八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊17特殊三角形教學(xué)案冀教版.doc

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教學(xué)資料參考范本 八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 17 特殊三角形教學(xué)案 （新版）冀教版 撰寫人：__________________ 時(shí) 間：__________________ 1.了解等腰三角形的概念,探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理. 2.探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理,掌握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形. 3.探索勾股定理及其逆定理,并能運(yùn)用它們解決一些簡單的實(shí)際問題. 4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理. 5.會(huì)利用基本作圖方法作三角形:已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形. 6.通過實(shí)例體會(huì)反證法的含義. 1.經(jīng)歷由情境引出問題,探索、掌握有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí),再運(yùn)用于實(shí)踐的過程,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力. 2.在教學(xué)過程中提供充足的時(shí)間和空間,讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)過程,培養(yǎng)學(xué)生嘗試探究的意識(shí)和能力. 1.感受數(shù)學(xué)文化的價(jià)值和中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的成就,激發(fā)學(xué)生熱愛祖國及祖國悠久文化的思想感情. 2.使學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度思考問題,培養(yǎng)學(xué)生積極的學(xué)習(xí)態(tài)度,樹立學(xué)習(xí)的信心,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 本章知識(shí)既是三角形內(nèi)容的深化和拓展,又是進(jìn)一步研究特殊四邊形的重要工具.同時(shí),等腰三角形的知識(shí)在今后探索線段相等、角相等、直線的垂直關(guān)系等方面有著廣泛的應(yīng)用;勾股定理及其逆定理不僅是數(shù)形結(jié)合思想的完美體現(xiàn),更是我們今后解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題的有力工具.因此,本章起著承上啟下的橋梁作用. (1)等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)和判定,主要通過觀察與思考、操作與歸納等方法去探索和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,再通過演繹推理證明結(jié)論,最后舉例證明,實(shí)現(xiàn)在發(fā)展學(xué)生合情推理能力的基礎(chǔ)上,把證明作為探索活動(dòng)的自然延續(xù).較好體現(xiàn)了合情推理與演繹推理兩種推理形式的相輔相成,實(shí)現(xiàn)了兩種推理的有機(jī)融合. (2)對(duì)于勾股定理的獲得,設(shè)計(jì)了觀察、計(jì)算、思考、歸納、猜想等探究活動(dòng),將驗(yàn)證猜想的過程設(shè)計(jì)為“試著做做”和“做一做”等學(xué)生自主活動(dòng),讓學(xué)生體驗(yàn)勾股定理發(fā)現(xiàn)的全過程,發(fā)展學(xué)生的推理能力和創(chuàng)新意識(shí);對(duì)于勾股定理的逆定理,通過讓學(xué)生先操作(畫直角三角形),再證明(利用全等)的方式來獲得. (3)在本章的尺規(guī)作圖中,都增加了分析環(huán)節(jié),使學(xué)生不僅要知道作圖的步驟,而且還要了解作圖的道理. (4)在反證法一節(jié)中,除介紹反證法及證明命題的一般步驟外,還運(yùn)用反證法對(duì)平行線的性質(zhì)定理進(jìn)行了證明,體現(xiàn)了本套教材在內(nèi)容上的完整性.同時(shí)對(duì)直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理也用反證法給出了證明,使學(xué)生從中體會(huì)反證法的價(jià)值. 【重點(diǎn)】 1.等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定. 2.直角三角形的性質(zhì)和判定. 3.勾股定理、逆定理及其簡單應(yīng)用. 4.反證法及其簡單應(yīng)用. 【難點(diǎn)】 1.等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用. 2.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用. 1.關(guān)于等腰三角形和直角三角形性質(zhì)和判定的教學(xué),應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立思考和合作交流的前提下,進(jìn)行觀察與思考、操作與探究等活動(dòng)并獲得猜想,進(jìn)而一起完成對(duì)猜想的證明,落實(shí)對(duì)合情推理和演繹推理的自然結(jié)合,實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生推理意識(shí)和推理能力的目的. 2.對(duì)于勾股定理的教學(xué),教師要提供充足的時(shí)間和空間,讓學(xué)生觀察、猜想、推理,使定理的發(fā)現(xiàn)成為學(xué)生認(rèn)識(shí)活動(dòng)的自然結(jié)果. 3.對(duì)于證明格式、方法和步驟,要讓學(xué)生在親身經(jīng)歷、體驗(yàn)的過程中去逐步理解和掌握,此過程切忌急于求成,更不要以教師的講解代替學(xué)生的活動(dòng),要給學(xué)生充足的時(shí)間和空間去探索、實(shí)踐和總結(jié). 4.提倡思維多樣化,注重培養(yǎng)學(xué)生清晰表達(dá)自己思維過程的能力,對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的多種思路和方法,應(yīng)給予充分肯定并在全班展示,使學(xué)生的求異思維和創(chuàng)新意識(shí)能得到及時(shí)的表現(xiàn). 17.1等腰三角形 2課時(shí) 17.2直角三角形 1課時(shí) 17.3勾股定理 3課時(shí) 17.4直角三角形全等的判定 1課時(shí) 17.5反證法 1課時(shí) 回顧與思考 1課時(shí) 17.1　等腰三角形 1.了解等腰三角形、等邊三角形的定義,掌握等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì). 2.掌握等腰三角形和等邊三角形的判定方法. 1.通過動(dòng)手操作及等腰三角形、等邊三角形的對(duì)稱變換掌握其性質(zhì)和特征. 2.掌握等腰三角形和等邊三角形的判定方法, 能利用性質(zhì)和判定方法解決問題. 1.體會(huì)等腰三角形和等邊三角形的對(duì)稱美. 2.體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)無處不在,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 【重點(diǎn)】　等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定方法. 【難點(diǎn)】　等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定方法的應(yīng)用. 第課時(shí) 在動(dòng)手操作的過程中,理解等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)定理. 1.讓學(xué)生通過動(dòng)手操作,經(jīng)歷等腰三角形性質(zhì)的探索過程,培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手、歸納、概括的能力. 2.培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力,讓學(xué)生經(jīng)過推理證明得到等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)定理. 培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力,讓學(xué)生樹立良好的學(xué)習(xí)觀,增強(qiáng)學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)的態(tài)度. 【重點(diǎn)】　等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)定理. 【難點(diǎn)】　等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)定理的推理和證明. 【教師準(zhǔn)備】　多媒體課件、各種形狀的圖形、剪刀. 【學(xué)生準(zhǔn)備】　長方形紙、剪刀. 導(dǎo)入一: 教師預(yù)先做出各種幾何圖形,包括圓、長方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等邊三角形、等腰三角形等. 讓同學(xué)們搶答哪些是軸對(duì)稱圖形,提問什么是軸對(duì)稱圖形,什么樣的三角形才是軸對(duì)稱圖形.引入今天所要講的課題——等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)定理. 我們知道,有兩條邊相等的三角形是等腰三角形,下面我們利用軸對(duì)稱的知識(shí)來研究等腰三角形. [設(shè)計(jì)意圖]　通過辨別,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,從而引出可以利用軸對(duì)稱的性質(zhì)來確定等腰三角形. 導(dǎo)入二: 在前面的學(xué)習(xí)中,我們認(rèn)識(shí)了軸對(duì)稱圖形,探究了軸對(duì)稱的性質(zhì),并且能夠作出一個(gè)簡單平面圖形關(guān)于某一直線的軸對(duì)稱圖形,還能夠通過軸對(duì)稱變換來設(shè)計(jì)一些美麗的圖案.這節(jié)課我們就從軸對(duì)稱的角度來認(rèn)識(shí)一些我們熟悉的幾何圖形. 思考: 三角形是軸對(duì)稱圖形嗎? 有的三角形是軸對(duì)稱圖形,有的三角形不是. 問題:什么樣的三角形是軸對(duì)稱圖形? 滿足軸對(duì)稱的條件的三角形就是軸對(duì)稱圖形,也就是將三角形沿某一條直線對(duì)折后,兩部分能夠完全重合的就是軸對(duì)稱圖形. 這節(jié)課我們就來認(rèn)識(shí)一種是軸對(duì)稱圖形的三角形──等腰三角形. [設(shè)計(jì)意圖]　從三角形的角度,讓學(xué)生通過思考,了解等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,從而自然地引入到本節(jié)課的學(xué)習(xí)之中,激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望. 導(dǎo)入三: 1.出示一組含有等腰三角形的生活圖片,讓學(xué)生感知圖片主要部分形狀的共同點(diǎn). 2.出示自制的測平儀,告訴學(xué)生含45角的三角板頂點(diǎn)固定一條拴著重物的繩子,標(biāo)出底邊中點(diǎn)標(biāo)志,它就變成了測平儀.激起學(xué)生的好奇心,從而引入課題. [設(shè)計(jì)意圖]　活躍課堂氣氛,消除學(xué)生的緊張情緒,讓學(xué)生帶著問題進(jìn)入學(xué)習(xí). 　　[過渡語]　剛才我們知道等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,那么它有哪些性質(zhì)呢?現(xiàn)在我們就共同來研究它. 探究一:等腰三角形的性質(zhì)定理 思路一 【活動(dòng)1】 【課件1】　如圖所示,把一張長方形紙按圖中虛線對(duì)折,并剪去陰影部分,再把它展開,得到的ΔABC有什么特點(diǎn)? 【學(xué)生活動(dòng)】　學(xué)生動(dòng)手操作,觀察ΔABC的特點(diǎn),可以發(fā)現(xiàn)AB=AC. 【教師活動(dòng)】　讓學(xué)生回顧等腰三角形的概念: 有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的兩邊叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的夾角叫做底角. 如圖所示,在ΔABC中,若AB=AC,則ΔABC是等腰三角形,AB,AC是腰,BC是底邊,∠A是頂角,∠B和∠C是底角. 【活動(dòng)2】 【課件2】　觀察與思考: 如上圖所示,ΔABC是等腰三角形,其中AB=AC. (1)我們知道線段BC為軸對(duì)稱圖形,中垂線為它的對(duì)稱軸,由AB=AC,可知點(diǎn)A在線段BC的中垂線上.據(jù)此,你認(rèn)為ΔABC是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,對(duì)稱軸是哪條直線? (2)∠B和∠C有怎樣的關(guān)系? (3)底邊BC上的高、中線及∠A的平分線有怎樣的關(guān)系? 【學(xué)生活動(dòng)】　學(xué)生經(jīng)過觀察,然后小組討論交流,從中總結(jié)等腰三角形的性質(zhì). 【教師活動(dòng)】　引導(dǎo)學(xué)生歸納: 性質(zhì)1　等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡稱“等邊對(duì)等角”). [知識(shí)拓展]　等腰三角形的“等邊對(duì)等角”的特征是用來說明兩角相等、計(jì)算角的度數(shù)的常用方法. 性質(zhì)2　等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(簡稱“三線合一”). 【活動(dòng)3】　你能用所學(xué)知識(shí)驗(yàn)證上述性質(zhì)嗎? 【課件3】　如圖所示,在ΔABC中,AB=AC.求證∠B=∠C. 【學(xué)生活動(dòng)】　學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論,尋找解決問題的辦法,若證∠B=∠C,根據(jù)全等三角形的知識(shí)可以知道只需要證明這兩個(gè)角所在的三角形全等即可.于是可以作輔助線構(gòu)造兩個(gè)三角形,作BC邊上的中線AD,證明ΔABD和ΔACD全等即可,根據(jù)條件利用“邊邊邊”可以證明. 【教師活動(dòng)】　讓學(xué)生充分討論,根據(jù)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí),利用邏輯推理的方式進(jìn)行證明,證明過程中注意學(xué)生表述的準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性. 證明:作BC邊上的中線AD,如圖所示,則BD=CD, 在ΔABD和ΔACD中, 所以ΔABD≌ΔACD(SSS), 所以∠B=∠C. 這樣,就證明了性質(zhì)1. 類比性質(zhì)1的證明你能證明性質(zhì)2嗎? 由ΔABD≌ΔACD,還可得出∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90. 從而AD⊥BC,這也就證明了等腰三角形ABC底邊上的中線平分頂角∠A并垂直于底邊BC. 添加輔助線的方法多樣,讓學(xué)生再去討論、交流,即用類似的方法可以證明性質(zhì)2. 說明:經(jīng)過以上證明也可以得出等腰三角形底邊上的中線的左右兩部分經(jīng)翻折可以重合,等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,底邊上的中線(頂角平分線、底邊上的高)所在直線就是它的對(duì)稱軸. [知識(shí)拓展]　等腰三角形還有以下性質(zhì):(1)等腰三角形兩腰上的中線、高線相等;(2)等腰三角形兩個(gè)底角平分線相等;(3)等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高. [設(shè)計(jì)意圖]　通過折疊等腰三角形讓學(xué)生觀察,在動(dòng)手操作中掌握等腰三角形的性質(zhì),概括出性質(zhì),并引導(dǎo)學(xué)生加以證明,讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成和證明過程,加深了對(duì)知識(shí)的理解和掌握. 思路二 要求學(xué)生通過自己的思考來作一個(gè)等腰三角形. 【課件4】　作一條直線l,在l上取點(diǎn)A,在l外取點(diǎn)B,作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C,連接AB,BC,CA. 以上活動(dòng)所得三角形的兩邊相等嗎?此三角形稱為　　　　. 小結(jié):【課件5】　填出等腰三角形各部分名稱. 歸納:等腰三角形的定義:有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的兩邊叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,底邊與腰的夾角叫底角. 同學(xué)們在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底邊、頂角和底角. 【課件6】 問題1:等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎?請(qǐng)找出它的對(duì)稱軸. 問題2:通過折疊或測量,看看等腰三角形的兩底角有什么關(guān)系? 問題3:頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸嗎? 問題4:底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸嗎?底邊上的高所在的直線呢? 1.學(xué)生通過剛才自主探究,大膽猜想以上問題的結(jié)果. 2.教師用幾何畫板直觀演示并引導(dǎo)學(xué)生觀察等腰三角形的性質(zhì).(對(duì)稱性,等邊對(duì)等角,三線合一.) 小結(jié):等腰三角形的性質(zhì): (1)等腰三角形的兩個(gè)底角　　　　(簡稱“　　　　”); (2)等腰三角形的　　　　,　　　　、　　　　重合(簡稱“三線合一”). 3.你能證明以上性質(zhì)嗎? 問題: (1)性質(zhì)1(等腰三角形的兩個(gè)底角相等)的條件和結(jié)論分別是什么? (2)怎樣用數(shù)學(xué)符號(hào)表示條件和結(jié)論? 已知:在ΔABC中,AB=AC. 求證:∠B=∠C; 請(qǐng)以“頂角的平分線”為輔助線,證明以上性質(zhì).(A組同學(xué)完成以下填空,B組同學(xué)獨(dú)立證明.)教師巡視輔導(dǎo)點(diǎn)評(píng). 【課件6】　證明:如圖所示,作∠BAC的平分線AD,∴∠　　　?=∠　　　?,在ΔABD與ΔACD中,∴ΔABD≌ΔACD(　　　　),∴∠B=∠　　　　. 4.受上述啟發(fā),能證明性質(zhì)2嗎? 即證明∠BAC的平分線AD是ΔABC底邊上的中線和高. 證明:由ΔABD≌ΔACD知BD=　　　　,∠BAD=∠,∠ADB=∠　　　　, ∵∠ADB+∠ADC=　　　　, ∴∠ADB=∠ADC=　　　　. 因此∠BAC的平分線AD也是ΔABC底邊BC上的中線和高. 5.提問:作底邊上的高,又如何證明?(讓同學(xué)講證明思路.) [設(shè)計(jì)意圖]　通過作等腰三角形讓學(xué)生感知其重點(diǎn),通過幾何畫板讓學(xué)生對(duì)照?qǐng)D形思考等腰三角形的性質(zhì),同時(shí)掌握對(duì)性質(zhì)的證明方法,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力. 探究二:等邊三角形的性質(zhì)定理 　　[過渡語]　我們知道三邊都相等的三角形是等邊三角形.等邊三角形是特殊的等腰三角形,它有哪些性質(zhì)呢? 每位同學(xué)畫一個(gè)等邊三角形,并用量角器量一量每個(gè)內(nèi)角的度數(shù). 結(jié)論:等邊三角形的三個(gè)角都相等,并且每一個(gè)角都等于60. 【課件7】　已知:如圖所示,在ΔABC中,AB=BC=AC. 求證:∠A=∠B=∠C=60. 指導(dǎo)學(xué)生利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明. 證明:在ΔABC中,由AB=AC,得∠B=∠C.由AC=BC,得∠A=∠B.所以∠A=∠B=∠C.由三角形內(nèi)角和定理可得∠A=∠B=∠C=60. [知識(shí)拓展]　等邊三角形是特殊的等腰三角形,除了具有等腰三角形的性質(zhì)外,等邊三角形還具有自己特有的性質(zhì):(1)等邊三角形有三條對(duì)稱軸(等邊三角形三條邊都相等,都可以作為底邊);(2)作等邊三角形各邊的高線、中線、各角的平分線一共有三條. [設(shè)計(jì)意圖]　讓學(xué)生通過測量、證明,發(fā)現(xiàn)等邊三角形的性質(zhì),掌握等腰三角形和等邊三角形的關(guān)系. 探究三:例題講解 【課件8】 　已知:如圖所示,在ΔABC中,AB=AC,BD,CE分別為∠ABC,∠ACB的平分線. 求證:BD=CE. 〔解析〕　根據(jù)角平分線定義得到∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,再根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠ABC=∠ACB,從而得到∠ABD=∠ACE,然后通過ASA證得ΔABD≌ΔACE,就可以得到BD=CE. 教師巡回指導(dǎo),在學(xué)生完成后,指名口述解答過程. 【課件9】 　(補(bǔ)充例題)如圖所示,在ΔABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,且BD=BC=AD,求ΔABC中各角的度數(shù). 〔解析〕　根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì),我們可以得到∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.再由三角形內(nèi)角和為180,就可求出ΔABC的三個(gè)角的度數(shù).如果設(shè)∠A為x,那么∠ABC,∠C都可以用x來表示,這樣過程就更簡捷了. 解:因?yàn)锳B=AC,BD=BC=AD, 所以∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD. 設(shè)∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x, 從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 在ΔABC中, ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180, 解得x=36. 所以∠A=36,∠ABC=∠C=72. [設(shè)計(jì)意圖]　通過對(duì)例題的講解、分析,引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì),讓學(xué)生掌握解題思路和方法,提高學(xué)生對(duì)等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用能力. 1.等腰三角形的性質(zhì)1 等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡稱“等邊對(duì)等角”). 注意:等邊對(duì)等角只限于在同一個(gè)三角形中使用. 2.等腰三角形的性質(zhì)2 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(簡稱“三線合一”). 說明:等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,底邊上的中線(底邊上的高、頂角平分線)所在的直線是它的對(duì)稱軸. 3.等邊三角形的性質(zhì) 等邊三角形的三個(gè)角都相等,并且每一個(gè)角都等于60. 1.若等腰三角形的頂角為40,則它的底角度數(shù)為 (　　) A.40 B.50 C.60 D.70 解析:因?yàn)榈妊切蔚膬蓚€(gè)底角相等,頂角是40,所以其底角為=70.故選D. 2.一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是3和7,則它的周長為 (　　) A.17 B.15 C.13 D.13或17 解析:①當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?,底邊為7時(shí),3+3<7,不能構(gòu)成三角形;②當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?,底邊為3時(shí),周長為3+7+7=17.故這個(gè)等腰三角形的周長是17.故選A. 3.如圖所示,AD是等邊三角形ABC的中線,AE=AD,則∠EDC等于 (　　) A.30 B.20 C.25 D.15 解析:∵ΔABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠C=60,∵AD是ΔABC的中線,∴∠DAC=∠BAC=30,AD⊥BC,∴∠ADC=90,∵AE=AD,∴∠ADE=∠AED==75,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90-75=15.故選D. 4.如圖所示,l∥m,等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B在直線m上,邊BC與直線m所成的銳角為20,則∠α的度數(shù)為 (　　) A.60 B.45 C.40 D.30 解析:如圖所示,過C作CE∥直線m,∵l∥m,∴l(xiāng)∥m∥CE,∴∠ACE=∠α,∠BCE=∠CBF=20,∵ΔABC是等邊三角形,∴∠ACB=60,∴∠α+∠CBF=∠ACB=60,∴∠α=40.故選C. 5.如圖所示,在ΔABC中,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,若AB=6,CD=4,則ΔABC的周長是　　　　. 解析:∵在ΔABC中,AB=AC,∴ΔABC是等腰三角形,又∵AD⊥BC于點(diǎn)D,∴BD=CD.∵AB=6,CD=4,∴ΔABC的周長=6+4+4+6=20.故填20. 6.如圖所示,在ΔABC中,∠A=70,AB=AC,CD平分∠ACB.求∠ADC的度數(shù). 解析:由AB=AC及頂角∠A的度數(shù),利用等邊對(duì)等角得到兩底角相等,再利用三角形內(nèi)角和定理求出底角的度數(shù),再由CD為底角的平分線,求出∠DCB的度數(shù),由∠ADC為三角形BCD的外角,利用外角性質(zhì)即可求出∠ADC的度數(shù). 解:∵在ΔABC中,∠A=70,AB=AC, ∴∠B=∠ACB==55, 又∵CD平分∠ACB, ∴∠DCB=∠ACD=27.5, ∵∠ADC為ΔBCD的外角, ∴∠ADC=∠B+∠DCB=82.5. 7.如圖所示,等邊三角形ABC中,D為AC邊的中點(diǎn),過C作CE∥AB,且AE⊥CE,那么∠CAE=∠ABD嗎?請(qǐng)說明理由. 解析:根據(jù)ΔABC為等邊三角形,D為AC邊上的中點(diǎn)得到AC=BA,∠BAC=∠BCA=60,BD⊥AC,求出∠BDA=90,由CE∥AB得∠ACE=∠BAD,利用三角形內(nèi)角和定理得出∠CAE=∠ABD. 解:∠CAE=∠ABD,理由如下: ∵ΔABC為等邊三角形,D為AC邊上的中點(diǎn), ∴AC=BA,∠BAC=∠BCA=60,BD⊥AC, ∴∠BDA=90, ∵AE⊥CE,∴∠AEC=∠BDA=90, 又∵CE∥AB, ∴∠ACE=∠BAD, ∴180-90-∠ACE=180-90-∠BAD, ∴∠CAE=∠ABD. 第1課時(shí) 探究一:等腰三角形的性質(zhì) 探究二:等邊三角形的性質(zhì) 探究三:例題講解 例1 例2 一、教材作業(yè) 【必做題】 1.教材第142頁練習(xí)第1,2,3題. 2.教材第143頁習(xí)題A組第1,2,3題. 【選做題】 教材第143頁習(xí)題B組第1,2題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.如圖所示,在ΔABC中,AB=AC,∠A=30,以B為圓心,BC的長為半徑圓弧,交AC于點(diǎn)D,連接BD,則∠ABD等于 (　　) A.30 B.45 C.60 D.90 2.如圖所示,在ΔABC中,點(diǎn)D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80,則∠C的度數(shù)為 (　　) A.30 B.40 C.45 D.60 3.已知等腰三角形ABC的周長為13,且各邊長均為整數(shù),那么這樣的等腰三角形ABC有 (　　) A.5個(gè) B.4個(gè) C.3個(gè) D.2個(gè) 4.如圖所示,在ΔABC中,AB=AC,且D為BC上一點(diǎn),CD=AD,AB=BD,則∠B的度數(shù)為(　　) A.30 B.36 C.40 D.45 5.如圖所示,ΔABC是一房屋人字架,其中AB=AC,為使人字架更加堅(jiān)固,房主要求在頂點(diǎn)A和橫梁BC之間加根柱子AD,可木工卻不知將D點(diǎn)釘在BC何處才能使AD⊥BC,請(qǐng)同學(xué)們幫幫他,并說明理由. 【能力提升】 6.如圖所示,ΔABC是等邊三角形,E是AC上一點(diǎn),D是BC延長線上一點(diǎn),連接BE,DE,若∠ABE=40,BE=DE,求∠CED的度數(shù). 7.如圖所示,在ΔABC中,AB=AC,D為BC邊上一D點(diǎn),∠B=30,∠DAB=45. (1)求∠DAC的度數(shù); (2)求證DC=AB. 【拓展探究】 8.已知等腰三角形一腰上的中線將三角形的周長分為9 cm和15 cm兩部分,求這個(gè)等腰三角形的底邊長和腰長. 9.已知等邊三角形ABC和點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)A到BC的距離為h,點(diǎn)P到ΔABC的三邊AB,AC,BC的距離分別為h1,h2,h3, (1)如圖(1)所示,若點(diǎn)P在邊BC上,求證h1+h2=h. (2)如圖(2)所示,當(dāng)點(diǎn)P在ΔABC內(nèi)時(shí),猜想h1,h2,h3和h有什么關(guān)系?并證明你的結(jié)論. (3)如圖(3)所示,當(dāng)點(diǎn)P在ΔABC外時(shí),h1,h2,h3和h有什么關(guān)系? 【答案與解析】 1.B(解析:∵AB=AC,∠A=30,∴∠ABC=∠ACB=(180-∠A)=(180-30)=75,∵以B為圓心,BC的長為半徑圓弧,交AC于點(diǎn)D,∴BC=BD,∴∠CBD=180-2∠ACB=180-275=30,∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=75-30=45.) 2.B(解析:∵ΔABD中,AB=AD,∠B=80,∴∠B=∠ADB=80,∴∠ADC=180-∠ADB=100,∵AD=CD,∴∠C==40.) 3.C(解析:周長為13,邊長為整數(shù)的等腰三角形的邊長只能為:3,5,5;或4,4,5;或6,6,1.共3個(gè).) 4.B(解析:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵AB=BD,∴∠BAD=∠BDA,∵CD=AD,∴∠C=∠CAD,∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180,∴5∠B=180,∴∠B=36.) 5.解:木工將D點(diǎn)釘在BC中點(diǎn)處能使AD⊥BC,理由如下:∵AB=AC,BD=DC,∴AD⊥BC. 6.解:∵ΔABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60,∵∠ABE=40,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60-40=20,∵BE=DE,∴∠D=∠EBC=20,∴∠CED=∠ACB-∠D=40. 7.(1)解:∵AB=AC,∴∠B=∠C=30,∵∠C+∠BAC+∠B=180,∴∠BAC=180-30-30=120,∵∠DAB=45,∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120-45=75.　(2)證明:∵∠DAB=45,∴∠ADC=∠B+∠DAB=75,∴∠DAC=∠ADC,∴DC=AC,∵AB=AC,∴DC=AB. 8.解:設(shè)等腰三角形的腰長為x,如圖所示,∵ΔABC是等腰三角形,∴AB=AC,由BD是AC邊上的中線,有AB+AD=9或AB+AD=15,分下面兩種情況:(1)x+x=9,∴x=6,∵三角形的周長為9+15=24(cm),∴三邊長分別為6,6,12,∵6+6=12,不符合三角形的三邊關(guān)系,∴舍去; (2)x+x=15,∴x=10.∵三角形的周長為24 cm,∴三邊長分別為10,10,4.綜上可知這個(gè)等腰三角形的底邊長為4 cm,腰長為10 cm. 9.(1)證明:如圖(1)所示,連接AP,則SΔABC=SΔABP+SΔAPC,∴BCAM=ABPD+ACPF,即BCh=ABh1+ACh2.又∵ΔABC是等邊三角形,∴BC=AB=AC,∴h=h1+h2.　(2)解:h=h1+h2+h3,證明如下:如圖(2)所示,連接AP,BP,CP,則SΔABC=SΔABP+SΔBPC+SΔACP,∴BCAM=ABPD+ACPF+BCPE,即BCh=ABh1+ACh2+BCh3.又∵ΔABC是等邊三角形,∴BC=AB=AC.∴h=h1+h2+h3.　(3)解:h=h1+h2-h3.理由如下:如圖(3)所示,連接PB,PC,PA.由三角形的面積公式得SΔABC=SΔPAB+SΔPAC-SΔPBC,即BCAM=ABPD+ACPF-BCPE,∵ΔABC是等邊三角形,∴AB=BC=AC,∴h1+h2-h3=h. 這節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)概念和“認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形”的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的,學(xué)生已經(jīng)掌握了三角形的相關(guān)知識(shí),具有初步的探究學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).同時(shí)本節(jié)課的內(nèi)容不僅是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的運(yùn)用,也是今后證明角相等、線段相等及直線垂直的重要工具,它在教材中處于非常重要的地位.因?yàn)榈妊切蔚男再|(zhì)在日常生活中有廣泛的應(yīng)用,所以探索發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)是這節(jié)課的重點(diǎn);同時(shí),對(duì)“三線合一”性質(zhì)的理解和運(yùn)用,學(xué)生有一定的難度,是這節(jié)課的難點(diǎn).為了突出重點(diǎn),教師充分創(chuàng)設(shè)問題情境,解決問題;為了突破難點(diǎn),教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手折紙、動(dòng)手畫圖、對(duì)比分析、提出猜想、小組討論、發(fā)現(xiàn)、歸納總結(jié)等活動(dòng),加以化解.教師在整個(gè)教學(xué)過程中主要通過動(dòng)手操作、直觀演示、小組討論、自主探索、合作交流、發(fā)現(xiàn)歸納等多種教與學(xué)的方式,確保學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人,教師是組織者、引導(dǎo)者、合作者.同時(shí)為了更好地啟發(fā)、感染和調(diào)動(dòng)學(xué)生,提高教學(xué)效率,采用課件輔助教學(xué),充分開發(fā)和利用教育資源為課堂教學(xué)服務(wù).在教學(xué)方法上,本節(jié)課以學(xué)生為主體,教師真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者.特別是在探究“三線合一”的性質(zhì)時(shí),老師給出探究主題,學(xué)生以小組為單位,合作交流,自主探究、發(fā)現(xiàn). 本著“問題是數(shù)學(xué)的心臟”原則,教師精心設(shè)計(jì)了一些問題,在教學(xué)過程中有半數(shù)的學(xué)生回答了教師的提問,但礙于教學(xué)計(jì)劃,有的問題在回答過程中還不時(shí)得到教師的提醒,這樣導(dǎo)致的結(jié)果是難于發(fā)現(xiàn)學(xué)生真實(shí)的思維過程.“多提問”固然有利于學(xué)生思考和理解知識(shí),有利于了解學(xué)生掌握知識(shí)的程度.但在倡導(dǎo)培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的今天,更要重視對(duì)學(xué)生問題意識(shí)的培養(yǎng).但教師在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中留給學(xué)生的時(shí)間和空間偏少,導(dǎo)致學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題太少,長此以往,會(huì)使學(xué)生問題意識(shí)淡化. 問起于疑,疑源于思,課堂上教師要為學(xué)生質(zhì)疑創(chuàng)造足夠的空間和時(shí)間.在問題解決過程中培養(yǎng)學(xué)生問題意識(shí)和發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的良好習(xí)慣.在探究問題的過程中,教師一定要讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn),只有由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的東西,才是最真實(shí)的,也是最容易掌握的.在學(xué)生回答問題時(shí),教師要適當(dāng)點(diǎn)撥,但不能代替學(xué)生回答自己提出的問題,一定要讓學(xué)生說,哪怕是錯(cuò)誤的,也是經(jīng)過學(xué)生思考得來的. 【練習(xí)】(教材第142頁) 1.提示:(1)70.　(2)45.　(3)35.　(4)60.圖略. 2.提示:(1)20.　(2)80.　(3)90.　(4)120. 3.解:(1)可以是銳角,不可以是直角和鈍角.因?yàn)榈妊切蝺傻捉窍嗟?當(dāng)?shù)捉菫橹苯腔蜮g角時(shí),三角形內(nèi)角和大于180,與三角形內(nèi)角和等于180相矛盾,所以底角不可以是直角或鈍角.　(2)都可以,因?yàn)槎挤先切蝺?nèi)角和定理. 【習(xí)題】(教材第143頁) A組 1.解:(1)圖中有3個(gè)等腰三角形,它們分別是ΔABC,ΔABD,ΔBCD.　(2)因?yàn)锳B=AC,所以∠ABC=∠C.因?yàn)锽D=BC,所以∠C=∠BDC.因?yàn)锽D=AD,所以∠A=∠DBA.設(shè)∠A=∠DBA=α,則∠ABC=∠BDC=∠C=2α.在ΔABC中,∠ABC+∠C+∠A=180,所以2α+2α+α=180,即5α=180,所以α=36,即∠A=36. 2.解:(1)80,20或50,50.　(2)40,40.　(3)設(shè)這個(gè)三角形的頂角為x,則其底角為x,由題意得x+x+x=180,∴x=90,x=45.∴這個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為90,45,45. 3.解:∵ΔABC為等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=60,又∵BD=DC,∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=60=30. 4.解:∵AB=BC,∠B=50,∴∠ACB=∠BAC==65.∵AC=CD,∴∠D =∠CAD.又∵∠ACB=∠D+∠CAD,∴∠ACB=2∠D,∴2∠D=65,∴∠D=32.5. B組 1.解:設(shè)腰長為x cm.①當(dāng)腰長大于底邊長時(shí),x+x=18,∴x=12,此時(shí)底邊長為15-x=15-12=9(cm).②當(dāng)腰長小于底邊長時(shí),x+x=15,∴x=10,此時(shí)底邊長為18-x=18-10=13(cm).綜上可得等腰三角形的底邊長為9 cm或13 cm. 2.解:相等,相等.已知:如圖所示,在ΔABC中,AB=AC,BD,CE分別是AC,AB邊上的中線,BG,CH分別是AC,AB邊上的高.求證BD=CE,BG=CH.證明:∵AB=AC,BD,CE分別為AC,AB邊上的中線,∴AD=AC,AE=AB,∴AD=AE.在ΔABD和ΔACE中,∴ΔABD≌ΔACE,∴BD=CE.∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,∵BG,CH分別為AC,AB邊上的高,∴∠BGC=∠CHB=90.在ΔBGC和ΔCHB中,∴ΔBGC≌ΔCHB,∴BG=CH. 等腰三角形的性質(zhì)與應(yīng)用 等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)在初中幾何證明和計(jì)算中占據(jù)了非常重要的地位,實(shí)際上這個(gè)性質(zhì)的逆定理在證明中的直接或間接應(yīng)用也不亞于這個(gè)性質(zhì)的直接應(yīng)用,可以作為判定等腰三角形的一種重要思路.由于書上沒有直接給出逆定理,所以很多學(xué)生在解題時(shí)很難想象到利用這一定理來解決問題,以至于在幾何證明過程中思維受阻,不能正確地作出輔助線. 因而在教學(xué)中,教師如果把握好等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆定理在輔助線教學(xué)中的應(yīng)用,把握好化歸思想方法的滲透,將有助于讓學(xué)生把握解題的關(guān)鍵,更好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力,有助于學(xué)生突破解題的難點(diǎn),明確輔助線的添加,探明解題的方法,從而幫助學(xué)生提高解決問題的能力, “三線合一”性質(zhì):等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合, 逆定理:①如果三角形中任一角的平分線和它所對(duì)邊的中線重合,那么這個(gè)三角形是等腰三角形. ②如果三角形中任一角的平分線和它所對(duì)邊的高重合,那么這個(gè)三角形是等腰三角形. ③如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合,那么這個(gè)三角形是等腰三角形. 簡言之:三角形中任意兩線合一,必能推導(dǎo)出它是一個(gè)等腰三角形. 學(xué)習(xí)本節(jié)的關(guān)鍵之一是讓學(xué)生通過剪切、折疊,發(fā)現(xiàn)線段和角的關(guān)系,從圖形中觀察并總結(jié)出等腰三角形的性質(zhì).教學(xué)中要注意引導(dǎo),不要急于得出結(jié)論,在操作過程中,讓學(xué)生翻折不同的等腰三角形,如頂角是銳角、鈍角或直角的等腰三角形,說明在翻折過程中相應(yīng)的角的大小和線段的長短關(guān)系都沒有發(fā)生變化;還可以讓學(xué)生探索一般的三角形是否一定有這種性質(zhì),進(jìn)一步體會(huì)等腰三角形所具有的特點(diǎn). 　如圖所示,ΔABC中,AB=AC,AD是BC邊上的高,∠CAD=26,AE=AD,求∠BDE的度數(shù). 〔解析〕　由等腰三角形“三線合一”知∠BAD=∠CAD=26,由等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理可求得∠ADE=77,在RtΔADB中,∠BDE=∠ADB-∠ADE. 解:∵AB=AC,AD是高, ∴∠BAD=∠CAD=26. ∵AD=AE, ∴∠ADE=∠AED=(180-26)2=77. ∴∠BDE=90-77=13. 　小明做了一個(gè)如圖所示的“風(fēng)箏”骨架,其中AB=AD,CB=CD. (1)八年級(jí)王云同學(xué)觀察了這個(gè)“風(fēng)箏”骨架后,他認(rèn)為AC⊥BD,垂足為點(diǎn)E,并且BE=ED,你同意王云的判斷嗎?為什么? (2)設(shè)AC=a,BD=b,請(qǐng)用含a,b的式子表示四邊形ABCD的面積. 〔解析〕　(1)根據(jù)SSS證ΔABC≌ΔADC,推出∠BAC=∠DAC,根據(jù)等腰三角形“三線合一”推出即可;(2)四邊形ABCD的面積為S=SΔABD+SΔCBD=BDAC,代入求出即可. 解:(1)∵在ΔABC和ΔADC中, ∴ΔABC≌ΔADC(SSS),∴∠BAC=∠DAC, ∵AB=AD,∴AC⊥BD,BE=DE. (2)∵AC=a,BD=b, ∴四邊形ABCD的面積S=SΔABD+SΔCBD=BDAE+BDCE=BD(AE+CE)=BDAC=ab. 　用一條長為20 cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形. (1)如果腰長是底邊長的2倍,那么各邊的長是多少? (2)能圍成有一邊長為5 cm的等腰三角形嗎?如果能,請(qǐng)求出它的另兩邊長. 〔解析〕　(1)設(shè)底邊長為x cm,則腰長為2x cm,根據(jù)周長公式列一元一次方程,解方程即可求得各邊的長;(2)題中沒有指明5 cm長的邊是底邊還是腰,故應(yīng)該分情況進(jìn)行討論,注意利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn). 解:(1)設(shè)底邊長為x cm,則腰長為2x cm, 根據(jù)題意得2x+2x+x=20, 解得x=4,∴2x=8, ∴各邊長為8 cm,8 cm,4 cm. (2)①當(dāng)5 cm為底邊長時(shí),腰長為7.5 cm; ②當(dāng)5 cm為腰長時(shí),底邊長為10 cm, ∵5+5=10,∴不能構(gòu)成三角形,故舍去. 因此能構(gòu)成有一邊長為5 cm的等腰三角形,另兩邊長為7.5 cm,7.5 cm. 　如圖所示,兩根鋼繩一端用鐵柱固定在地面上,另一端固定在電線桿上(電線桿垂直于地面),已知兩根鋼繩的長度相等,則兩個(gè)鐵柱到電線桿底部的距離BO與CO相等嗎?為什么? 〔解析〕　已知兩根鋼繩的長度相等,所以ΔABC是等腰三角形,因?yàn)殡娋€桿垂直于地面,所以根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知BO=CO. 解:BO與CO相等.理由如下: ∵AB=AC, ∴ΔABC是等腰三角形, 由題知AO⊥BC,∴BO=CO, 因此兩個(gè)鐵柱到電線桿底部的距離BO與CO相等. 第課時(shí) 1.理解并掌握等腰三角形、等邊三角形的判定定理. 2.運(yùn)用等腰三角形、等邊三角形的判定定理進(jìn)行證明和計(jì)算. 1.理解并掌握“等角對(duì)等邊”,體會(huì)與“等邊對(duì)等角”的互逆關(guān)系. 2.能夠利用等腰三角形和等邊三角形的判定定理解決問題. 1.提高學(xué)生的動(dòng)手能力,學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)說理,發(fā)展初步的演繹推理能力. 2.引導(dǎo)學(xué)生觀察,發(fā)現(xiàn)等腰三角形、等邊三角形的判定定理,讓學(xué)生從思考中獲得成功,在這個(gè)過程中體驗(yàn)學(xué)習(xí)的興趣. 【重點(diǎn)】　等腰三角形、等邊三角形的判定定理. 【難點(diǎn)】　邊、角關(guān)系互相轉(zhuǎn)化及運(yùn)用. 【教師準(zhǔn)備】　課件1~5. 【學(xué)生準(zhǔn)備】　復(fù)習(xí)等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì). 導(dǎo)入一: 【課件1】　某地質(zhì)專家為估測一條東西流向的河流的寬度,選擇河流北岸上一棵樹(B點(diǎn)),然后在這棵樹的正南方A點(diǎn)插一小旗作標(biāo)志,沿南偏東60方向走一段距離到C處時(shí),測得∠ACB為30,這時(shí),地質(zhì)專家只要測得AC的長度就可知河流寬度. 學(xué)生們很想知道,這樣估測河流寬度的根據(jù)是什么?帶著這個(gè)問題,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“等腰三角形、等邊三角形的判定定理”. 導(dǎo)入二: 教師提出問題,引導(dǎo)學(xué)生思考. 1.什么樣的三角形叫做等腰三角形? 2.等腰三角形的兩底角有何關(guān)系? 誰能告訴我怎樣去判定一個(gè)三角形是不是等腰三角形? 除用兩邊相等判定等腰三角形外,是否還有其他方法?由此引入課題. 等腰三角形的兩個(gè)底角是相等的,反過來,如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這個(gè)三角形是否一定是等腰三角形呢? [設(shè)計(jì)意圖]　通過問題引入,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到等腰三角形的性質(zhì)與等腰三角形的判定方法是否存在一種特殊關(guān)系,從而掀起學(xué)生的探究欲望,使他們能更好地投入到學(xué)習(xí)中. 導(dǎo)入三: 對(duì)于一個(gè)三角形,怎樣判定它是不是等腰三角形呢?我們已經(jīng)知道的方法是看它是否有兩條邊相等.現(xiàn)在我們將學(xué)習(xí)另一種判定方法. 活動(dòng)一:等腰三角形、等邊三角形的判定定理 　　[過渡語]　我們已經(jīng)知道如果一個(gè)三角形有兩條邊相等,那么它們所對(duì)的角也相等,反過來,如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么它們所對(duì)的邊是否相等呢?下面我們就來研究這個(gè)問題. 1.等腰三角形的判定定理 思路一 【課件2】　已知在ΔABC中,∠B=∠C. (1)請(qǐng)你作出∠BAC的平分線AD. (2)將ΔABC沿AD所在直線折疊,ΔABC被直線AD分成的兩部分能夠重合嗎? (3)由上面的操作,你是否發(fā)現(xiàn)了邊AB和邊AC之間的數(shù)量關(guān)系? 學(xué)生思考教師提出的問題,得出結(jié)論:ΔABC被直線AD分成的兩部分能夠重合,AB=AC. 從上面的探究我們不難發(fā)現(xiàn):如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等. 如何證明? (1)在這一問題中,條件和結(jié)論是什么? (2)用數(shù)學(xué)符號(hào)怎樣表示? 教師引導(dǎo)提示,學(xué)生根據(jù)提示畫出圖形,并寫出已知、求證. 已知:在ΔABC中,∠B=∠C. 求證:AB=AC. 與學(xué)生一起回顧等腰三角形性質(zhì)的證明過程,從作底邊上的高、中線、頂角平分線三個(gè)方面分析.讓學(xué)生逐一嘗試,發(fā)現(xiàn)可以作AD⊥BC,或AD平分∠ABC,但不能作BC邊上的中線. 學(xué)生口頭證明后,選一種方法寫出證明過程. 證明:如圖所示,作ΔABC的角平分線AD. 在ΔBAD和ΔCAD中, ∴ΔBAD≌ΔCAD(AAS), ∴AB=AC. 歸納等腰三角形的判定方法: 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這個(gè)三角形是等腰三角形,其中,兩個(gè)相等的角所對(duì)的邊也相等.簡稱“等角對(duì)等邊”. 說明:三角形的“兩邊相等”和“兩角相等”都是指在同一個(gè)三角形中才能得到“等邊對(duì)等角”及“等角對(duì)等邊”.“等邊對(duì)等角”是性質(zhì),“等角對(duì)等邊”是判定方法. [知識(shí)拓展]　如果一個(gè)三角形一邊上的高、中線和這條邊所對(duì)的角的平分線中有任意兩條線段互相重合,那么這個(gè)三角形就是等腰三角形,這種方法是補(bǔ)充的一種方法,可以幫助我們解題時(shí)找思路,而在實(shí)際的解題過程中往往要轉(zhuǎn)化為判定方法來解決.線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)也可以判斷相等,從而進(jìn)一步說明三角形是等腰三角形. 思路二 環(huán)節(jié)一:等腰三角形的判定方法 問題1:你會(huì)畫等腰三角形嗎? 可以讓學(xué)生以小組為單位進(jìn)行討論如何畫一個(gè)等腰三角形.學(xué)生可能會(huì)說在畫出的三角形中使兩邊相等, 總結(jié):等腰三角形的判定方法1:有兩邊相等的三角形是等腰三角形. 問題2:有兩邊相等的三角形是等腰三角形,那么有沒有其他的畫等腰三角形的方法? 若學(xué)生回答可以畫三角形,使得有兩個(gè)角相等,引導(dǎo)學(xué)生思考問題3;若學(xué)生不能想到兩角相等,則可以引導(dǎo)學(xué)生回憶等腰三角形的性質(zhì). 問題3:三角形中的兩個(gè)角相等,這個(gè)三角形是等腰三角形嗎?為什么? 環(huán)節(jié)二:實(shí)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?畫一個(gè)三角形,使得其中的兩個(gè)角相等,剪下來觀察是不是等腰三角形. 【課件3】　作法:(1)畫一條線段BC; (2)以BC為始邊,分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為頂點(diǎn),在BC的同側(cè),畫兩個(gè)相等的角; (3)兩角終邊的交點(diǎn)為點(diǎn)A,那么,在ΔABC中,∠　　　　=∠　　　　; (4)找出BC的中點(diǎn)D,連接AD,那么AD是ΔABC的　　　　線; (5)沿AD對(duì)折,你有什么新發(fā)現(xiàn)嗎?請(qǐng)把你的新發(fā)現(xiàn)記錄下來: 　; (6)與同學(xué)們分享一下你的新發(fā)現(xiàn); (7)得出結(jié)論:　. 結(jié)論:等腰三角形的判定方法2:如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這個(gè)三角形是等腰三角形.其中,兩個(gè)相等的角所對(duì)的邊相等(簡稱“等角對(duì)等邊”). 如圖所示,在ΔABC中,若∠B=∠C,則AB=AC.你能證明這個(gè)命題成立嗎? 教師引導(dǎo)學(xué)生加以證明,一名同學(xué)板演過程,教師講評(píng). 2.等邊三角形的判定定理 　　[過渡語]　我們知道等邊三角形是特殊的等腰三角形,那么怎樣判定一個(gè)三角形是等邊三角形呢? 探究1:如圖所示,ΔABC中,如果∠A=∠B=∠C,那么ΔABC是什么三角形? 等邊三角形.為什么? ∵∠A=∠B=∠C, ∴AB=BC=CA(等角對(duì)等邊). 歸納:等邊三角形的判定方法1: 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形. 探究2:ΔABC中,如果AB=AC,那么ΔABC還需添加一個(gè)什么條件,才能使ΔABC為等邊三角形? 有一個(gè)角為60. 等邊三角形的判定方法2:有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形. 說明:先獨(dú)立猜想,然后以小組為單位對(duì)本組成員的所有猜想通過畫圖進(jìn)行驗(yàn)證. [知識(shí)拓展]　在判斷一個(gè)三角形是不是等邊三角形時(shí),我們可從邊或角的角度去判斷,對(duì)于“有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形”在使用時(shí)應(yīng)注意,其前提條件必須是“等腰三角形”,此時(shí),無論60是頂角還是底角,都可以說明三角形是等邊三角形. 活動(dòng)二:判定定理的應(yīng)用 　　[過渡語]　剛才通過探究,我們掌握了等腰三角形的判定方法,利用等腰三角形的判定方法我們可以識(shí)別一個(gè)三角形是不是等腰三角形,還可以利用它解決一些其他的問題. 1.【課件4】　求證:如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊,那么這個(gè)三角形是等腰三角形. 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)命題畫出圖形,利用角平分線的性質(zhì)及“等角對(duì)等邊”來證明. 20 / 20