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2019年高考數(shù)學一輪總復習 第二節(jié) 不等式證明的基本方法練習 新人教A版選修4-5
一、填空題(本大題共9小題,每小題5分,共45分)
1.設t=a+2b,s=a+b2+1,則s與t的大小關系是________.
解析 s-t=b2-2b+1=(b-1)2≥0.
答案 s≥t
2.設a=,b=-,c=-,則a,b,c間的大小關系是________.
解析 由>>,得a>c>b.
答案 a>c>b
3.設a>b>0,m=-,n=,則m與n的大小關系是________.
解析 ∵a>b>0,∴m=->0,n=>0.
∵m2-n2=(a+b-2)-(a-b)
=2b-2=2(-)<0,∴m2
0,則函數(shù)y=3-3x-的最大值是________.
解析 y=3-3x-=3-≤
3-2=3-2,即ymax=3-2.
答案 3-2
5.函數(shù)f(x)=3x+(x>0)的最小值為________.
解析 f(x)=3x+=++≥
3=9,
當且僅當=,即x=2時等號成立.
答案 9
6.記S=+++…+,則S與1的大小關系是________.
解析 ∵<,<,…,
=<,
∴S=+++…+<++…+=1.
答案 S<1
7.已知a,b,c是正實數(shù),且a+b+c=1,則++的最小值為________.
解析 把a+b+c=1代入++
得++
=3+(+)+(+)+(+)
≥3+2+2+2=9.
答案 9
8.若x+y+z=1,則F=2x2+3y2+z2的最小值為________.
解析 (2x2+3y2+z2)(3+2+6)≥(x+y+z)2=6,∴2x2+3y2+z2≥.
答案
9.(xx湖北卷)設x,y,z∈R,且滿足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,則x+y+z=________.
解析 根據(jù)柯西不等式(a+b+c)(a+b+c)≥(a1a2+b1b2+c1c2)2得(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2=14.“=”成立的條件為==.又x+2y+3z=,令===t,則x=t,y=2t,z=3t.由x+2y+3z=t+4t+9t=,∴t=,故x+y+z=6t=.
答案
二、解答題(本大題共3小題,每小題10分,共30分)
10.已知函數(shù)f(x)=log2(x+m),且f(0),f(2),f(6)成等差數(shù)列.
(1)求f(30)的值;
(2)若a,b,c是兩兩不相等的正數(shù),且a,b,c成等比數(shù)列,試判斷f(a)+f(c)與2f(b)的大小關系,并證明你的結論.
解 (1)由f(0),f(2),f(6)成等差數(shù)列,
得2log2(2+m)=log2m+log2(6+m),
即(m+2)2=m(m+6)(m>0),∴m=2.
∴f(30)=log2(30+2)=5.
(2)f(a)+f(c)=log2(a+2)(c+2),
2f(b)=log2(b+2)2,
∵b2=ac,∴(a+2)(c+2)-(b+2)2=2(a+c)-4b.
∵a+c>2=2b(a≠c),∴2(a+c)-4b>0.
∴l(xiāng)og2(a+2)(c+2)>log2(b+2)2.
即f(a)+f(c)>2f(b).
11.(1)設x≥1,y≥1,證明x+y+≤++xy;
(2)設1
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