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2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第2節(jié) 不等式的證明素能提升演練 理(含解析)新人教版選修4-4
1.函數(shù)f(x)=3x+(x>0)的最小值為________.
解析:9 f(x)=3x+=x+x+≥3=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=2時(shí)等號成立.
2.記S=+++…+,則S與1的大小關(guān)系是________.
解析:S<1 ∵210+1>210,210+2>210,…,211-1>210,
∴S=+++…+
<=1.
3.已知+=1(a>b>0),則利用柯西不等式判斷a2+b2與(x+y)2的大小關(guān)系為________.
解析:a2+b2≥(x+y)2 ∵+=1,
∴a2+b2=(a2+b2)≥2=(x+y)2.
4.已知a>b>c>d,則(a-d)的最小值為________.
解析:9 原式=[(a-b)+(b-c)+(c-d)]≥3 3=9.
當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b-c=c-d時(shí)等號成立.
5.設(shè)0
a2,a>0,b>0得b>a.
又c-b=-(1+x)==>0得c>b,知c最大.
6.設(shè)x>0,y>0,若不等式++≥0恒成立,則實(shí)數(shù)λ的最小值是________.
解析:-4 ∵x>0,y>0,
∴原不等式可化為-λ≤(x+y)=2++.
∵2++≥2+2 =4,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)等號成立.
∴(x+y)min=4,
即-λ≤4,λ≥-4.
7.(xx新課標(biāo)全國高考Ⅱ)設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1.求證:
(1)ab+bc+ca≤;
(2)++≥1.
證明:(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因?yàn)椋玝≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
所以++≥1.
8.已知a,b為正實(shí)數(shù).
(1)求證:+≥a+b;
(2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)y=+(00,b>0,
∴(a+b)=a2+b2++
≥a2+b2+2ab=(a+b)2.
∴+≥a+b,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立.
方法二:∵+-(a+b)=
==
=.
又∵a>0,b>0,∴≥0,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立.∴+≥a+b.
(2)解:∵00,
由 (1)的結(jié)論,函數(shù)y=+≥(1-x)+x=1.
當(dāng)且僅當(dāng)1-x=x,即x=時(shí)等號成立.
∴函數(shù)y=+(00,求證:f(ax)-af(x)≤f(a).
(1)解:由題f(x)+f(x-1)=|x-1|+|x-2|≥|x-1+2-x|=1.
因此只需解不等式|x-1|+|x-2|≤2.
當(dāng)x≤1時(shí),原不等式等價(jià)于-2x+3≤2,即≤x≤1;
當(dāng)12時(shí),原不等式等價(jià)于2x-3≤2,即20時(shí),f(ax)-af(x)=|ax-1|-|ax-a|
=|ax-1|-|a-ax|
≤|ax-1+a-ax|=|a-1|=f(a).
10.(xx福建高考)已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈(0,+∞),且++=m,求證:a+2b+3c≥9.
(1)解:因?yàn)閒(x+2)=m-|x|,所以f(x+2)≥0等價(jià)于|x|≤m,由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集為{x|-m≤x≤m}.
又f(x+2)≥0的解集為[-1,1],故m=1.
(2)證明:由(1)知++=1,又a,b,c∈(0,+∞),由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)
≥2=9.
11.已知a,b為實(shí)數(shù),且a>0,b>0.
(1)求證:≥9;
(2)求(5-2a)2+4b2+(a-b)2的最小值.
(1)證明:因?yàn)閍>0,b>0,
所以a+b+≥3 =3>0,①
同理可得a2++≥3>0.②
由①②及不等式的性質(zhì)得
≥33 =9.
(2)解:[(5-2a)2+4b2+(a-b)2][12+12+22]
≥[(5-2a)1+2b1+(a-b)2]2.
所以(5-2a)2+4b2+(a-b)2≥.
當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí)取等號,即a=,b=.
所以當(dāng)a=,b=時(shí),(5-2a)2+4b2+(a-b)2取最小值.
12.已知a,b,c均為正數(shù).
(1)求證:a2+b2+c2+2≥6,并確定a,b,c如何取值時(shí)等號成立;
(2)若a+b+c=1,求++的最大值.
(1)證明:因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),由基本不等式得
,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac.①
同理++≥++.②
故a2+b2+c2+2≥ab+bc+ac+++≥6.③
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),①式和②式等號成立,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3時(shí),③式等號成立,即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時(shí)等號成立.
(2)解:++≤++
==6,
即(++)≤6,
故++≤3,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)等號成立.
∴++的最大值為3.
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