2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 2.3 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式課件 北師大版選修4-5.ppt
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,,,,,,,,,,,,,,,,,第二章幾個(gè)重要的不等式,3數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式,3.1數(shù)學(xué)歸納法3.2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,一、閱讀教材P36~P37“數(shù)學(xué)歸納法”的有關(guān)內(nèi)容,完成下列問題:1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法(1)數(shù)學(xué)歸納法的概念:設(shè)有一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題,若當(dāng)n取第1個(gè)值n0時(shí)該命題成立,又在假設(shè)當(dāng)n取第__________________個(gè)值時(shí)該命題成立后可以推出n取第________個(gè)值時(shí)該命題成立,則該命題對_________________都成立,這種證明方法叫作數(shù)學(xué)歸納法.(2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍:可用于證明與____________有關(guān)的命題.,k(k∈N+,k≥n0),k+1,一切自然數(shù)n≥n0,正整數(shù),2.?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟(1)驗(yàn)證當(dāng)n取_____________(如n0=1或2等)時(shí)命題正確.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥n0)時(shí)命題正確,證明當(dāng)____________時(shí)命題也正確.在完成了上述兩個(gè)步驟之后,就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數(shù)都正確.,第一個(gè)值n0,n=k+1,1.(1)數(shù)學(xué)歸納法中,n取得的第一個(gè)值n0是否一定是1?(2)如何理解歸納假設(shè)在證明中的作用?提示:(1)n0不一定是1,是符合命題的第一個(gè)正整數(shù).(2)歸納假設(shè)在證明中起一個(gè)橋梁的作用,用于聯(lián)系第一個(gè)值n0和后續(xù)的n值所對應(yīng)的情形.在歸納遞推的證明中,必須以歸納假設(shè)為基礎(chǔ)進(jìn)行證明,否則,就不是數(shù)學(xué)歸納法.,用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的過程如下:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=20=1,右邊=21-1=1,等式成立.(2)假設(shè)n=k(k≥1,且k∈N+)時(shí),等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,,沒有用到歸納假設(shè),二、閱讀教材P38~P39“數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用”的有關(guān)內(nèi)容,完成下列問題:3.貝努利不等式對任何實(shí)數(shù)x≥-1和任何正整數(shù)n,有(1+x)n≥________.,1+nx,2.在貝努利不等式中,當(dāng)指數(shù)n推廣到任意實(shí)數(shù)且x>-1時(shí),不等式形式將有何變化?提示:當(dāng)指數(shù)n推廣到任意實(shí)數(shù)且x>-1時(shí),若01,則(1+x)a≥1+ax.,用數(shù)學(xué)歸納法證明等式,【點(diǎn)評】應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是在運(yùn)用歸納假設(shè),分析p(k)與p(k+1)的差異及聯(lián)系,利用拆、添、并、放等手段,從p(k+1)中分離出p(k),再進(jìn)行局部調(diào)整,也可考慮尋求兩者的結(jié)合點(diǎn),以便順利過渡,利用歸納假設(shè),經(jīng)過恒等變形,得到結(jié)論需要的形式.,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,【點(diǎn)評】在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題中,從n=k到n=k+1的過渡中,利用歸納假設(shè)是比較困難的一步.它不像用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問題,只需拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)來.而證明不等式的第二步中,從n=k到n=k+1,只用拼湊的方法,有時(shí)也行不通.因?yàn)閷Σ坏仁絹碚f,它還涉及放縮的問題,它可能需通過放大或縮小的過程,才能利用上歸納假設(shè).因此,我們可以利用比較法、綜合法、分析法等來分析從n=k到n=k+1的變化,從中找到放縮尺度,準(zhǔn)確地拼湊出所需要的結(jié)構(gòu).,貝努利不等式的應(yīng)用,【點(diǎn)評】貝努利不等式可把二項(xiàng)式的乘方(1+x)n縮小為1+nx的形式,這在用數(shù)值估計(jì)和放縮法證明不等式中可發(fā)揮較大的作用.,3.已知n為正整數(shù),求證:(1-cosx)n≥(1-n)cosx.證明:因?yàn)椋璫osx≥-1,所以由貝努利不等式,得(1-cosx)n=[1+(-cosx)]n≥1-ncosx.又1-ncosx=(1-cosx)+(1-n)cosx≥(1-n)cosx,所以(1-cosx)n≥(1-n)cosx.,用數(shù)學(xué)歸納法解決與正整數(shù)n有關(guān)的探索型問題,【點(diǎn)評】解決該類問題的思路:先通過給n賦一些特殊值,通過對得到的結(jié)果觀察、判斷,猜想出一般性結(jié)論,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.,1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可,第一步中驗(yàn)證n的初始值至關(guān)重要,它是遞推的基礎(chǔ),但n的初始值不一定是1,而是n的取值范圍內(nèi)的最小值.2.第二步證明的關(guān)鍵是運(yùn)用歸納假設(shè).在運(yùn)用歸納假設(shè)時(shí),應(yīng)分析p(k)與p(k+1)的差異與聯(lián)系,利用拆、添、并、放、縮等手段,或從歸納假設(shè)出發(fā),從p(k+1)中分離出p(k)再進(jìn)行局部調(diào)整.,3.?dāng)?shù)列中的不少問題都可用數(shù)學(xué)歸納法予以證明,既可以是恒等式也可以是不等式,有一定的綜合性,其中用不完全歸納法給出結(jié)論,用數(shù)學(xué)歸納法給出證明是常見題型.4.在研究探索性問題時(shí),由特例歸納猜想的結(jié)論不一定是真命題,這時(shí)需要使用數(shù)學(xué)歸納法證明,其一般解題步驟是歸納—猜想—證明.,,謝謝觀看!,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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