2019年高考數(shù)學總復習 第1節(jié) 坐標系素能提升演練 理(含解析)新人教版選修4-4.doc
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2019年高考數(shù)學總復習 第1節(jié) 坐標系素能提升演練 理(含解析)新人教版選修4-4 1.(xx陜西五校模擬)已知圓C的極坐標方程為ρ=2cos θ+2sin θ,則圓心C的一個極坐標為________. 解析: 極坐標方程化為直角坐標方程為x2+y2-2x-2y=0,即(x-1)2+(y-)2=4,圓心為(1,),其一個極坐標為. 2.在極坐標系中,過圓ρ=6cos θ-2sin θ的圓心且與極軸垂直的直線的極坐標方程為________. 解析:ρcos θ=3 圓的直角坐標方程為(x-3)2+(y+)2=11,故圓心坐標為(3,-),因此過圓心與x軸垂直的直線方程為x=3,其極坐標方程為ρcos θ=3. 3.(xx汕頭調(diào)研)在極坐標系中,ρ=4sin θ是圓的極坐標方程,則點A到圓心C的距離是________. 解析:2 圓的直角坐標方程為x2+(y-2)2=4,圓心為C(0,2),點A坐標即為(2,2),故所求的距離為|AC|==2. 4.在極坐標系中,已知兩圓C1:ρ=2cos θ和C2:ρ=2sin θ,則過兩圓圓心的直線的極坐標方程是________. 解析:ρcos θ+ρsin θ=1 兩圓C1:ρ=2cos θ和C2:ρ=2sin θ化為直角坐標方程為C1:(x-1)2+y2=1和C2:x2+(y-1)2=1,兩圓圓心分別為(1,0),(0,1),過兩圓圓心的直線方程為x+y=1,化為極坐標方程是ρcos θ+ρsin θ=1. 5.(xx韶關模擬)已知圓的極坐標方程為ρ=2cos θ,則該圓的圓心到直線ρsin θ+2ρcos θ=1的距離是________. 解析: 圓的直角坐標方程為x2+y2-2x=0,圓心為(1,0),直線的直角坐標方程為y+2x=1,即2x+y-1=0.所以圓心到直線的距離d==. 6.(xx湖南高考)在極坐標系中,曲線C1:ρ(cos θ+sin θ)=1與曲線C2:ρ=a(a>0)的一個交點在極軸上,則a=________. 解析: 把曲線C1:ρ(cos θ+sin θ)=1化成直角坐標方程得x+y=1; 把曲線C2:ρ=a(a>0)化成直角坐標方程得x2+y2=a2. ∵C1與C2的一個交點在極軸上 ∴x+y=1與x軸交點在C2上, 所以2+0=a2.又a>0,∴a=. 7.(xx揭陽模擬)已知曲線C1:ρ=2和曲線C2:ρcos=,則C1上到C2的距離等于的點的個數(shù)為________. 解析:3 將方程ρ=2與ρcos=化為直角坐標方程得x2+y2=(2)2與x-y-2=0,知C1為圓心在坐標原點,半徑為2的圓,C2為直線,因圓心到直線x-y-2=0的距離為,故滿足條件的點的個數(shù)為3. 8.在極坐標系中,圓ρ=4上的點到直線ρ(cos θ+sin θ)=8的距離的最大值是________. 解析:8 把ρ=4化為直角坐標方程為x2+y2=16,把ρ(cos θ+sin θ)=8化為直角坐標方程為x+y-8=0,∴圓心(0,0)到直線的距離為d==4.∴直線和圓相切,∴圓上的點到直線的最大距離是8. 9.在極坐標系中,定點A,點B在直線ρcos θ+ρsin θ=0上運動,當線段AB最短時,點B的極坐標為________. 解析: 在直角坐標系中,點A坐標為(0,-2),點B在直線x+y=0上,從而AB的最小值為點A到直線的距離,設過點A且與直線x+y=0垂直的直線方程為x-y+c=0,得c=-2,由方程組得即點B坐標為,再轉(zhuǎn)化為極坐標為. 10.(xx廣州畢業(yè)班測試)在極坐標系中,已知點A,點P是曲線ρsin2 θ=4cos θ上任一點,設點P到直線ρcos θ+1=0的距離為d,則|PA|+d的最小值為________. 解析: 曲線ρsin2 θ=4cos θ的化為直角坐標方程是y2=4x,直線化為直角坐標方程是x=-1.設拋物線的焦點為F,則點F(1,0).由拋物線的定義可知d=|PF|,所以|PA|+d=|PA|+|PF|.故當點P是直線AF與拋物線y2=4x的交點時,|PA|+d取得最小值.且(|PA|+d)min=|AF|==. 11.若直線3x+4y+m=0與曲線ρ2-2ρcos θ+4ρsin θ+4=0沒有公共點,則實數(shù)m的取值范圍是________. 解析:(-∞,0)∪(10,+∞) 注意到曲線ρ2-2ρcos θ+4ρsin θ+4=0的直角坐標方程是x2+y2-2x+4y+4=0,即(x-1)2+(y+2)2=1.要使直線3x+4y+m=0與該曲線沒有公共點,只要圓心(1,-2)到直線3x+4y+m=0的距離大于圓的半徑即可,即>1,|m-5|>5,解得m<0或m>10.故m的范圍為(-∞,0)∪(10,+∞). 12.(xx湛江模擬)在極坐標系中,圓C的極坐標方程為:ρ2+2ρcos θ=0,點P的極坐標為,過點P作圓C的切線,則兩條切線夾角的正切值是________. 解析: 圓C的極坐標方程:ρ2+2ρcos θ=0化為普通方程:(x+1)2+y2=1,點P的直角坐標為(0,2),圓C的圓心為(-1,0).如圖,當切線的斜率存在時,設切線方程為y=kx+2,則圓心到切線的距離為=1,∴k=,即tan α=.易知滿足題意的另一條切線的方程為x=0.又∵兩條切線的夾角為α的余角,∴兩條切線夾角的正切值為. 13. (xx江蘇高考)在極坐標系中,已知圓C經(jīng)過點P,圓心為直線ρsin=-與極軸的交點,求圓C的極坐標方程. 解:在ρsin=-中令θ=0, 得ρ=1, 所以圓C的圓心坐標為(1,0). 因為圓C經(jīng)過點P, 所以圓C的半徑PC= =1,于是圓C過極點,所以圓C的極坐標方程為ρ=2cos θ. 14.設過原點O的直線與圓(x-1)2+y2=1的一個交點為P,點M為線段OP的中點,當點P在圓上移動一周時,求點M軌跡的極坐標方程,并說明它是什么曲線. 解:圓(x-1)2+y2=1的極坐標方程為 ρ=2cos θ, 設點P的極坐標為(ρ1,θ1),點M的極坐標為(ρ,θ), ∵點M為線段OP的中點,∴ρ1=2ρ,θ1=θ,將ρ1=2ρ,θ1=θ代入圓的極坐標方程,得ρ=cos θ.∴點M軌跡的極坐標方程為ρ=cos θ,它表示圓心在點,半徑為的圓. 15.(xx南京調(diào)研)在極坐標系中,求圓ρ=4sin θ上的點到直線ρcos =3的距離的最大值. 解:在圓的極坐標方程兩邊同時乘以ρ得ρ2=4ρsin θ, 化為直角坐標方程為x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4, 故圓的圓心坐標為(0,2),半徑為2. 將直線的極坐標方程ρcos =3化為直角坐標方程為x-y-6=0, 所以圓的圓心到直線的距離為d==3>2,故直線與圓相離, 于是圓ρ=4sin θ上的點到直線ρcos =3的距離的最大值為3+2.16.(xx昆明模擬)已知曲線C的參數(shù)方程為,(θ是參數(shù)),P是曲線C與y軸正半軸的交點.以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求經(jīng)過點P與曲線C只有一個公共點的直線l的極坐標方程. 解:把曲線C的參數(shù)方程,(θ是參數(shù))化為普通方程得(x-3)2+y2=25, ∴曲線C是圓心為P1(3,0),半徑等于5的圓. ∵P是曲線C與y軸正半軸的交點,∴P(0,4). 根據(jù)已知得直線l是圓C經(jīng)過點P的切線. ∵kPP1=-,∴直線l的斜率k=. ∴直線l的方程為3x-4y+16=0. ∴直線l的極坐標方程為3ρcos θ-4ρsin θ+16=0. 17.在極坐標系中,O為極點,半徑為2的圓C的圓心的極坐標為. (1)求圓C的極坐標方程; (2)P是圓C上一動點,點Q滿足3=,以極點O為原點,以極軸為x軸正半軸建立直角坐標系,求點Q的軌跡的直角坐標方程. 解:(1)設M(ρ,θ)是圓C上任一點,過點C作CH⊥OM于H點,則在Rt△COH中,OH=OCcos∠COH. ∵∠COH=∠=, OH=OM=ρ,OC=2, ∴ρ=2cos, 即所求的圓C的極坐標方程為ρ=4cos. (2)設點Q的極坐標為(ρ,θ), ∵3=, ∴P的極坐標為,代入圓C的極坐標方程得ρ=4cos, 即ρ=6cos θ+6sin θ, ∴ρ2=6ρcos θ+6ρsin θ,令x=ρcos θ,y=ρsin θ,得x2+y2=6x+6y, ∴點Q的軌跡的直角坐標方程為x2+y2-6x-6y=0. 18.(xx太原模擬)平面直角坐標系xOy中,點A(2,0)在曲線C1:,(a>0,φ為參數(shù))上.以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=acos θ. (1)求曲線C2的普通方程; (2)已知點M,N的極坐標分別為(ρ1,θ),,若點M,N都在曲線C1上,求+的值. 解:(1)由點A(2,0)在曲線C1上得 ∵a>0,∴a=2,∴ρ=2cos θ, 由,得(x-1)2+y2=1, ∴曲線C2的普通方程為(x-1)2+y2=1. (2)由(1)得曲線C1: 消去參數(shù)φ得+y2=1. 由題意得點M,N的直角坐標分別為 (ρ1cos θ,ρ1sin θ),. ∵點M,N在曲線C1上, ∴+ρsin2 θ=1,+ρcos2 θ=1, ∴+=+=.- 配套講稿:
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