當n∈N*時,Sn=2an-2n,
則當n≥2時,Sn-1=2an-1-2(n-1),
兩式相減得an=2an-2an-1-2,即an=2an-1+2,
∴an+2=2(an-1+2),∴=2,
當n=1時,S1=2a1-2,則a1=2,
∴{an+2}是以a1+2=4為首項,2為公比的等比數(shù)列,
∴an+2=42n-1,∴an=2n+1-2.
(2)證明 bn=log2(an+2)=log22n+1=n+1,
∴=,則Tn=++…+,
Tn=++…++,
兩式相減得Tn=+++…+-
=+-=+--
=-,∴Tn=-,
當n≥2時,Tn-Tn-1=-+=>0,
∴{Tn}為遞增數(shù)列,∴Tn≥T1=.
10.解 (1)∵bn+1-bn=-
=-
=-=2(常數(shù)),
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
∵a1=1,∴b1=2,
因此bn=2+(n-1)2=2n,
由bn=得an=.
(2)由cn=,an=
得cn=,
∴cncn+2==2(-),
∴Tn=2(1-+-+-+…+-)=2(1+--)<3,
依題意要使Tn<對于n∈N*恒成立,
只需≥3,
即≥3,
解得m≥3或m≤-4,又m為正整數(shù),
所以m的最小值為3.
11.A [由題意,得B1,B2兩點的坐標分別為(x1,),(x2,),
所以直線B1B2的方程為y=-(x-x1)+,
令y=0,得x=x1+x2,
所以x3=x1+x2,
因此,x1,,x2成等差數(shù)列.]
12.-4
解析 根據(jù)已知,可得an=n(n+1),
所以=-,
所以Sn=,所以bnSn==n+1+-10≥-4,
當且僅當n+1=,
即n=2時等號成立,所以bnSn的最小值為-4.
13.
解析 依題意得ab=0,即2Sn=n(n+1),Sn=.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-=n;
又a1=S1==1,
因此an=n,===≤,當且僅當n=,n∈N*,即n=2時取等號,因此數(shù)列{}的最大項的值為.
14.解 (1)由題意,可得2an+1+Sn-2=0.①
當n≥2時,2an+Sn-1-2=0.②
①-②,得2an+1-2an+an=0,
所以=(n≥2).
因為a1=1,2a2+a1=2,所以a2=.
所以{an}是首項為1,公比為的等比數(shù)列.
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=()n-1.
(2)由(1)知,Sn==2-.
若{Sn+λn+}為等差數(shù)列,則S1+λ+,S2+2λ+,S3+3λ+成等差數(shù)列,
則2(S2+)=S1++S3+,
即2(+)=1+++,解得λ=2.
又λ=2時,Sn+2n+=2n+2,
顯然{2n+2}成等差數(shù)列,故存在實數(shù)λ=2,
使得數(shù)列{Sn+λn+}為等差數(shù)列.
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