2019-2020年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用檢測題.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用檢測題 一．知識梳理 1． 數(shù)列求和的方法技巧 (1)分組轉(zhuǎn)化法 有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并． (2)錯位相減法 這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{anbn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列． (3)倒序相加法 這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式時所用的方法，也就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，當(dāng)它與原數(shù)列相加時若有公式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和． (4)裂項相消法 利用通項變形，將通項分裂成兩項或n項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和．這種方法，適用于求通項為的數(shù)列的前n項和，其中{an}若為等差數(shù)列，則＝（ ）. 常見的拆項公式： ①＝ ； ②＝(－)； ③＝( － )； ④＝(－)． 2． 數(shù)列應(yīng)用題的模型 (1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比． (3)混合模型：在一個問題中同時涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型． (4)生長模型：如果某一個量，每一期以一個固定的百分?jǐn)?shù)增加(或減少)，同時又以一個固定的具體量增加(或減少)時，我們稱該模型為生長模型．如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等． (5)遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項an與它的前一項an－1(或前n項)間的遞推關(guān)系式，我們可以用遞推數(shù)列的知識來解決問題. 二．預(yù)習(xí)練習(xí) 1． 已知數(shù)列1，3，5，7，…，則其前n項和Sn＝________. 2． 在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 013，其前n項和為Sn，若－＝2，則S2 013的值等于________． 3． 對于數(shù)列{an}，a1＝4，an＋1＝f(an)，n＝1,2，…，則a2 013＝________. x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 4． 設(shè){an}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，{bn}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，記Mn＝ab1＋ab2＋…＋abn，則數(shù)列{Mn}中不超過2 013的項的個數(shù)為________． 5． 在等差數(shù)列{an}中，其前n項和是Sn，若S15>0，S16<0，則在，，…，中最大的是________． 三．典型例題 考點一 分組轉(zhuǎn)化求和法 例1 等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋(－1)nln an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 變式 已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝2an＋n2－3n－2，n＝1,2,3，… (1)求證：數(shù)列{an－2n}為等比數(shù)列； (2)設(shè)bn＝ancos nπ，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. . 考點二 錯位相減求和法 例2 (xx山東)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，且Tn＋＝λ(λ為常數(shù))．令cn＝b2n，n∈N*，求數(shù)列{cn}的前n項和Rn. 變式設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＝322n－1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 考點三 裂項相消求和法 例3 (xx廣東)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*. (1)求a2的值； (2)求數(shù)列{an}的通項公式； (3)證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<. 變式 已知，，(x≥0)成等差數(shù)列．又?jǐn)?shù)列{an}(an>0)中，a1＝3，此數(shù)列的前n項和為Sn，對于所有大于1的正整數(shù)n都有Sn＝f(Sn－1)． (1)求數(shù)列{an}的第n＋1項； (2)若是，的等比中項，且Tn為{bn}的前n項和，求Tn. 考點四 數(shù)列的實際應(yīng)用 例4 (xx湖南)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50%，預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元． (1)用d表示a1，a2，并寫出an＋1與an的關(guān)系式； (2)若公司希望經(jīng)過m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)． 變式 某產(chǎn)品在不做廣告宣傳且每千克獲利a元的前提下，可賣出b千克．若做廣告宣傳，廣告費為n(n∈N*)千元時比廣告費為(n－1)千元時多賣出千克． (1)當(dāng)廣告費分別為1千元和2千元時，用b表示銷售量S； (2)試寫出銷售量S與n的函數(shù)關(guān)系式； (3)當(dāng)a＝50，b＝200時，要使廠家獲利最大，銷售量S和廣告費n分別應(yīng)為多少？ 四．課后練習(xí) 一、填空題 1． 在一個數(shù)列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么稱這個數(shù)列為等積數(shù)列，稱k為這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________. 2． 秋末冬初，流感盛行，特別是甲型H1N1流感．某醫(yī)院近30天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，則該醫(yī)院30天入院治療甲流的人數(shù)為________． 3． 數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，則＋＋＋…＋＝________. 4． 已知函數(shù)f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a2 012＝________. 5． (xx安徽)如圖，互不相同的點A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面積均相等．設(shè)OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，則數(shù)列{an}的通項公式是________． 6． 已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝4(n≥1)且a1＝9，其前n項之和為Sn，則滿足不等式|Sn－n－6|<的最小整數(shù)n是________． 7．氣象學(xué)院用3.2萬元買了一臺天文觀測儀，已知這臺觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費為(n∈N*)元，使用它直至報廢最合算(所謂報廢最合算是指使用這臺儀器的平均耗資最少)，一共使用了________天． 二、解答題 8．(xx江西)正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an； (2)令bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn<. 9．將函數(shù)f(x)＝sin xsin (x＋2π)sin (x＋3π)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)的全部極值點按從小到大的順序排成數(shù)列{an}(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝2nan，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn的表達(dá)式． 10．在等比數(shù)列{an}中，a2＝，a3a6＝.設(shè)bn＝log2a2log2a2，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和． (1)求an和Tn； (2)若對任意的n∈N*，不等式λTn下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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