八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第十八章 平行四邊形 18.2 特殊的平行四邊形 18.2.1 第2課時(shí) 矩形的判定教學(xué) 新人教版.ppt
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第十八章 平行四邊形,,,導(dǎo)入新課,,,講授新課,,,,當(dāng)堂練習(xí),,,,課堂小結(jié),,,,,,,,學(xué)練優(yōu)八年級(jí)數(shù)學(xué)下(RJ) 教學(xué)課件,18.2.1 矩 形,第2課時(shí) 矩形的判定,1.經(jīng)歷矩形判定定理的猜想與證明過程,理解并掌握 矩形的判定定理.(重點(diǎn)) 2.能應(yīng)用矩形的判定解決簡(jiǎn)單的證明題和計(jì)算題.(難點(diǎn)),復(fù)習(xí)引入,導(dǎo)入新課,問題1 矩形的定義是什么?,有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.,問題2 矩形有哪些性質(zhì)?,矩形,,邊:,角:,對(duì)角線:,對(duì)邊平行且相等,四個(gè)角都是直角,對(duì)角線互相平分且相等,思考 工人師傅在做門窗或矩形零件時(shí),如何確保圖形是矩形呢?現(xiàn)在師傅帶了兩種工具(卷尺和量角器),他說用這兩種工具的任意一種就可以解決問題,這是為什么呢?,這節(jié)課我們一起探討矩形的判定吧.,講授新課,類比平行四邊形的定義也是判定平行四邊形的一種方法,那么矩形的定義也是判定矩形的一種方法.,問題1 除了定義以外,判定矩形的方法還有沒有呢?,矩形是特殊的平行四邊形.,類似地,那我們研究矩形的性質(zhì)的逆命題是否成立.,問題2 上節(jié)課我們已經(jīng)知道“矩形的對(duì)角線相等”,反過來,小明猜想對(duì)角線相等的四邊形是矩形,你覺得對(duì)嗎?,我猜想:對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.,不對(duì),等腰梯形的對(duì)角線也相等.,不對(duì),矩形是特殊的平行四邊形,所以它的對(duì)角線不僅相等且平分.,思考 你能證明這一猜想嗎?,已知:如圖,在□ABCD中,AC , DB是它的兩條對(duì)角線, AC=DB.求證:□ABCD是矩形. 證明:∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC + ∠DCB = 180, ∴ ∠ABC = 90, ∴ □ ABCD是矩形(矩形的定義).,證一證,矩形的判定定理: 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.,歸納總結(jié),幾何語言描述: 在平行四邊形ABCD中,∵AC=BD, ∴平行四邊形ABCD是矩形.,思考 數(shù)學(xué)來源于生活,事實(shí)上工人師傅為了檢驗(yàn)兩組對(duì)邊相等的四邊形窗框是否成矩形,一種方法是量一量這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度,如果對(duì)角線長(zhǎng)相等,則窗框一定是矩形,你現(xiàn)在知道為什么了嗎?,對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.,解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,,∴OA=OC= AC,,OB=OD= BD.,又∵OA=OD,,∴AC=BD,,∴四邊形ABCD是矩形,,∴∠BAD=90.,又∵∠OAD=50,,∴∠OAB=40.,典例精析,例2 如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點(diǎn),且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.,證明:,∵四邊形ABCD是矩形,,∴AC=BD(矩形的對(duì)角線相等),,AO=BO=CO=DO(矩形的對(duì)角線互相平分),,∵ AE=BF=CG=DH,,∴OE=OF=OG=OH,,∴四邊形EFGH是平行四邊形,,∵EO+OG=FO+OH,,即EG=FH, ∴四邊形EFGH是矩形.,練一練,1.如圖,在?ABCD中,AC和BD相交于點(diǎn)O,則下面條件能判定?ABCD是矩形的是 ( ),A.AC=BD B.AC=BC C.AD=BC D.AB=AD,A,2.如圖 ABCD中, ∠1= ∠2中.此時(shí)四邊形ABCD是矩形嗎?為什么?,1,2,,解:四邊形ABCD是矩形. 理由如下: ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴ AO=CO,DO=BO. 又∵ ∠1= ∠2, ∴AO=BO, ∴AC=BD, ∴四邊形ABCD是矩形.,問題1 上節(jié)課我們研究了矩形的四個(gè)角,知道它們都是直角,它的逆命題是什么?成立嗎?,逆命題:四個(gè)角是直角的四邊形是矩形.,成立,問題2 至少有幾個(gè)角是直角的四邊形是矩形?,猜測(cè):有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.,已知:如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90. 求證:四邊形ABCD是矩形.,證明:∵ ∠A=∠B=∠C=90, ∴∠A+∠B=180,∠B+∠C=180, ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四邊形ABCD是平行四邊形, ∴四邊形ABCD是矩形.,證一證,矩形的判定定理: 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.,歸納總結(jié),幾何語言描述: 在四邊形ABCD中,∵ ∠A=∠B=∠C=90, ∴四邊形ABCD是矩形.,思考 一個(gè)木匠要制作矩形的踏板.他在一個(gè)對(duì)邊平行的長(zhǎng)木板上分別沿與長(zhǎng)邊垂直的方向鋸了兩次,就能得到矩形踏板.為什么?,有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.,例3 如圖, □ ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H,求證:四邊形 EFGH為矩形.,證明:在□ ABCD中,AD∥BC,,∴∠DAB+∠ABC=180.,∵AE與BG分別為∠DAB、 ∠ABC的平分線,,∴四邊形EFGH是矩形.,同理可證∠AED=∠EHG=90,,∴∠AFB=90,,∴∠GFE=90.,∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=90.,例4 如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為D,AN是△ABC外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為E,求證:四邊形ADCE為矩形.,證明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠DAC,即∠DAC= ∠BAC. 又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線, ∴∠MAE=∠CAE= ∠CAM, ∴∠DAE=∠DAC+∠CAE = (∠BAC+∠CAM)=90. 又∵AD⊥BC,CE⊥AN, ∴∠ADC=∠CEA=90, ∴四邊形ADCE為矩形.,練一練,在判斷“一個(gè)四邊形門框是否為矩形”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,一個(gè)合作學(xué)習(xí)小組的4位同學(xué)分別擬定了如下的方案,其中正確的是 ( ) A.測(cè)量對(duì)角線是否相等 B.測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等 C.測(cè)量一組對(duì)角是否都為直角 D.測(cè)量其中三個(gè)角是否都為直角,D,當(dāng)堂練習(xí),1.下列各句判定矩形的說法是否正確?,(1)對(duì)角線相等的四邊形是矩形;,(2)對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形;,(3)有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形;,(5)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形;,(6)四個(gè)角都相等的四邊形是矩形;,(7)對(duì)角線相等,且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形;,(4)有三個(gè)角都相等的四邊形是矩形;,,,,,√,√,√,√,(8)一組對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形.,2.如圖,直線EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點(diǎn),AB、CB、CD、AD分別是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分線,則四邊形ABCD是 ( ) A.梯形 B.平行四邊形 C.矩形 D.不能確定,C,3.如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90,AB=5,BC=12,AC=13.求證:四邊形ABCD是矩形.,證明:四邊形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90, ∴∠ADC=90. 又∵△ABC中,AB=5,BC=12,AC=13, 滿足132=52+122,即 ∴△ABC是直角三角形,且∠B=90, ∴四邊形ABCD是矩形.,,4.如圖,平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,延長(zhǎng)OA到N,使ON=OB,再延長(zhǎng)OC至M,使CM=AN.求證:四邊形NDMB為矩形.,證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形, ∴AO=OC,OD=OB. ∵AN=CM,ON=OB, ∴ON=OM=OD=OB, ∴四邊形NDMB為平行四邊形,MN=BD, ∴平行四邊形NDMB為矩形.,5.如圖,△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的高,AE是△BAC的外角平分線,DE∥AB交AE于點(diǎn)E,求證:四邊形ADCE是矩形.,證明:∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠B=∠ACB,BD=DC. ∵AE是∠BAC的外角平分線, ∴∠FAE=∠EAC. ∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC, ∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC, ∴AE∥CD. 又∵DE∥AB, ∴四邊形AEDB是平行四邊形, ∴AE平行且相等BD.,又∵BD=DC, ∴AE平行且等于DC, 故四邊形ADCE是平行四邊形. 又∵∠ADC=90, ∴平行四邊形ADCE是矩形.,6.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90,AD=24cm,BC=26cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿著CB方向向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng). (1)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間,四邊形PQCD是平行四邊形?,解:設(shè)經(jīng)過xs,四邊形PQCD為平行四邊形, 即PD=CQ, 所以24-x=3x, 解得x=6. 即經(jīng)過6s,四邊形PQCD 是平行四邊形;,能力提升:,(2)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間,四邊形PQBA是矩形?,解:設(shè)經(jīng)過ys,四邊形PQBA為矩形, 即AP=BQ, ∴y=26-3y, 解得y=6.5, 即經(jīng)過6.5s,四邊形PQBA是矩形.,課堂小結(jié),,有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.,對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.,有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.,運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算和證明,矩形的判定,定義,判定定理,,,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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