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2019-2020年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 推理與證明檢測(cè)題
知識(shí)梳理
(1)歸納推理的一般步驟:
(2)類比推理的一般步驟:
(3)綜合法的特點(diǎn)是:從“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,要求逐步推理,實(shí)際上是尋找它的必要條件.
(4)分析法的特點(diǎn)是:從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”,即從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,即把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件為止.
(5)適合用反證法證明的四類數(shù)學(xué)命題:
①唯一性命題;②結(jié)論涉及“至多”“至少”“無(wú)限”的命題;
③否定性命題;④直接證明較繁瑣或困難的命題.
(6)數(shù)學(xué)歸納法
數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟
①證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)結(jié)論成立;
②假設(shè)n=k(k∈N*,且k≥n0)時(shí)結(jié)論成立,證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.
由①②可知,對(duì)任意n≥n0,且n∈N*時(shí),結(jié)論都成立.
預(yù)習(xí)練習(xí)
1. (xx福建改編)設(shè)S,T是R的兩個(gè)非空子集,如果存在一個(gè)從S到T的函數(shù)y=f(x)滿足:(1)T={f(x)|x∈S};(2)對(duì)任意x1,x2∈S,當(dāng)x1
b>0)外,則過(guò)P0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)為P1,P2,則切點(diǎn)弦P1P2所在直線方程是+=1.那么對(duì)于雙曲線則有如下命題:若P0(x0,y0)在雙曲線-=1(a>0,b>0)外,則過(guò)P0作雙曲線的兩條切線的切點(diǎn)為P1,P2,則切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是________.
變式訓(xùn)練1 (1)若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM、ON上分別有點(diǎn)M1、
M2與點(diǎn)N1、N2,則三角形面積之比=.如圖,
若從點(diǎn)O所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上分
別有點(diǎn)P1、P2,點(diǎn)Q1、Q2和點(diǎn)R1、R2,則類似的結(jié)論為_(kāi)_____.
(2)已知命題:若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且am=a,an=b (m≠n,m、n∈N*),則am+n=;現(xiàn)已知等比數(shù)列{bn} (b≠0,n∈N*),bm=a,bn=b (m≠n,m、n∈N*),若類比上述結(jié)論,則可得到bm+n=__________.
題型二 直接證明與間接證明
例2 設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=an+1Sn (n∈N*).
(1)若a1,S2,-2a2成等比數(shù)列,求S2和a3;(2)求證:對(duì)k≥3有0≤ak+1≤ak≤.
變式訓(xùn)練2 (xx陜西)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.
(1)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式;(2)設(shè)q≠1,證明:數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.
題型三 數(shù)學(xué)歸納法
例3 已知數(shù)列{an}滿足關(guān)系式an+1=+2,n∈N*,且a1=2.
(1)求a2,a3,a4;
(2)求證:+1≤an<+1;
(3)求證:-1<++…+<2(-).
變式訓(xùn)練3 已知f(n)=1++++…+,g(n)=-,n∈N*.
(1)當(dāng)n=1,2,3時(shí),試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系;
(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系,并給出證明.
課后練習(xí)
一、填空題
1.觀察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此規(guī)律,第n個(gè)等式為_(kāi)_____________________________________________.
2. 觀察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,則72 014的末兩位數(shù)字為_(kāi)_______.
3. 定義一種運(yùn)算“*”:對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì):(ⅰ)1*1=1,(ⅱ)(n+1)*1=n*1+1,則n*1= .
4. 已知函數(shù)f(x)=,若Sk-1=f+f+f+…+f(k≥2,k∈Z),類比等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法,可求得Sk-1=________.(用含有k的代數(shù)式表示)
5. 二維空間中圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l=2πr,二維測(cè)度(面積)S=πr2,觀察發(fā)現(xiàn)S′=l;三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S=4πr2,三維測(cè)度(體積)V=πr3,觀察發(fā)現(xiàn)V′=S.則四維空間中“超球”的四維測(cè)度W=2πr4,猜想其三維測(cè)度V=________.
6. 若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,記f(n)=2(1-a1)(1-a2)…(1-an),試通過(guò)計(jì)算f(1),f(2),f(3)的值,推測(cè)出f(n)=________.
8. 已知數(shù)列:,,,,,,,,,,…,依它的前10項(xiàng)的規(guī)律,這個(gè)數(shù)列的第2 013項(xiàng)a2 013=________.
9. 給出若干數(shù)字按如圖所示排成倒三角形,其中第一行各數(shù)依次是1,2,3,…,2 011,從第二行起每個(gè)數(shù)分別等于上一行左、右兩數(shù)之和,最后一行只有一個(gè)數(shù)M,則這個(gè)數(shù)M是________.
10.設(shè)a,b,c,d∈R+,若a+d=b+c且|a-d|<|b-c|,則有ad,bc的大小關(guān)系是________.
11.已知a>b>0,且ab=1,若0
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