2019年高中數(shù)學 模塊綜合檢測試題 新人教A版選修4-5.DOC
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2019年高中數(shù)學 模塊綜合檢測試題 新人教A版選修4-5 一、選擇題(每小題5分，共40分) 1．用數(shù)學歸納法證明3n>n3(n≥3，n∈N)第一步應驗證( ) A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4 答案：C 2．不等式|3x－2|<4的解集是( ) A. B. C. D. 答案：D 3．已知a，b，c，d∈R，且ab＞0，－＜－，則下列各式恒成立的是( ) A．bc＜ad B．bc＞ad C.＞ D.＜ 答案：B 4．若a，b，x，y∈R，則是成立的( ) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案：C 5．給出三個條件：①ac2＞bc2；②＞；③a2＞b2.其中能分別成為a＞b的充分條件的個數(shù)為( ) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 答案：B 6．若a＞0，使不等式|x－4|＋|x－3|＜a在R上的解集不是空集的a的取值范圍是( ) A．0＜a＜1 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)＞1 答案：D 7．設x>0，y>0且x＋y≤4，則下列不等式中恒成立的是( ) A.≤ B.＋≥1 C.≥2 D.≥ 答案：D 8．若k棱柱有f(k)個對角面，則k＋1棱柱有對角面的個數(shù)為( ) A．2f(k) B．k－1＋f(k) C．f(k)＋k D．f(k)＋2 答案：B 二、填空題(每小題5分，共30分) 9．函數(shù)y＝3x＋(x>0)的最小值為________． 答案：3 10．若|x＋y|＝4，則xy的最大值是________． 答案：4 11．函數(shù)y＝的最小值是________． 答案：3＋2 12．x，y∈R，若x＋y＝1，則x2＋y2的最小值為________． 答案： 13．設數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用數(shù)學歸納法證明an＝42n－1－2的第二步中，設n＝k時結論成立，即ak＝42k－1－2，那么當n＝k＋1時，______________________________________. 答案：ak＋1＝2ak＋2＝2(42k－1－2)＋2＝42k－2＝42(k＋1)－1－2 14．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________． 答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞) 三、解答題(共80分) 15．(12分)已知a、b、c∈R＋，求證：＋＋≥3. 證明：∵a、b、c∈R＋，＋＋＝＋－1＋＋－1＋＋－1 ＝＋－3 ≥3＋3－3＝3. 當且僅當a＝b＝c時等號成立． 16．(12分)已知關于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥1(a>0)． (1)當a＝1時，求此不等式的解集； (2)若不等式的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍． 解析：(1)當a＝1時，得2|x－1|≥1. ∴x≥或x≤. ∴不等式的解集為∪. (2)∵原不等式的解集為R， ∴|ax－1|＋|ax－a|≥1對一切實數(shù)x恒成立． 又∵|ax－1|＋|ax－a|≥|a－1|， ∴|a－1|≥1，∴a≥2或a≤0. ∵a>0，∴a的取值范圍為[2，＋∞)． 17．(14分)設x>0，y>0，證明：(x2＋y2)>(x3＋y3). 證明：證法一(分析法) 所證不等式等價于(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)>x6＋y6＋2x3y3， 即3x2y2(x2＋y2)>2x3y3， 只需證：x2＋y2>xy， ∵x2＋y2≥2xy>xy成立， ∴(x2＋y2)>(x3＋y3)， 證法二(綜合法) ∵(x2＋y2)3＝x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)≥x6＋y6＋6x3y3>x6＋y6＋2x3y3＝(x3＋y3)2， ∵x>0，y>0，∴(x2＋y2)>(x3＋y3). 18．(14分)已知a＞b＞c＞0，方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，若該方程有實根，求證：a，b，c不能成為一個三角形的三邊長． 證明：∵方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0有實根， ∴Δ＝(a＋b＋c)2－4(ab＋bc＋ca) ＝a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca) ?。?a－b)2－2(a＋b)c＋c2 ?。絒(＋)2－c][(－)2－c] ?。?＋＋)(＋－)(－＋)(－－)≥0. 若a，b，c為一個三角形的三邊長，由＋＋＞0， ＋－＞0，－＋＞0得－－≥0， 即＋≤，即b＋c＜a.這與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾． ∴a，b，c不能成為一個三角形的三邊長． 19．(14分)已知函數(shù)f(x)＝(x≠－1)，設數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f(an)，數(shù)列{bn}滿足bn＝|an－|，Sn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)． (1)用數(shù)學歸納法證明：bn≤； (2)求證：Sn＜. 證明：(1)當x≥0時，f(x)＝1＋≥1， 因為a1＝1，所以an≥1(n∈N*)， 下面用數(shù)學歸納法證明不等式bn≤： ①當n＝1時，b1＝－1，不等式成立． ②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，不等式成立，即 bk≤， 那么n＝k＋1時， bk＋1＝|ak＋1－|＝ ≤bk≤. 所以，當n＝k＋1時，不等式也成立． 由①②可知不等式對任意n∈N*都成立． (2)由(1)知bn≤， 所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn ≤(－1)＋＋…＋ ＝(－1) ＜(－1)＝. 故對任意n∈N*，Sn＜. 20．(14分)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145(n∈N*)． (1)求數(shù)列{bn}的通項； (2)設數(shù)列{an}的通項an＝log(其中a>0且a≠1)，設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，試比較Sn與logabn＋1的大小，并證明你的結論． 解析：(1)設數(shù)列{bn}的公差為d， 由題意，得101＋d＝145， ∴d＝3，bn＝3n－2. (2)由bn＝3n－2，知 Sn＝loga(1＋1)＋loga＋…＋loga1＋＝loga， logabn＋1＝loga， 因此要比較Sn與logabn＋1的大小，可先比較(1＋1)…與的大小， 取n＝1，有(1＋1)>， 猜想取n≥1，n∈N*，有(1＋1)…1＋>， 下面用數(shù)學歸納法證明之： ①當n＝1時，已驗證不等式成立． ②假設當n＝k(k∈N*)時不等式成立， 即(1＋1)…>， 則當n＝k＋1時， (1＋1)…> ＝(3k＋2)， ∵3－()3 ＝＝>0. ∴(3k＋2)>＝， 因此(1＋1)1＋…1＋1＋>. 這說明，當n＝k＋1時不等式也成立． 由①②知，對一切n∈N*，不等式(1＋1)1＋…>都成立． 再由對數(shù)性質(zhì)，可得： 當a>1時，Sn>logabn＋1； 當0
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