2019-2020年高考數學一輪復習 第六章 第3講 等比數列及其前n項和 文(含解析).doc
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2019-2020年高考數學一輪復習 第六章 第3講 等比數列及其前n項和 文(含解析) 一、選擇題 1.+1與-1兩數的等比中項是( ) A.1 B.-1 C.1 D. 解析 設等比中項為x, 則x2=(+1)(-1)=1,即x=1. 答案 C 2.設{an}是任意等比數列,它的前n項和,前2n項和與前3n項和分別為X,Y,Z,則下列等式中恒成立的是( ). A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X) C.Y2=XY D.Y(Y-X)=X(Z-X) 解析 (特例法)取等比數列1,2,4,令n=1得X=1,Y=3,Z=7代入驗算,選D. 答案 D 3.已知等比數列{an}為遞增數列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,則數列{an}的公比q=( ). A.2 B. C.2或 D.3 解析 ∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an+2anq2=5anq, 化簡得,2q2-5q+2=0,由題意知,q>1.∴q=2. 答案 A 4.在正項等比數列{an}中,Sn是其前n項和.若a1=1,a2a6=8,則S8= ( ). A.8 B.15(+1) C.15(-1) D.15(1-) 解析 ∵a2a6=a=8,∴aq6=8,∴q=,∴S8==15(+1). 答案 B 5.已知等比數列{an}的前n項和Sn=t5n-2-,則實數t的值為( ). A.4 B.5 C. D. 解析 ∵a1=S1=t-,a2=S2-S1=t,a3=S3-S2=4t,∴由{an}是等比數列知2=4t,顯然t≠0,所以t=5. 答案 B 6.在由正數組成的等比數列{an}中,若a3a4a5=3π,則sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值為 ( ). A. B. C.1 D.- 解析 因為a3a4a5=3π=a,所以a4=3. log3a1+log3a2+…+log3a7=log3(a1a2…a7)=log3a=7log33=,所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=. 答案 B 二、填空題 7.設1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比為q的等比數列,a2,a4,a6成公差為1的等差數列,則q的最小值是________. 解析 設a2=t,則1≤t≤q≤t+1≤q2≤t+2≤q3,由于t≥1,所以q≥max{t,,}故q的最小值是. 答案 8.在等比數列{an}中,若公比q=4,且前3項之和等于21,則該數列的通項公式an=________. 解析 由題意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1, 所以數列{an}的通項公式an=4n-1. 答案 4n-1 9.設f(x)是定義在R上恒不為零的函數,且對任意的實數x,y∈R,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),則數列{an}的前n項和Sn的取值范圍是________. 解析 由已知可得a1=f(1)=,a2=f(2)=[f(1)]2=2,a3=f(3)=f(2)f(1)=[f(1)]3=3,…,an=f(n)=[f(1)]n=n, ∴Sn=+2+3+…+n ==1-n, ∵n∈N*,∴≤Sn<1. 答案 10.等差數列{an}的首項為a1,公差為d,前n項和為Sn,給出下列四個命題:①數列為等比數列;②若a2+a12=2,則S13=13;③Sn=nan-d;④若d>0,則Sn一定有最大值. 其中真命題的序號是________(寫出所有真命題的序號). 解析 對于①,注意到=an+1-an=d是一個非零常數,因此數列是等比數列,①正確.對于②,S13===13,因此②正確.對于③,注意到Sn=na1+d=n[an-(n-1)d]+d=nan-d,因此③正確.對于④,Sn=na1+d,d>0時,Sn不存在最大值,因此④不正確.綜上所述,其中正確命題的序號是①②③. 答案 ①②③ 三、解答題 11.已知等比數列{an}中,a1=,公比q=. (1)Sn為{an}的前n項和,證明:Sn=; (2)設bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數列{bn}的通項公式. 解 (1)證明 因為an=n-1=,Sn==,所以Sn=. (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-.所以{bn}的通項公式為bn=-. 12.已知數列{an}的前n項和為Sn,在數列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n. (1)設cn=an-1,求證:{cn}是等比數列; (2)求數列{bn}的通項公式. (1)證明 ∵an+Sn=n, ① ∴an+1+Sn+1=n+1, ② ②-①得an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, ∴=. ∵首項c1=a1-1,又a1+a1=1. ∴a1=,∴c1=-,公比q=. ∴{cn}是以-為首項,公比為的等比數列. (2)解 由(1)可知cn=n-1=-n, ∴an=cn+1=1-n. ∴當n≥2時,bn=an-an-1=1-n- =n-1-n=n. 又b1=a1=代入上式也符合,∴bn=n. 13.已知兩個等比數列{an},{bn},滿足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若a=1,求數列{an}的通項公式; (2)若數列{an}唯一,求a的值. 解 (1)設數列{an}的公比為q,則b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2,由b1,b2,b3成等比數列得(2+q)2=2(3+q2). 即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-. 所以數列{an}的通項公式為an=(2+)n-1或an=(2-)n-1. (2)設數列{an}的公比為q,則由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0(*), 由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有兩個不同的實根. 由數列{an}唯一,知方程(*)必有一根為0, 代入(*)得a=. 14.數列{an}的前n項和記為Sn,a1=t,點(Sn,an+1)在直線y=3x+1上,n∈N*. (1)當實數t為何值時,數列{an}是等比數列. (2)在(1)的結論下,設bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是數列{cn}的前n項和,求Tn. 解 (1)∵點(Sn,an+1)在直線y=3x+1上, ∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1,且n∈N*). ∴an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,∴an+1=4an(n>1,n∈N*),a2=3S1+1=3a1+1=3t+1, ∴當t=1時,a2=4a1,數列{an}是等比數列. (2)在(1)的結論下,an+1=4an,an+1=4n,bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n-1+n, ∴Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n) =(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n) =+.- 配套講稿:
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