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2019年高考數學二輪復習 專題訓練二 第1講 函數、基本初等函數的圖象與性質 理
考情解讀 1.高考對函數的三要素，函數的表示方法等內容的考查以基礎知識為主，難度中等偏下.2.函數圖象和性質是歷年高考的重要內容，也是熱點內容，對圖象的考查主要有兩個方面：一是識圖，二是用圖，即利用函數的圖象，通過數形結合的思想解決問題；對函數性質的考查，則主要是將單調性、奇偶性、周期性等綜合一起考查，既有具體函數也有抽象函數．常以選擇、填空題的形式出現，且常與新定義問題相結合，難度較大．
1．函數的三要素
定義域、值域及對應關系
兩個函數當且僅當它們的三要素完全相同時才表示同一函數，定義域和對應關系相同的兩個函數是同一函數．
2．函數的性質
(1)單調性：單調性是函數在其定義域上的局部性質．利用定義證明函數的單調性時，規(guī)范步驟為取值、作差、判斷符號、下結論．復合函數的單調性遵循“同增異減”的原則．
(2)奇偶性：奇偶性是函數在定義域上的整體性質．偶函數的圖象關于y軸對稱，在關于坐標原點對稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調性；奇函數的圖象關于坐標原點對稱，在關于坐標原點對稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調性．
(3)周期性：周期性是函數在定義域上的整體性質．若函數在其定義域上滿足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，則其一個周期T＝|a|.
3．函數的圖象
對于函數的圖象要會作圖、識圖、用圖．
作函數圖象有兩種基本方法：一是描點法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換．
4．指數函數、對數函數和冪函數的圖象和性質
(1)指數函數y＝ax(a>0，a≠1)與對數函數y＝logax(a>0，a≠1)的圖象和性質，分0
1兩種情況，著重關注兩函數圖象中的兩種情況的公共性質．
(2)冪函數y＝xα的圖象和性質，分冪指數α>0，α<0兩種情況.
熱點一 函數的性質及應用
例1 (1)(xx課標全國Ⅱ)已知偶函數f(x)在[0，＋∞)單調遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________．
(2)設奇函數y＝f(x) (x∈R)，滿足對任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈時，f(x)＝－x2，則f(3)＋f的值等于________．
思維啟迪 (1)利用數形結合，通過函數的性質解不等式；(2)利用f(x)的性質和x∈[0，]時的解析式探求f(3)和f(－)的值．
答案 (1)(－1,3) (2)－
解析 (1)∵f(x)是偶函數，
∴圖象關于y軸對稱．
又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)單調遞減，
則f(x)的大致圖象如圖所示，
由f(x－1)>0，得－2x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，設a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關系為( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
思維啟迪 (1)可以利用函數的性質或特殊點，利用排除法確定圖象．(2)考慮函數f(x)的單調性．
答案 (1)C (2)D
解析 (1)函數的定義域為{x|x≠－1}，其圖象可由y＝的圖象沿x軸向左平移1個單位而得到，y＝為奇函數，圖象關于原點對稱，所以，y＝的圖象關于點(－1,0)成中心對稱．可排除A，D.
又x>0時，y＝>0，所以，B不正確，選C.
(2)由于函數f(x)的圖象向左平移1個單位后得到的圖象關于y軸對稱，故函數y＝f(x)的圖象本身關于直線x＝1對稱，所以a＝f(－)＝f()，當x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等價于函數f(x)在(1，＋∞)上單調遞減，所以b>a>c.選D.
思維升華 (1)作圖：常用描點法和圖象變換法．圖象變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對稱變換．尤其注意y＝f(x)與y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互關系．
(2)識圖：從圖象與軸的交點及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面找準解析式與圖象的對應關系．
(3)用圖：圖象形象地顯示了函數的性質，因此，函數性質的確定與應用及一些方程、不等式的求解常與圖象數形結合研究．
(1)函數f(x)＝1＋log2x與g(x)＝21－x在同一直角坐標系中的圖象大致是( )
(2)(xx課標全國Ⅰ)已知函數f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]
答案 (1)C (2)D
解析 (1)f(x)＝1＋log2x的圖象過定點(1,1)，g(x)＝21－x的圖象過定點(0,2)．
f(x)＝1＋log2x的圖象由y＝log2x的圖象向上平移一個單位而得到，且f(x)＝1＋log2x為單調增函數，g(x)＝21－x＝2()x的圖象由y＝()x的圖象伸縮變換得到，且g(x)＝21－x為單調減函數．A中，f(x)的圖象單調遞增，但過點(1,0)，不滿足；B中，g(x)的圖象單調遞減，但過點(0,1)，不滿足；D中，兩個函數都是單調增函數，也不滿足．選C.
(2)函數y＝|f(x)|的圖象如圖．
①當a＝0時，|f(x)|≥ax顯然成立．
②當a>0時，只需在x>0時，
ln(x＋1)≥ax成立．
比較對數函數與一次函數y＝ax的增長速度．
顯然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．
③當a<0時，只需在x<0時，x2－2x≥ax成立．
即a≥x－2成立，∴a≥－2.綜上所述：－2≤a≤0.故選D.
熱點三 基本初等函數的圖象及性質
例3 (1)若函數f(x)＝若f(a)>f(－a)，則實數a的取值范圍是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
(2)已知α，β∈[－，]且αsin α－βsin β>0，則下面結論正確的是( )
A．α>β B．α＋β>0 C．α<β D．α2>β2
思維啟迪 (1)可利用函數圖象或分類討論確定a的范圍；(2)構造函數f(x)＝xsin x，利用f(x)的單調性．
答案 (1)C (2)D
解析 (1)方法一 由題意作出y＝f(x)的圖象如圖．
顯然當a>1或－1f(－a)．故選C.
方法二 對a分類討論：
當a>0時，log2a>loga，即log2a>0，∴a>1.
當a<0時，log(－a)>log2(－a)，即log2(－a)<0，
∴－10，∴f(x)為增函數，
且函數f(x)為偶函數，又αsin α－βsin β>0，
∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.
思維升華 (1)指數函數、對數函數、冪函數和三角函數是中學階段所學的基本初等函數，是高考的必考內容之一，重點考查圖象、性質及其應用，同時考查分類討論、等價轉化等數學思想方法及其運算能力．(2)比較數式大小問題，往往利用函數圖象或者函數的單調性．
(1)設<()b<()a<1，那么( )
A．aaaa，
故abg(0)＝0，所以函數g(x)的最小值是0.
1．判斷函數單調性的常用方法
(1)能畫出圖象的一般用數形結合法去觀察．
(2)由基本初等函數通過加、減運算或復合而成的函數，常轉化為基本初等函數單調性的判斷問題．
(3)對于解析式較復雜的一般用導數法．
(4)對于抽象函數一般用定義法．
2．函數奇偶性的應用
函數的奇偶性反映了函數圖象的對稱性，是函數的整體特性．
利用函數的奇偶性可以把研究整個函數具有的性質問題轉化到只研究部分(一半)區(qū)間上，是簡化問題的一種途徑．尤其注意偶函數f(x)的性質：f(|x|)＝f(x)．
3．函數圖象的對稱性
(1)若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．提醒：函數y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)的圖象對稱軸為x＝0，并非直線x＝a.
(2)若f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝對稱．
(3)若函數y＝f(x)滿足f(x)＝2b－f(2a－x)，則該函數圖象關于點(a，b)成中心對稱．
4．二次函數、一元二次方程和一元二次不等式是一個有機的整體，要深刻理解它們之間的相互關系，能用函數與方程、分類討論、數形結合思想來研究與“三個二次”有關的問題，高考對“三個二次”知識的考查往往滲透在其他知識之中，并且大都出現在解答題中．
5．指數函數、對數函數的圖象和性質受底數a的影響，解決與指、對數函數特別是與單調性有關的問題時，首先要看底數a的范圍．
比較兩個對數的大小或解對數不等式或解對數方程時，一般是構造同底的對數函數，若底數不同，可運用換底公式化為同底的對數，三數比較大小時，注意與0比較或與1比較．
6．解決與本講有關的問題應注意函數與方程、數形結合、分類討論、化歸與轉化等思想的運用.
真題感悟
1．(xx安徽)若函數f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝則f＋f＝________.
答案
解析 ∵f(x)是以4為周期的奇函數，
∴f＝f＝f，
f＝f＝f.
∵當0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，
∴f＝＝.
∵當10，且a≠1)的圖象如圖所示，則所給函數圖象正確的是( )
答案 B
解析 由題意得y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過(3,1)點，可解得a＝3.選項A中，y＝3－x＝()x，顯然圖象錯誤；選項B中，y＝x3，由冪函數圖象可知正確；選項C中，y＝(－x)3＝－x3，顯然與所畫圖象不符；選項D中，y＝log3(－x)的圖象與y＝log3x的圖象關于y軸對稱，顯然不符，故選B.
押題精練
1．已知函數f(x)＝e|ln x|－，則函數y＝f(x＋1)的大致圖象為( )
答案 A
解析 據已知關系式可得
f(x)＝
作出其圖象然后將其向左平移1個單位即得函數y＝f(x＋1)的圖象．
2．已知函數f(x)＝|logx|，若m1，
∴m＋3n＝m＋在m∈(0,1)上單調遞減，
當m＝1時，m＋3n＝4，∴m＋3n>4.
3．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，規(guī)定：當|f(x)|≥g(x)時，h(x)＝|f(x)|；當|f(x)|0”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2－4x＋4
C．f(x)＝2x D．f(x)＝logx
答案 C
解析 函數f(x)滿足“對任意的x1，x2∈(0，＋∞)時，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”等價于x1－x2與f(x1)－f(x2)的值的符號相同，即可化為>0，表示函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，由此可得只有函數f(x)＝2x符合．故選C.
2．(xx浙江)在同一直角坐標系中，函數f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是( )
答案 D
解析 方法一 分a>1,01時，y＝xa與y＝logax均為增函數，但y＝xa遞增較快，排除C；
當01，而此時冪函數f(x)＝xa的圖象應是增長越來越快的變化趨勢，故C錯．
3．已知函數y＝f(x)是奇函數，當x>0時，f(x)＝lg x，則f的值等于( )
A. B．－ C．lg 2 D．－lg 2
答案 D
解析 當x<0時，－x>0，則f(－x)＝lg(－x)．
又函數f(x)為奇函數，f(－x)＝－f(x)，
所以當x<0時，f(x)＝－lg(－x)．
所以f＝lg ＝－2，
f＝f(－2)＝－lg 2.
4．若a>b，則下列不等式成立的是( )
A．ln a>ln b B．0.3a>0.3b
C． D.>
答案 D
解析 因為a>b，而對數的真數為正數，所以ln a>ln b不一定成立；
因為y＝0.3x是減函數，又a>b，則0.3a<0.3b，故B錯；
因為y＝在(0，＋∞)是增函數，又a>b，則不一定成立，故C錯；
y＝在(－∞，＋∞)是增函數，又a>b，則，即>成立，選D.
5．設偶函數f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則{x|f(x－2)>0}等于( )
A．{x|x<－2或x>4}
B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6}
D．{x|x<－2或x>2}
答案 B
解析 由于函數f(x)是偶函數，因此有f(|x|)＝f(x)，不等式f(x－2)>0，
即f(|x－2|)>0，
f(|x－2|)＝2|x－2|－4>0，|x－2|>2，
即x－2<－2或x－2>2，由此解得x<0或x>4.
于是有{x|f(x－2)>0}＝{x|x<0或x>4}，故選B.
6．使log2(－x)0，又loga＝log2a－1＝－log2a.
∵f(x)是R上的偶函數，
∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(loga)．
∵f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，
∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．
又∵f(x)在[0，＋∞)上遞增．
∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1，
∴a∈，選C.
二、填空題
9．已知函數f(x)＝，則f(ln 3)＝________.
答案 e
解析 f(ln 3)＝f(ln 3＋1)＝eln 3＋1＝e，故填e.
10．已知函數f(x)＝x|x－a|，若對任意的x1，x2∈[2，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，則實數a的取值范圍為________．
答案 {a|a≤2}
解析 f(x)＝，由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0知，函數y＝f(x)在[2，＋∞)單調遞增，當a≤0時，滿足題意，當a>0時，只需a≤2，即0
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專題訓練二
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函數、基本初等函數的圖象與性質
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