2019-2020年高中數(shù)學(xué) 初高中銜接教材 第四講 不等式的解法.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 初高中銜接教材 第四講 不等式的解法 初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法．高中階段將進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識(shí)．本講先介紹一些高中新課標(biāo)中關(guān)于不等式的必備知識(shí)． 一、一元二次不等式及其解法 1．形如的不等式稱為關(guān)于的一元二次不等式． 【例1】解不等式． 分析：不等式左邊可以因式分解，根據(jù)“符號(hào)法則 --- 正正(負(fù)負(fù))得正、正負(fù)得負(fù)”的原則，將其轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組． 解：原不等式可以化為：， 于是：或 所以，原不等式的解是． 說(shuō)明：當(dāng)把一元二次不等式化為的形式后，只要左邊可以分解為兩個(gè)一次因式，即可運(yùn)用本題的解法． 【例2】解下列不等式： (1) (2) 分析：要先將不等式化為的形式，通常使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)． 解：(1) 原不等式可化為：，即 于是： 所以原不等式的解是． (2) 原不等式可化為：，即 于是： 所以原不等式的解是． 2．一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系(簡(jiǎn)稱：三個(gè)二次)． 以二次函數(shù)為例： (1) 作出圖象； (2) 根據(jù)圖象容易看到，圖象與軸的交點(diǎn)是，即當(dāng)時(shí)，．就是說(shuō)對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩實(shí)根是． (3) 當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)圖像位于軸的上方．就是說(shuō)的解是． 　當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)圖像位于軸的下方．就是說(shuō)的解是． 一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下： (1) 將二次項(xiàng)系數(shù)先化為正數(shù)； (2) 觀測(cè)相應(yīng)的二次函數(shù)圖象． ①如果圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來(lái)判斷) ． 那么(圖1)： ②如果圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來(lái)判斷) ． 那么(圖2)： 無(wú)解 ③如果圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 (也可由根的判別式來(lái)判斷) ． 那么(圖3)： 取一切實(shí)數(shù) 無(wú)解 如果單純的解一個(gè)一元二次不等式的話，可以按照一下步驟處理： (1) 化二次項(xiàng)系數(shù)為正； (2) 若二次三項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，則求出兩根．那么“”型的解為(俗稱兩根之外)；“”型的解為(俗稱兩根之間)； (3) 否則，對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，變成，結(jié)合完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解． 【例3】解下列不等式： (1) (2) (3) 解：(1) 不等式可化為 ∴ 不等式的解是 (2) 不等式可化為 ∴ 不等式的解是 (3) 不等式可化為． 【例4】已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：顯然不合題意，于是： 【例5】已知關(guān)于的不等式的解為，求的值． 分析：對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根是和，且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開口向上．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求解． 解：由題意得： 說(shuō)明：本例也可以根據(jù)方程有兩根和，用代入法得：，，且注意，從而． 二、簡(jiǎn)單分式不等式的解法 【例6】解下列不等式： (1) (2) 分析：(1) 類似于一元二次不等式的解法，運(yùn)用“符號(hào)法則”將之化為兩個(gè)一元一次不等式組處理；或者因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)(式)相除異號(hào)，那么這兩個(gè)數(shù)(式)相乘也異號(hào)，可將分式不等式直接轉(zhuǎn)化為整式不等式求解． (2) 注意到經(jīng)過(guò)配方法，分母實(shí)際上是一個(gè)正數(shù)． 解：(1) 解法(一) 原不等式可化為： 解法(二) 原不等式可化為：． (2) ∵ 原不等式可化為： 【例7】解不等式 解：原不等式可化為： 說(shuō)明：(1) 轉(zhuǎn)化為整式不等式時(shí)，一定要先將右端變?yōu)?． (2) 本例也可以直接去分母，但應(yīng)注意討論分母的符號(hào)： 三、含有字母系數(shù)的一元二次不等式 一元一次不等式最終可以化為的形式． (1) 當(dāng)時(shí)，不等式的解為：； (2) 當(dāng)時(shí)，不等式的解為：； (3) 當(dāng)時(shí)，不等式化為：； ① 若，則不等式的解是全體實(shí)數(shù)；② 若，則不等式無(wú)解． 【例8】求關(guān)于的不等式的解． 解：原不等式可化為： (1) 當(dāng)時(shí)，，不等式的解為； (2) 當(dāng)時(shí)，． ① 時(shí)，不等式的解為； ② 時(shí)，不等式的解為； ③ 時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)． (3) 當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解． 綜上所述：當(dāng)或時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解． 練：解不等式（1） （2） 【例9】已知關(guān)于的不等式的解為，求實(shí)數(shù)的值． 分析：將不等式整理成的形式，可以考慮只有當(dāng)時(shí)，才有形如的解，從而令． 解：原不等式可化為：． 所以依題意：． 練 習(xí) A 組 1．解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 2．解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 3．解下列不等式： (1) (2) 4．已知不等式的解是，求的值． 5．解關(guān)于的不等式． 6．已知關(guān)于的不等式的解是，求的值． 7．已知不等式的解是，求不等式的解． B 組 1．已知關(guān)于的不等式的解是一切實(shí)數(shù)，求的取值范圍． 2．若不等式的解是，求的值． 3．解關(guān)于的不等式． 4．取何值時(shí)，代數(shù)式的值不小于0？ 5．已知不等式的解是，其中，求不等式的解． 第四講 不等式答案 A 組 1． 2． 3．(1) 無(wú)解 (2) 全體實(shí)數(shù) 4．． 5．(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，；(3) 當(dāng)時(shí)，取全體實(shí)數(shù)． 6． 7． B 組 1． 2． 3．(1) 時(shí)，；(2) 時(shí)，無(wú)解；(3) 時(shí)，． 4．． 5．．