江蘇省2019屆中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第四章 四邊形與相似 第2講 矩形、菱形、正方形課件.ppt
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第四章四邊形與相似第2講矩形、菱形、正方形,考點(diǎn)梳理過關(guān),考點(diǎn)1矩形,考點(diǎn)2菱形,考點(diǎn)3正方形6年1考,典型例題運(yùn)用,類型1矩形的性質(zhì)與判定,【例1】如圖,在矩形ABCD中,O為AC中點(diǎn),EF過O點(diǎn)且EF⊥AC分別交DC于F,交AB于E,點(diǎn)G是AE中點(diǎn)且∠AOG=30,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()(1)DC=3OG;(2)OG=BC;(3)△OGE是等邊三角形;(4)S△AOE=SABCD.,C,A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè),C∵EF⊥AC,點(diǎn)G是AE中點(diǎn),∴OG=AG=GE=AE.∵∠AOG=30,∴∠OAG=30,∠GOE=90-∠AOG=90-30=60.∴△OGE是等邊三角形,故(3)正確;設(shè)AE=2a,則OE=OG=a,由勾股定理,得AO=.∵O為AC中點(diǎn),∴AC=2AO=2.∴BC=.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB==3a.∵四邊形ABCD是矩形,∴CD=AB=3a.∴DC=3OG,故(1)正確;∵OG=a,∴OG≠,故(2)錯(cuò)誤;∵S△AOE=SABCD=3a∴S△AOE=,SABCD,故(4)正確.綜上所述,結(jié)論正確是(1)(3)(4),共3個(gè).,【例2】已知菱形ABCD的對角線相交于O,點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上,且BE=BF,射線EO、FO分別交邊CD、AD于點(diǎn)G、H.(1)求證:四邊形EFGH為矩形;(2)若OA=4,OB=3,求EG的最小值.,【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴OA=OC,OB=OD,AB∥CD,AD∥BC.∴∠BAO=∠DCO,∠AOE=∠COG.∴△AOE≌△COG(ASA).∴OE=OG.同理,得OH=OF.∴四邊形EFGH是平行四邊形.∵BE=BF,∠ABD=∠CBD,OB=OB,∴△EBO≌△FBO.∴OE=OF.∴EG=FH.∴四邊形EFGH是矩形.,(2)∵垂線段最短,∴當(dāng)OE⊥AB時(shí),OE最?。逴A=4,OB=3,∠AOB=90,∴AB=5.∴OAOB=ABOE.∴34=5OE.∴OE=.∵OE=OG,∴EG=答:EG的最小值是,技法點(diǎn)撥?矩形的判定思路:(1)若給出的圖形是一般的四邊形,思路一:證明有三個(gè)角是直角,思路二:先證明為平行四邊形,再證明有一個(gè)角是直角或證明其對角線相等;(2)若給出的四邊形是平行四邊形,則證明有一個(gè)角是直角或證明對角線相等.,類型2菱形的性質(zhì)與判定,【例3】如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),CD=2DE,延長ED到點(diǎn)F,使得DF=CD,連接BF.(1)求證:四邊形BCDF是菱形;(2)若CD=2,∠FBC=120,求AC的長.,【思路分析】(1)首先證明四邊形BCDF是平行四邊形,再由DF=CD即可證明四邊形BCDF是菱形.(2)首先證明△BCD是等邊三角形,再證明∠ACB=90,然后在Rt△ABC中利用勾股定理即可解決問題.,技法點(diǎn)撥?菱形除具有四條邊都相等、對角線互相垂直且平分等特有性質(zhì)外,它還具有平行四邊形的所有性質(zhì).判定菱形的方法是多樣的,其基本思路是先判定這個(gè)四邊形為平行四邊形,然后通過有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直判定為菱形,或者直接利用四條邊相等進(jìn)行證明.,變式運(yùn)用?1.如圖,在?ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)F.(1)求證:四邊形ABEF是菱形;(2)若AB=5,BF=8,若?ABCD的面積是36,求AD的長.,解:(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC.∴∠DAE=∠BEA.∵∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,∴∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠BEA.∴AB=BE.同理:AB=AF,∴AF=BE.∵AF∥BE,∴四邊形ABEF是平行四邊形.∵AB=AF,∴四邊形ABEF是菱形.,(2)如圖所示,過A作AH⊥BE.∵四邊形ABEF是菱形,∴AO=EO,BO=FO,BE=AB=5,AE⊥BF.∵BF=8,∴BO=4.∴AO=∴AE=6.∴S菱形ABEF=AEBF=68=24.∴BEAH=24.∴AH=∵S?ABCD=ADAH=36,∴AD=,類型3正方形的性質(zhì)與判定,【例4】以△ABC的各邊,在邊BC的同側(cè)分別作三個(gè)正方形.他們分別是正方形ABDI,BCFE,ACHG,試探究:(1)如圖中四邊形ADEG是什么四邊形?并說明理由.(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形ADEG是矩形?(3)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形ADEG是正方形?,【思路分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得△BDE≌△BAC,所以全等三角形的對應(yīng)邊DE=AG.然后利用正方形對角線的性質(zhì)、周角的定義推知∠EDA+∠DAG=180,易證ED∥GA;最后由“一組對邊平行且相等”的判定定理證得結(jié)論;(2)根據(jù)“矩形的內(nèi)角都是直角”易證∠DAG=90.然后由周角的定義求得∠BAC=135;(3)由“正方形的內(nèi)角都是直角,四條邊都相等”易證∠DAG=90,且AG=AD.由正方形ABDI和正方形ACHG的性質(zhì),得AC=AB.,技法點(diǎn)撥?解答這類綜合題,需要綜合運(yùn)用正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識.解題時(shí),注意利用隱含在題干中的已知條件:周角是360是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的關(guān)鍵.,變式運(yùn)用?2.[2017柳州模擬]如圖,菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E,G,H分別在正方形ABCD的邊AB,CD,DA上,連接CF.(1)求證:∠HEA=∠CGF;(2)當(dāng)AH=DG時(shí),求證:菱形EFGH為正方形.,證明:(1)如圖所示,連接GE.∵AB∥CD,∴∠AEG=∠CGE.∵GF∥HE,∴∠HEG=∠FGE.∴∠HEA=∠CGF.(2)∵四邊形ABCD是正方形,∴∠D=∠A=90.∵四邊形EFGH是菱形,∴HG=HE.在Rt△HAE和Rt△GDH中,∴Rt△HAE≌Rt△GDH(HL).∴∠AHE=∠DGH.又∵∠DHG+∠DGH=90,∴∠DHG+∠AHE=90.∴∠GHE=90.∴菱形EFGH為正方形.,,AH=DG,HE=GH,,六年真題全練,命題點(diǎn)1矩形、菱形、正方形,1.[2017泰安,14,3分]如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點(diǎn),ME⊥AM,ME交AD的延長線于點(diǎn)E.若AB=12,BM=5,則DE的長為(),B,2.[2015泰安,20,3分]如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE,延長BG交CD于點(diǎn)F,若AB=6,BC=4則FD的長為(),B,A.2B.4C.D.,B連接EF,由題意知Rt△BAE≌Rt△BGE,且AE=DE,那么GE=AE=DE.在Rt△EGF與Rt△EDF中,GE=DE,且兩直角三角形有公共斜邊EF,∴Rt△EGF≌Rt△EDF,∴GF=DF.設(shè)GF=DF=x,∵AB=6,BC=,∴BG=6,BF=6+x,F(xiàn)C=6-x.在Rt△BCF中,BF2=CF2+BC2,即解得x=4.,3.[2016泰安,23,3分]如圖,矩形ABCD中,已知AB=6,BC=8,BD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,則△BOF的面積為__,4.[2014泰安,28,11分]如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,AC與BD交于點(diǎn)E,∠ADB=∠ACB.,(1)求證:(2)若AB⊥AC,AE∶EC=1∶2,F(xiàn)是BC中點(diǎn).求證:四邊形ABFD是菱形.,5.[2013泰安,28,11分]如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一點(diǎn),BE交AC于F,連接DF.(1)證明:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;(2)若AB∥CD,試證明四邊形ABCD是菱形;(3)在(2)的條件下,試確定E點(diǎn)的位置,使∠EFD=∠BCD,并說明理由.,解:(1)證明:∵在△ABC和△ADC中,,,AB=AD,BC=DC,AC=AC,,∴△ABC≌△ADC(SSS).∴∠BAC=∠DAC.∵在△ABF和△ADF中,,,AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF,,∴△ABF≌△ADF.∴∠AFB=∠AFD.∵∠AFB=∠CFE,∴∠AFD=∠CFE.,(2)證明:∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.又∵∠BAC=∠DAC,∴∠CAD=∠ACD,∴AD=CD.∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD.∴四邊形ABCD是菱形.(3)當(dāng)EB⊥CD時(shí),∠EFD=∠BCD,理由:∵四邊形ABCD為菱形,∴BC=CD,∠BCF=∠DCF.在△BCF和△DCF中,,,BC=DC,∠BCF=∠DCF,CF=CF,∴△BCF≌△DCF(SAS).∴∠CBF=∠CDF.∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90.∴∠EFD=∠BCD.,6.[2012泰安,28,11分]鏈接第20講六年真題全練第6題.得分要領(lǐng)?解答特殊四邊形問題時(shí),可以參考以下幾個(gè)方面的技巧:(1)解答矩形問題時(shí),往往把矩形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形或等腰三角形,借助直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)解決,由于還需要借助代數(shù)知識解決問題.如根據(jù)矩形的邊、角關(guān)系設(shè)未知數(shù)構(gòu)造方程解決問題.(2)解決菱形問題時(shí),主要依據(jù)菱形的性質(zhì)和判別方法.由于菱形的對角線互相垂直平分,所以解決菱形問題往往需要轉(zhuǎn)化為直角三角形并借助勾股定理進(jìn)行計(jì)算,或轉(zhuǎn)化為等腰三角形借助于等腰三角形的有關(guān)知識解決.解決問題的方法是熟練掌握菱形的性質(zhì)和判別方法,根據(jù)題目的條件靈活地選擇方法,展開豐富的聯(lián)想,大膽地去猜想,深入地去探索,然后給出合理的說明.(3)解答正方形問題時(shí),由于正方形既是矩形又是菱形,所以多結(jié)合矩形和菱形的相關(guān)知識,同時(shí)正方形是數(shù)學(xué)變換的常考問題,多注意其中的“變”與“不變”,挖掘出其中的隱含知識,最終達(dá)到解決問題的目的.,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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