2019-2020年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題27 快速解決直線與圓錐曲線綜合問題的解題技巧.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題27 快速解決直線與圓錐曲線綜合問題的解題技巧 一．命題陷阱 1.不用韋達(dá)定理與用韋達(dá)定理的選擇陷阱 2.范圍不完備陷阱 3.圓錐曲線中三角形面積公式選取陷阱 4．不用定義直接化簡的陷阱（圓錐曲線定義的靈活運(yùn)用） 5.圓錐曲線中的求定點(diǎn)、定直線只考慮一般情況不考慮特殊位置陷阱 6.圓錐曲線中的求定值只考慮一般情況不考慮特殊位置陷阱 二、知識(shí)回顧 1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) ，焦點(diǎn)，其中． (2) ，焦點(diǎn)，其中 2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) ，焦點(diǎn)，其中． (2) ，焦點(diǎn)，其中 3．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) ．對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)分別為： . 三．典例分析 1.不用韋達(dá)定理與用韋達(dá)定理的選擇陷阱 例1. 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為. （I）求橢圓的方程和拋物線的方程； （II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程. 【答案】 （1）， .（2），或. （Ⅱ）解：設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.由點(diǎn)異于點(diǎn)，可得點(diǎn).由，可得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因?yàn)榈拿娣e為，故，整理得，解得，所以. 所以，直線的方程為，或. 【陷阱防范】：分析題目條件與所求關(guān)系，恰當(dāng)選取是否使用韋達(dá)定理 練習(xí)1. 已知橢圓，且橢圓上任意一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為，最小距離為. （1）求橢圓的方程； （2）過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由. 【答案】(1) 橢圓方程為;(2) 以線段為直徑的圓恒過點(diǎn). 下面證明為所求：若直線的斜率不存在，上述己經(jīng)證明. 若直線的斜率存在，設(shè)直線， ， 由得， ，， ， . ∴，即以線段為直徑的圓恒過點(diǎn). 練習(xí)2.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為. （I）求橢圓的方程和拋物線的方程； （II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程. 【答案】 （1）， .（2），或. 【解析】（Ⅰ）設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，，，，解得，，，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為. 練習(xí)3. 已知橢圓： ，曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足： . （1）求曲線的方程； （2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，第一象限的點(diǎn)分別在和上， ，求線段的長. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】（1）由已知，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)， 的距離之和為， 且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，而， ，所以， 故橢圓的方程為. （2）兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由及（1）知， 三點(diǎn)共線且點(diǎn)不在軸上，因此可設(shè)直線的方程為. 將代入中，得，所以， 將代入中，得，所以， 又由，得，即， 解得， 故 2.范圍不完備陷阱 例2. 已知橢圓： 的離心率為，以橢圓長、短軸四個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)為四邊形的面積為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線分別交橢圓于兩點(diǎn)、，求四邊形面積的最大值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） . 【解析】（Ⅰ）由題設(shè)知， ， 又，解得， 故橢圓的方程為. 故四邊形的面積為 . 由于，且在上單調(diào)遞增，故， 從而，有. 當(dāng)且僅當(dāng)，即，也就是點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形的面積取最大值6. 【陷阱防范】：涉及含參數(shù)問題，求最值或范圍時(shí)要注意運(yùn)用均值不等式還是運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性. 練習(xí)1.設(shè)點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且和直線相切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線. （1）求曲線的方程； （2）設(shè)曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過的直線交于一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn)，若是的切線，求的最小值. 【答案】（1）（2） 【解析】(1)過點(diǎn)作直線垂直于直線于點(diǎn)，由題意得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線.所以拋物線得方程為. ，解得，或.. 而拋物線在點(diǎn)的切線斜率， ， 是拋物線的切線， ，整理得，解得（舍去），或. 練習(xí)2. 已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)。 (1)求雙曲線的方程； (2)經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，求的長。 【答案】（1）（2） 【解析】 （1）因?yàn)殡p曲線的離心率為，點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，所以，即 （2）經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線 與雙曲線聯(lián)立方程組消y得 ，由弦長公式解得 練習(xí)3. 已知橢圓的方程為，雙曲線的一條漸近線與軸所成的夾角為，且雙曲線的焦距為. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，過作直線 (與軸不重合)交橢圓于， 兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【解析】(1)一條漸近線與軸所成的夾角為知，即， 又，所以，解得， ， 所以橢圓的方程為. (2)由(1)知，設(shè)， ，設(shè)直線的方程為. 聯(lián)立得， 由得， ∴， 又，所以直線的斜率. ①當(dāng)時(shí)， ； ②當(dāng)時(shí)， ，即. 綜合①②可知，直線的斜率的取值范圍是. 練習(xí)4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，拋物線 （1）若直線過拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線的方程； （2）已知拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)和. ①求證：線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為； ②求的取值范圍. 【答案】（1）（2）①詳見解析，② ①由消去得 因?yàn)镻 和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn)，所以 從而，化簡得. 方程（*）的兩根為，從而 因?yàn)樵谥本€上，所以 因此，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ②因?yàn)樵谥本€上 所以，即 由①知，于是，所以 因此的取值范圍為 【方法總結(jié)】在利用代數(shù)法解決范圍問題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮： (1)利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； (2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系； (3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍； (5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍． 3.圓錐曲線中三角形面積公式選取陷阱 例3. 已知圓，圓心為，定點(diǎn)， 為圓上一點(diǎn)，線段上一點(diǎn)滿足，直線上一點(diǎn)，滿足． （Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程； （Ⅱ）為坐標(biāo)原點(diǎn)， 是以為直徑的圓，直線與相切，并與軌跡交于不同的兩點(diǎn)．當(dāng)且滿足時(shí)，求面積的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） . 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 則， ， ∴. ∴點(diǎn)的軌跡的方程為。 （Ⅱ）∵圓與直線相切， ∴，即， 由，消去. ∵直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)， ∴， 將代入上式，可得， 設(shè)， ， 則， ， ∴ ， ∴ ∴， ∵，解得.滿足。 又， 設(shè)，則. ∴ ， ∴ 故面積的取值范圍為。 【陷阱防范】：涉及到三角形面積時(shí)用弦長公式還是用把三角形分成兩個(gè)或幾個(gè)三角形求面積 練習(xí)1. 設(shè)， 是橢圓上的兩點(diǎn)，橢圓的離心率為，短軸長為2，已知向量， ，且， 為坐標(biāo)原點(diǎn). （1）若直線過橢圓的焦點(diǎn)，（ 為半焦距），求直線的斜率的值； （2）試問： 的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由. 【答案】（1）；（2）見解析. （2）①直線斜率不存在時(shí)，即， ∵ ∴，即 又∵點(diǎn)在橢圓上 ∴，即 ∴， ∴，故的面積為定值1 ②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為， 聯(lián)立得： ∴， ， ∴ 所以三角形的面積為定值1. 練習(xí)2.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為. （I）求橢圓的方程和拋物線的方程； （II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程. 【答案】 （1）， .（2），或. 【解析】（Ⅰ）設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，，，，解得，，，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為. （Ⅱ）解：設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.由點(diǎn)異于點(diǎn)，可得點(diǎn).由，可得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因?yàn)榈拿娣e為，故，整理得，解得，所以.所以，直線的方程為，或. 4．不用定義直接化簡的陷阱（圓錐曲線定義的靈活運(yùn)用） 例4. 已知橢圓與拋物線共焦點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離等于，且橢圓與拋物線的交點(diǎn)Q滿足． （I）求拋物線的方程和橢圓的方程； （II）過拋物線上的點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于、 兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，求的取值范圍． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）∵拋物線上的點(diǎn)到軸的距離等于， ∴點(diǎn)M到直線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離， 得是拋物線的準(zhǔn)線，即， 解得，∴拋物線的方程為； 可知橢圓的右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)， 由得，又，解得， 由橢圓的定義得， ∴，又，得， ∴橢圓的方程為． 【陷阱防范】：涉及圓錐曲線方程時(shí)要考慮定義的幾何意義，往往可以簡化解題步驟. 練習(xí)1. 已知雙曲線的漸近線方程為: ，右頂點(diǎn)為. （Ⅰ）求雙曲線的方程； （Ⅱ）已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，求的值。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為: ，所以 ，又右頂點(diǎn)為，所以，即 （2）直線與雙曲線聯(lián)立方程組消y得 的值為 練習(xí)2. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其焦距為，點(diǎn)在橢圓的外部，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ∵點(diǎn)在橢圓的外部,則，解得， ∴，即。 由橢圓的定義得 ，, ∵恒成立，∴， 解得，即.所以橢圓離心率的取值范圍是.選D. 5.圓錐曲線中的求定點(diǎn)定直線（只考慮一般情況不考慮特殊位置）陷阱 例5. 已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且. （1）求該拋物線的方程； （2）已知拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條弦和，且，判斷直線是否過定點(diǎn)？并說明理由. 【答案】（1）；（2）定點(diǎn) 【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn) ，∴直線的方程為: . 聯(lián)立方程組，消元得: ， ∴. ∴ 解得. ∴拋物線的方程為： . （2）由（1）可得點(diǎn)，可得直線的斜率不為0， 設(shè)直線的方程為： ， 聯(lián)立，得， 則①. 設(shè)，則. ∵ 即，得： ， ∴，即或， 代人①式檢驗(yàn)均滿足， ∴直線的方程為： 或. ∴直線過定點(diǎn)（定點(diǎn)不滿足題意，故舍去）. 【陷阱防范】：1.定點(diǎn)與定值問題的解決，一般通過取極端位置(即特定位置)探索出定點(diǎn)或定值，然后再進(jìn)行一般性證明. 2.解決定值定點(diǎn)方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無關(guān)；(2)直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡化運(yùn)算. 練習(xí)1已知拋物線，直線交于兩點(diǎn)， 是的中點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn). （1）證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行； （2）是否存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 【答案】(1)見解析;(2) 存在實(shí)數(shù)使以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn). 【解析】（1）證明：設(shè)， ，把代入得. 所以， ，所以. 因?yàn)?，所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，故該切線與平行. （2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則. 由（1）知 ，又因?yàn)榇怪庇谳S， 所以， 而 . 所以，解得. 所以，存在實(shí)數(shù)使以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn). 練習(xí)2. 已知命題：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；命題：雙曲線的離心率，若是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】． 或?yàn)檎?，則． 6.圓錐曲線中的求定值只考慮一般情況不考慮特殊位置陷阱 例6. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線與動(dòng)直線的交點(diǎn)為，線段的中垂線與動(dòng)直線的交點(diǎn)為． （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （2）過動(dòng)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為， ，求證： 的大小為定值． 【答案】（1）曲線的方程為．（2）詳見解析 （2）由題意，過點(diǎn)的切線斜率存在，設(shè)切線方程為， 聯(lián)立 得， 所以，即（*）， 因?yàn)椋苑匠蹋?）存在兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為， 因?yàn)?，所以，為定值? 【陷阱防范】：1.定值問題的解決，一般通過取極端位置(即特定位置)探索出定值，然后再進(jìn)行一般性證明. 2.解決定值方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明定值與變量無關(guān)；(2)直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過程中消去變量，從而得到定值.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡化運(yùn)算. 練習(xí)1. 點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)， 是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是，且,若的面積是9，則的值等于( )． A. 4 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】雙曲線的離心率是 ， 的面積 在 中，由勾股定理可得 故選 C． 練習(xí)2. 如圖，拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線在第一象限的交點(diǎn)，且. （Ⅰ）求雙曲線的方程； （Ⅱ）以為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線相切，圓.已知點(diǎn)，過點(diǎn)作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為.試探索是否為定值？請(qǐng)說明理由. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）為定值. 【解析】（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)為， ∴雙曲線的焦點(diǎn)為. 設(shè)在拋物線上，且. 由拋物線的定義得，，∴. ∴，∴. 又∵點(diǎn)在雙曲線上，由雙曲線定義得，，∴. ∴雙曲線的方程為：. （Ⅱ）為定值.下面給出說明： 設(shè)圓的方程為：，雙曲線的漸近線方程為：. ∵圓與漸近線相切，∴圓的半徑為. 故圓. 依題意的斜率存在且均不為零，所以 設(shè)的方程為，即， 設(shè)的方程為，即， ∴點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為， ∴直線被圓截得的弦長， 直線被圓截得的弦長， ∴，故為定值. 四．真題再現(xiàn) 1.平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上. (Ⅰ)求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓 于兩點(diǎn)，射線 交橢圓于點(diǎn). ( i )求的值； （ii）求面積的最大值. 【答案】（I）；（II）( i )2；（ii） . （II）由（I）知橢圓E的方程為, （i）設(shè)， ，由題意知 因?yàn)? 又 ，即 ,所以 ，即 . （ii）設(shè) 將代入橢圓E的方程， 可得 由 ，可得 …………………………① 則有 所以 因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為 所以的面積 令 ,將 代入橢圓C的方程可得 由 ，可得 …………………………………………② 由①②可知 因此 ,故 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)取得最大值 由（i）知， 面積為 ,所以面積的最大值為 . 2.已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)， 的直線的距離為． （I）求橢圓的離心率； （II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求橢圓的 方程． 【答案】（I）；（II）． 【解析】（I）過點(diǎn)，的直線方程為， 則原點(diǎn)到直線的距離， 由，得，解得離心率. (II)解法一：由（I）知，橢圓的方程為. (1) 依題意，圓心是線段的中點(diǎn)，且. 易知，不與軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入(1)得 故橢圓的方程為. 解法二：由（I）知，橢圓的方程為. (2) 依題意，點(diǎn)，關(guān)于圓心對(duì)稱，且. 設(shè)則，， 兩式相減并結(jié)合得. 易知，不與軸垂直，則，所以的斜率 因此直線方程為，代入(2)得 所以，. 于是. 由，得，解得. 故橢圓的方程為. 3.如圖，設(shè)橢圓（a＞1）. （I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）； （II）若任意以點(diǎn)A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值 范圍. 【答案】（I）；（II）． 【解析】（I）設(shè)直線被橢圓截得的線段為，由得 ， 故 ，． 因此 ． （II）假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，，滿足 ． 記直線，的斜率分別為，，且，，． 由（I）知， ，， 故 ， 所以． 由于，，得 ， 因此 ， ① 因?yàn)棰偈疥P(guān)于，的方程有解的充要條件是 ，所以． 因此，任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為 ， 由得，所求離心率的取值范圍為． 5. 已知橢圓,直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為． (Ⅰ)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值； （Ⅱ）若過點(diǎn)，延長線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說明理由． 【答案】(Ⅰ)詳見解析；（Ⅱ）能，或． 【解析】(Ⅰ)設(shè)直線，，，． 將代入得，故， ．于是直線的斜率，即．所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值． （Ⅱ）四邊形能為平行四邊形． 因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以不過原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，． 由(Ⅰ)得的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．由得，即．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此．四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即．于是 ．解得，．因?yàn)?，，，所以?dāng)?shù)男甭蕿? 或時(shí)，四邊形為平行四邊形． 6.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的面積； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】（I）設(shè)，則由題意知，當(dāng)時(shí)，的方程為，. 由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為. 將代入得.解得或，所以. 因此的面積. （II）由題意，，. 將直線的方程代入得. 由得，故. 由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得， 由得，即. 7.如圖，橢圓E：的離心率是，過點(diǎn)P（0,1）的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行與軸時(shí)，直線被橢圓E截得的線段長為. (1)求橢圓E的方程； （2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由. 【答案】（1）；（2）存在，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為. （2）當(dāng)直線與軸平行時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). 如果存在定點(diǎn)Q滿足條件，則，即. 所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為. 當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn). 則， 由，有，解得或. 所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為. 下面證明：對(duì)任意的直線，均有. 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立. 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，A、B的坐標(biāo)分別為. 聯(lián)立得. 其判別式， 所以，. 因此. 易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為. 又， 所以，即三點(diǎn)共線. 所以. 故存在與P不同的定點(diǎn)，使得恒成立.