2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 3-8 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 文.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 3-8 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 文 一、選擇題 1.(xx年高考四川卷)如圖,從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時(shí)氣球的高是60 m,則河流的寬度BC等于( ) A.240(-1) m B.180(-1) m C.120(-1) m D.30(+1)m 解析:由題圖知AB==,∠ACB=30,∠BAC=45,在△ABC中,由正弦定理得=,可得BC=120(-1). 答案:C 2.要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度,在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45,在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30,并測(cè)得水平面上的∠BCD=120,CD=40 m,則電視塔的高度為( ) A.10 m B.20 m C.20 m D.40 m 解析:設(shè)電視塔的高度為x m,則BC=x,BD=x.在△BCD中,根據(jù)余弦定理得3x2=x2+402-240xcos 120,即x2-20x-800=0,解得x=-20(舍去)或x=40.故電視塔的高度為40 m. 答案:D 3.一船向正北航行,看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時(shí)后,看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60,另一燈塔在船的南偏西75,則這艘船的速率是每小時(shí)( ) A.5海里 B.5海里 C.10海里 D.10海里 解析:如圖,依題意有∠BAC=60,∠BAD=75,所以∠CAD=∠CDA=15,從而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,得AB=5,于是這艘船的速度是=10海里/小時(shí). 答案:C 4.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速率沿東偏南50方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處.在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是東偏南20,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是( ) A.10海里 B.10海里 C.20海里 D.20海里 解析:由已知可得,∠BAC=30,∠ABC=105,AB=20,從而∠ACB=45.在△ABC中,由正弦定理,得BC=sin 30=10. 答案:A 5.(xx年南昌模擬)如圖所示,當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救,甲船立即前往營(yíng)救,同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C處的乙船,乙船立即朝北偏東θ+30角的方向沿直線前往B處營(yíng)救,是sin θ的值為( ) A. B. C. D. 解析:連接BC.在△ABC中,AC=10,AB=20,∠BAC=120,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2ABACcos 120=700,∴BC=10,再由正弦定理,得=,∴sin θ=. 答案:A 二、填空題 6.(xx年濰坊調(diào)研)為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高,先在河岸上選一點(diǎn)C,使C在塔底B的正東方向上,測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60,再由點(diǎn)C沿北偏東15方向走10米到位置D,測(cè)得∠BDC=45,則塔AB的高是________米. 解析:在△BCD中,由正弦定理,得=,解得BC=10米,∴在Rt△ABC中,塔AB的高是10米. 答案:10 7.已知A船在燈塔C北偏東80處,且A船到燈塔C的距離為2 km,B船在燈塔C北偏西40處,A,B兩船間的距離為3 km,則B船到燈塔C的距離為_(kāi)_______ km. 解析:如圖,由已知得 ∠ACB=120,AC=2,AB=3. 設(shè)BC=x,則由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BCACcos 120, 即32=22+x2-22xcos 120即x2+2x-5=0,解得x=-1. 答案:-1 8.某路邊一樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)吹斷后,折成與地面成45角,樹(shù)干也傾斜為與地面成75角,樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距20 m,則折斷點(diǎn)與樹(shù)干底部的距離是________ m. 解析:如圖,設(shè)樹(shù)干底部為O,樹(shù)尖著地處為B,折斷點(diǎn)為A, 則∠ABO=45, ∠AOB=75, 所以∠OAB=60. 由正弦定理知,=, 解得AO= m. 答案: 三、解答題 9.(xx年濟(jì)南模擬)如圖,漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處,且與島嶼A相距12海里,漁船乙以10海里/時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行,若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙,剛好用2小時(shí)追上,此時(shí)到達(dá)C處. (1)求漁船甲的速度; (2)求sin α的值. 解析:(1)依題意知,∠BAC=120,AB=12海里,AC=102=20海里,∠BCA=α, 在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos∠BAC=122+202-21220cos 120=784. 解得BC=28海里. 所以漁船甲的速度為=14海里/時(shí). (2)由(1)知BC=28海里,在△ABC中,∠BCA=α,由正弦定理得=. 即sin α===. 10.如圖所示,A,B是海面上位于東西方向相距5(3+)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn).現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45,B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào),位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救,其航行速率為30海里/小時(shí),該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間? 解析:由題意知AB=5(3+)海里, ∠DBA=90-60=30,∠DAB=90-45=45, ∴∠ADB=180-(45+30)=105, 在△DAB中,由正弦定理,得=, ∴DB=====10海里, 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=60,BC=20海里. 在△DBC中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BDBCcos∠DBC=300+1 200-21020=900. ∴CD=30海里.則需要的時(shí)間t==1小時(shí). B組 高考題型專練 1.(xx年滁州調(diào)研)線段AB外有一點(diǎn)C,∠ABC=60,AB=200 km,汽車以80 km/h的速度由A向B行駛,同時(shí)摩托車以50 km/h的速率由B向C行駛,則運(yùn)動(dòng)開(kāi)始多少h后,兩車的距離最小( ) A. B.1 C. D.2 解析:如圖所示,設(shè)t h后,汽車由A行駛到D,摩托車由B行駛到E,則AD=80t,BE=50t.因?yàn)锳B=200,所以BD=200-80t,問(wèn)題就是求DE最小時(shí)t的值. 由余弦定理,得 DE2=BD2+BE2-2BDBEcos 60=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)50t =12 900t2-42 000t+40 000. 當(dāng)t=時(shí),DE最?。? 答案:C 2.(xx年高考浙江卷)如圖,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練,已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng),此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角),若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30,則tan θ的最大值是( ) A. B. C. D. 解析:由題意,在△ABC中,sin∠ACB===,則cos∠ACB=. 作PH⊥BC,垂足為H,連接AH,如右圖所示. 設(shè)PH=x,則CH=x,在△ACH中,由余弦定理得AH = =,tan∠PAH= ==(>0), 故當(dāng)=時(shí),最大值為. 答案:D 3.如圖,一艘船上午9:30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30的方向,之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達(dá)B處,此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75的方向,且與它相距8n mile.此船的航速是________n mile/h. 解析:設(shè)航速為v n mile/h, 在△ABS中AB=v,BS=8, ∠BSA=45, 由正弦定理得=,則v=32. 答案:32 4.(xx年昌平模擬)如圖所示,已知樹(shù)頂A離地面米,樹(shù)上另一點(diǎn)B離地面米,某人在離地面米的C處看此樹(shù),則該人離此樹(shù)________米時(shí),看A,B的視角最大. 解析:過(guò)C作CF⊥AB于點(diǎn)F,設(shè)∠ACB=α,∠BCF=β. 由已知得AB=-=5米,BF=-=4米,AF=-=9米. 則tan(α+β)==,tan β==, ∴tan α=[(α+β)-β]===≤=. 當(dāng)且僅當(dāng)FC=,即FC=6時(shí),tan α取得最大值,此時(shí)α取得最大值. 答案:6 5.(xx年高考江蘇卷)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min 后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min,山路AC長(zhǎng)為1 260 m,經(jīng)測(cè)量,cos A=,cos C=. (1)求索道AB的長(zhǎng); (2)問(wèn):乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短? (3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)? 解析:(1)在△ABC中,因?yàn)閏os A=,cos C=, 所以sin A=,sin C=. 從而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=+=. 由正弦定理=,得AB=sin C==1 040 m. 所以索道AB的長(zhǎng)為1 040 m. (2)假設(shè)乙出發(fā)t min后,甲、乙兩游客距離為d,此時(shí),甲行走了(100+50t) m,乙距離A處130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)=200(37t2-70t+50). 因?yàn)?≤t≤,即0≤t≤8, 故當(dāng)t= min時(shí),甲、乙兩游客距離最短. (3)由正弦定理=,得BC=sin A==500 m. 乙從B出發(fā)時(shí),甲已走了50(2+8+1)=550 m,還需走710 m才能到達(dá)C. 設(shè)乙步行的速度為v m/min,由題意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3 min,乙步行的速度應(yīng)控制在(單位:m/min)范圍內(nèi).- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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