2019-2020年高考數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí).doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí) 1、已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)為4，。 （1）求拋物線的方程； （2）設(shè)點(diǎn)，（）是拋物線上的兩點(diǎn)，∠APB的角平分線與x軸垂直，求△PAB的面積最大時(shí)直線AB的方程。 2、已知過點(diǎn)A（-4，0）的動(dòng)直線與拋物線相交于B、C兩點(diǎn)。當(dāng)?shù)男甭适恰? （1）求拋物線C的方程； （2）設(shè)BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍。 3、已知橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為且 （1）求橢圓的方程； （2）過橢圓的左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且該橢圓上存在點(diǎn),使得四邊形圖形上的字母按此順序排列）恰好為平行四邊形，求直線的方程. 4、已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若為鈍角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是( ) A． B． C． D． 5、已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，過點(diǎn)向直線作垂線，垂足分別為，的面積分別為記為與，那么 A. B. C. D. 6、已知橢圓 的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為． （Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)為橢圓C的右焦點(diǎn)，T為直線上縱坐標(biāo)不為的任意一點(diǎn)，過作的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q. （?。┤鬙T平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的值； （ⅱ）在（ⅰ）的條件下，當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)． 7、已知橢圓+=1，（a＞b＞0）的離心率e=，直線y=x與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，C為橢圓的右頂點(diǎn)， （1）求橢圓的方程； （2）若橢圓上存在兩點(diǎn)E，F(xiàn)使，λ∈（0，2），求△OEF面積的最大值． 8、已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)；橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)F是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率e=． （1）求橢圓E的方程； （2）經(jīng)過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線l1、l2，切線l1與l2相交于點(diǎn)M．證明：AB⊥MF； （3）橢圓E上是否存在一點(diǎn)M′，經(jīng)過點(diǎn)M′作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B（A′、B′為切點(diǎn)），使得直線A′B′過點(diǎn)F？若存在，求出拋物線C與切線M′A′、M′B所圍成圖形的面積；若不存在，試說明理由． 9、函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）處的切線的斜率分別是kA，kB，規(guī)定φ（A，B）=叫曲線y=f（x）在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”，給出以下命題： （1）函數(shù)y=x3﹣x2+1圖象上兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為1，2，則φ（A，B）＞； （2）存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)； （3）設(shè)點(diǎn)A、B是拋物線，y=x2+1上不同的兩點(diǎn)，則φ（A，B）≤2； （4）設(shè)曲線y=ex上不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t?φ（A，B）＜1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（﹣∞，1）； 以上正確命題的序號(hào)為　?。▽懗鏊姓_的） 10、已知點(diǎn)P是圓F1：（x+1）2+y2=16上任意一點(diǎn)（F1是圓心），點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．線段PF2的中垂線m分別與PF1、PF2交于M、N兩點(diǎn)． （I）求點(diǎn)M的軌跡C的方程； （Ⅱ）直線l經(jīng)過F2，與拋物線y2=4x交于A1，A2兩點(diǎn)，與C交于B1，B2兩點(diǎn)．當(dāng)以B1B2為直徑的圓經(jīng)過F1時(shí)，求|A1A2|． 11、已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且橢圓C上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）設(shè)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，過原點(diǎn)與l平行的直線與橢圓交于點(diǎn)P．證明：|AM|?|AN|=2|OP|2． 12、已知橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的離心率為e=，且過點(diǎn)（1，）．拋物線C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣）． （Ⅰ）求橢圓C1和拋物線C2的方程； （Ⅱ）若點(diǎn)M是直線l：2x﹣4y+3=0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB交橢圓C1于P，Q兩點(diǎn)． （i）求證直線AB過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)； （ii）當(dāng)△OPQ的面積取最大值時(shí)，求直線AB的方程． 13、已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F（c，0），點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作橢圓C的切線l，直線AP與直線l的交點(diǎn)為D，且當(dāng)|BD|=2c時(shí)，|AF|=|DF|． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 14、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于． (Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； (Ⅱ)設(shè)直線和與直線分別交于兩點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)使得與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由. 15、設(shè)橢圓C：的離心率，點(diǎn)M在橢圓C上，點(diǎn)M到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是4． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）若橢圓的方程為，橢圓的方程為，則稱橢圓是橢圓的倍相似橢圓．已知橢圓是橢圓C的3倍相似橢圓．若橢圓C的任意一條切線交橢圓于M,N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試研究當(dāng)切線變化時(shí)面積的變化情況，并給予證明． 16、已知橢圓（常數(shù)）的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)． （Ⅰ）若是橢圓上任意一點(diǎn)，，求的值； （Ⅱ）設(shè)是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，試探究的面積是否為定值，說明理由． 17、如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)為（0，），且離心率等于，過點(diǎn)（0，2）的直線與橢圓相交于，不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)，試求的取值范圍． 18、橢圓的上頂點(diǎn)為是上的一點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)． （1）求橢圓的方程； （2）動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，問：在軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，它們到直線的距離之積等于1？如果存在，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由． 19、如圖所示，橢圓與直線相切于點(diǎn)．（I）求滿足的關(guān)系式，并用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（II）設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 20、已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，為正三角形. （Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， （?。┳C明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)； （ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 答 案 1、（1）拋物線的方程為。（2）。 （1）設(shè)，因?yàn)椋蓲佄锞€的定義得， 又，3分 因此，解得，從而拋物線的方程為。 6分 （2）由（1）知點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2,4），因?yàn)椤螦PB的角平分線與x軸垂直，所以可知PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，即PA，PB的斜率互為相反數(shù) 設(shè)直線PA的斜率為k，則，由題意， 7分 把代入拋物線方程得，該方程的解為4、， 由韋達(dá)定理得，即，同理。 所以， 8分 設(shè)，把代入拋物線方程得， 由題意，且，從而 又，所以，點(diǎn)P到AB的距離， 因此，設(shè), 10分 則， 由知，所以在上為增函數(shù)，因此， 即△PAB面積的最大值為。 △PAB的面積取最大值時(shí)b=0，所以直線AB的方程為。 12分 2、（1）設(shè) …………2分 由 又③…………6分 由①②③及，即拋物線方程為 …………8分 （2）設(shè) 由④ …………10分 的中垂線方程為 …………13分 的中垂線在y軸上的截距為 對(duì)于方程④由 …………15分 3、（1）直線的方程為坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為 又解得故橢圓的方程為 . (2)由（1）可求得橢圓的左焦點(diǎn)為 易知直線的斜率不為0,故可設(shè)直線點(diǎn)因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所? 聯(lián)立 ,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 那么直線的方程為 4、B 5、C 6、（1）由已知解得 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是. ………………………………（3分） （2）（?。┯桑?）可得，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是(2，0). 設(shè)直線PQ的方程為x＝my+2，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得 消去x，得(m2＋3)y2+4my－2＝0，其判別式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則. 設(shè)M為PQ的中點(diǎn)，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為. …………6分 因?yàn)?，所以直線FT的斜率為，其方程為. 當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為， 此時(shí)直線OT的斜率為，其方程為. 將M點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，得. 解得. ………………………………………………8分 （ⅱ）由（?。┲猅為直線上任意一點(diǎn)可得，點(diǎn)T點(diǎn)的坐標(biāo)為. 于是， . …………10分 所以 . ……………12分 當(dāng)且僅當(dāng)，即m＝1時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值． 故當(dāng)最小時(shí)，T點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，1)或(3，－1)． ……………12分 7、解：（1）根據(jù)題意，不妨設(shè)A（t，t）且t＞0，，， ∴…①（1分），…②（2分）， …③，a2﹣b2=c2…④， 聯(lián)立①②③④解得：a2=3，b2=1 ∴橢圓的方程為：…（6分） （2）設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），EF中點(diǎn)為M（x0，y0）， ∵，∴…（7分） ∵E，F(xiàn)在橢圓上，則 ， 相減可得，， ∴直線EF的方程為：， 即，代入， 整理得：， ∴，…（9分）， ===， ∵原點(diǎn)O（0，0）到直線EF的距離為，…（11分） =，…（12分） =， 當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以△OEF得最大值為．…（13分） 8、解：（1）設(shè)橢圓E的方程為，半焦距為c． 由已知條件，F(xiàn)（0，1），∴b=1，=，a2=b2+c2， 解得a=2，b=1．所以橢E的方程為． （2）顯然直線l的斜率存在，否則直線l與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意， 故可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x1，y1）B（x2，y2）（x1≠x2） 與拋物線方程聯(lián)立，消去y，并整理得，x2﹣4kx﹣4=0 ∴x1x2=﹣4． ∵拋物線的方程為y=x2，求導(dǎo)得y′=x， ∴過拋物線上A，B兩點(diǎn)的切線方程分別是 y﹣y1=x1（x﹣x1），y﹣y2=x2（x﹣x2） 即y=x1x﹣，y=x2x﹣x22 解得兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣1） ∴?=0 ∴AB⊥MF． （3）假設(shè)存在點(diǎn)M′滿足題意，由（2）知點(diǎn)M′必在直線y=﹣1上，又直線y=﹣1與橢圓有唯一交點(diǎn)，故M′的坐標(biāo)為（0．﹣1）， 設(shè)過點(diǎn)M′且與拋物線C相切的切線方程為y﹣y0=x0（x﹣x0）：，其中點(diǎn)（x0，y0）為切點(diǎn)． 令x=0，y=﹣1得，﹣1﹣x02=x0（0﹣x0），解得x0=2或x0=﹣2， 故不妨取A′（﹣2，1）B′（2，1），即直線A′B′過點(diǎn)F． 綜上所述，橢圓E上存在一點(diǎn)M′（0，﹣1），經(jīng)過點(diǎn)M′作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B′ （A′、B′為切點(diǎn)），能使直線A′B′過點(diǎn)F． 此時(shí)，兩切線的方程分別為y=﹣x﹣1和y=x﹣1． 拋物線C與切線M′A′、M′B′所圍成圖形的面積為 ==． 9、解：對(duì)于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x， 則，， y1=1，y2=5，則， φ（A，B）=，（1）錯(cuò)誤； 對(duì)于（2），常數(shù)函數(shù)y=1滿足圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)，（2）正確； 對(duì)于（3），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），y′=2x， 則kA﹣kB=2x1﹣2x2，= =． ∴φ（A，B）==，（3）正確； 對(duì)于（4），由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）==． t?φ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1時(shí)該式成立，∴（4）錯(cuò)誤． 故答案為：（2）（3）． 10、解：（I）由題意得，F(xiàn)1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），圓F1的半徑為4，且|MF2|=|MP|， 從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4＞|F1F2|，…（2分） ∴點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，…（4分） 其中長(zhǎng)軸2a=4，得到a=2，焦距2c=2， 則短半軸b=， 橢圓方程為： …（5分） （Ⅱ）當(dāng)直線l 與x軸垂直時(shí)，B1（1，），B2（1，﹣），又F1（﹣1，0）， 此時(shí)，所以以B1B2為直徑的圓不經(jīng)過F1．不滿足條件．…（6分） 當(dāng)直線l 不與x軸垂直時(shí)，設(shè)L：y=k（x﹣1） 由即（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0， 因?yàn)榻裹c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以恒有兩個(gè)交點(diǎn)． 設(shè)B1（x1，y1），B2（x2，y2），則：x1+x2=，x1x2=， 因?yàn)橐訠1B2為直徑的圓經(jīng)過F1，所以，又F1（﹣1，0） 所以（﹣1﹣x1）（﹣1﹣x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2=0 所以解得k2=，…（8分） 由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0 因?yàn)橹本€l 與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以k≠0， 設(shè)A1（x3，y3），A2（x4，y4），則：x3+x4==2+，x3x4=1 所以|A1A2|=x3+x4+p=2++2=．…（12分） 11、解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 由題意知解得a=2，b=1． 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （Ⅱ）證明：設(shè)直線AM的方程為：y=k（x+2），則N（0，2k）． 由 得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0（*）． 設(shè)A（﹣2，0），M（x1，y1），則﹣2，x1是方程（*）的兩個(gè)根， 所以． 所以． =．． 則． 設(shè)直線OP的方程為：y=kx． 由 得（1+4k2）x2﹣4=0． 設(shè)P（x0，y0），則，． 所以，． 所以|AM|?|AN|=2|OP|2． 12、解：（I）由于橢圓C1中，， 則設(shè)其方程為， 由于點(diǎn)在橢圓上，故代入得λ=1． 故橢圓C1的方程為． 拋物線C2中， ∵拋物線C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣）， ∴，故p=1， 從而橢圓C1的方程為，拋物線C2的方程為x2=﹣2y． （II）（i）證明：設(shè)點(diǎn)M（x0，y0），且滿足2x0﹣4y0+3=0， 點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則切線MA的斜率為﹣x1， 從而MA的方程為y=﹣x1（x﹣x1）+y1， 考慮到，則切線MA的方程為x1x+y+y1=0， 同理切線MB的方程為x2x+y+y2=0， 由于切線MA，MB同過點(diǎn)M， 從而有， 由此點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在直線x0x+y+y0=0上． 又點(diǎn)M在直線2x﹣4y+3=0上，則2x0﹣4y0+3=0， 故直線AB的方程為（4y0﹣3）x+2y+2y0=0， 即y0（4x+2）+（2y﹣3x）=0， ∴直線AB過定點(diǎn)． （ii）解：設(shè)P（x3，y3），Q（x4，y4）， 考慮到直線AB的方程為x0x+y+y0=0， 則聯(lián)立方程， 消去y并簡(jiǎn)化得， 從而，，， 從而， 點(diǎn)O到PQ的距離， 從而 =， 當(dāng)且僅當(dāng)，即， 又由于2x0﹣4y0+3=0， 從而消去x0得， 即，解得， 從而或， ∴所求的直線為x+2y+2=0或x﹣14y﹣10=0． 13、解：（Ⅰ）依題可知A（﹣a，0）、， 由|AF|=|FD|，得， 化簡(jiǎn)得a=2c，由a2=3+c2得 a2=4， 故所求橢圓C的方程為：； （Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），在點(diǎn)B處的切線方程為x=2． 結(jié)論：以BD為直徑的圓與直線PF相切． 證明如下： 由題意可知直線AP的斜率存在，設(shè)直線AP的方程為y=k（x+2），（k≠0）． 則點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，4k），BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2k）． 聯(lián)立，得（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0． 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0）， 由韋達(dá)定理：． 所以，． 因?yàn)辄c(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0），分情況討論： （1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線PF的方程為x=1，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）． 此時(shí)以BD為直徑的圓（x﹣2）2+（y?1）2=1與直線PF相切； （2）當(dāng)時(shí)，直線PF的斜率． 所以直線PF的方程為，即． 故點(diǎn)E到直線PF的距離d===|2k|； 綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以BD為直徑的圓與直線PF相切． 14、(Ⅰ) ∵點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)， 設(shè)，∵直線與的斜率之積等于， ∴，化簡(jiǎn)得 ， ∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 . (Ⅱ)法一：設(shè)存在點(diǎn)，使得與的面積相等， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，解得， ∵， ∴， ∴滿足條件的點(diǎn)P為. 法二：設(shè)， ∴，解得 ， ∴， ∵，，又點(diǎn)到直線的距離， ∴， ∴， ∴，解得， ∵， ∴， ∴滿足條件的點(diǎn)P為. 15、（Ⅰ）依題意， ∴橢圓C方程為： …3分 （Ⅱ）依題意，橢圓C2方程為： 當(dāng)切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為： 由得，由得 設(shè)，則 又點(diǎn)O到直線l的距離，∴ 當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為， 綜上，當(dāng)切線l變化時(shí)，面積為定值 …13分 16、（Ⅰ），得…………2分 將代入橢圓得 化簡(jiǎn)得……………………5分 （Ⅱ）法一：①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，不妨設(shè)，且， 由 化簡(jiǎn)得 ， 聯(lián)立橢圓方程解得 ， 故（為定值）……………………6分 ②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為 由 由，可得…………7分 又 ，可得 ……………………9分 因?yàn)椋? 點(diǎn)到直線的距離………………………………10分 綜上：的面積為定值………………………………13分 解法二：由條件得， ……………………6分 平方得, 即 …………7分 ………………………………8分 = ………………………………12分 故的面積為定值 ………………………………13分 17、（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 因?yàn)樗囊粋€(gè)頂點(diǎn)為（0，），所以，由離心率等于，得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （Ⅱ）設(shè)，，，若直線與軸重合，則，得，得； 若直線與軸不重合，則設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去得，得①， ②， 由得，整理得，將①②代入得，又點(diǎn)在直線上，所以， 于是有，因此，由得 ，所以，綜上所述，有 18、（1）（2）存在兩個(gè)定點(diǎn)，使它們到直線的距離之積等于1. 【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．H5 H8 解析：（1），由題設(shè)可知，得 ① ………1分 又點(diǎn)P在橢圓C上， ② ③ ………3分 ①③聯(lián)立解得， ………4分 故所求橢圓的方程為 ………5分 （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，代入橢圓方程，消去y， 整理得 （﹡） 方程（﹡）有且只有一個(gè)實(shí)根，又， 所以得 ………8分 假設(shè)存在滿足題設(shè)，則由 對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立, 所以， 解得， 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意. 總上，存在兩個(gè)定點(diǎn)，使它們到直線的距離之積等于1.…12分 【思路點(diǎn)撥】（1）由題設(shè)可得①，又點(diǎn)P在橢圓C上，可得?a2=2②，又b2+c2=a2=2③，①③聯(lián)立解得c，b2，即可得解． （2）設(shè)動(dòng)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程消去y，整理得（﹡），由得，假設(shè)存在滿足題設(shè)，則由對(duì)任意的實(shí)數(shù)k恒成立．由 即可求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)． 19、（I）（II） 【知識(shí)點(diǎn)】橢圓及其幾何性質(zhì)H5 （I）聯(lián)立方程組消元得： ①…………………………………………2分 相切 得： ② …4分 將②代入①式得： 解得 ……………………………………………………………………………7分 （II）解法1：到直線的距離，是等腰直角三角形 ………………………………12分 由②可得：代入上式得： 得 即……………………14分 又 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：……………………………………………………15分 解法2： 直線的方程為………………………………………………9分 解得： …………………………12分 解得 ……………………………14分 又 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：………………………………………………15分 解法3：由方法二得………………………………………………………12分 分別過做軸的垂線，垂足分別為 是等腰直角三角形 又， 得………………………………14分 又 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：…………15分 20、解析：（I）由題意知，設(shè)，則FD的中點(diǎn)為， 因?yàn)?，由拋物線的定義知：，解得或（舍去）. 由，解得. 所以拋物線C的方程為. （II）（?。┯桑↖）知，設(shè)， 因?yàn)?，則，由得，故， 故直線AB的斜率為， 因?yàn)橹本€和直線AB平行， 設(shè)直線的方程為， 代入拋物線方程得， 由題意，得. 設(shè)，則，.當(dāng)時(shí)，， 可得直線AE的方程為，由，整理可得， ∴直線AE恒過點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線AE的方程為，過點(diǎn)， 所以直線AE過定點(diǎn). （ⅱ）由（ⅰ）知，直線AE過焦點(diǎn)， 所以， 設(shè)直線AE的方程為， 因?yàn)辄c(diǎn)在直線AE上，故， 設(shè)，直線AB的方程為，由于， 可得，代入拋物線方程得，所以， 可求得，，所以點(diǎn)B到直線AE的距離為 . 則的面積， 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立. 所以的面積的最小值為16. 【思路點(diǎn)撥】（I）設(shè)，因?yàn)?，則FD的中點(diǎn)為，由為正三角形求得p=2，所以拋物線C的方程為. （II）（?。┯桑↖）知，設(shè)，得， 故直線AB的斜率為，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程， 由得.從而得切點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，，可得直線AE的方程為，由，得直線AE的方程，∴直線AE恒過點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，直線AE的方程為，過點(diǎn). 所以直線AE過定點(diǎn). （ⅱ）由（?。┲本€AE過焦點(diǎn)，所以，設(shè)直線AE的方程為，故，因?yàn)橹本€AB的方程為，即： ，代入拋物線方程得，設(shè)，則 ，可求得，，所以點(diǎn)B到直線AE的距離為： d.則的面積， 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立. 所以的面積的最小值為16