2019年高中數(shù)學(xué) 綜合素質(zhì)測試 新人教B版選修2-2.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 綜合素質(zhì)測試 新人教B版選修2-2 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．) 1．(xx江西理，1)是z的共軛復(fù)數(shù)．若z＋＝2，(z－)i＝2(i為虛數(shù)單位)，則z＝(　　) A．1＋i　 B．－1－i C．－1＋i D．1－i [答案]　D [解析]　本題考查復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算． 設(shè)z＝a＋bi，則＝a－bi. 由題設(shè)條件可得a＝1，b＝－1.選D. 2．若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)＞0的解集為(　　) A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0) [答案]　C [解析]　本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念及分式不等式的解法和對數(shù)的概念．因?yàn)閒(x)＝x2－2x－4lnx， ∴f′(x)＝2x－2－＝>0， 即，解得x>2，故選C. 3．下列命題中正確的是(　　) A．復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d B．任何復(fù)數(shù)都不能比較大小 C．若＝，則z1＝z2 D．若|z1|＝|z2|，則z1＝z2或z1＝ [答案]　C [解析]　A選項(xiàng)未注明a，b，c，d∈R.實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)能比較大?。畓1與z2的模相等，符合條件的z1，z2有無數(shù)多個(gè)，如單位圓上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模都是1.故選C. 4．?dāng)?shù)列1，，，，，，，，，，…，的前100項(xiàng)的和等于(　　) A．13 B．13 C．14 D．14 [答案]　A [解析]　從數(shù)列排列規(guī)律看，項(xiàng)有n個(gè)，故1＋2＋…＋n＝≤100.得n(n＋1)≤200，所以n≤13，當(dāng)n＝13時(shí)，＝137＝91(個(gè))，故前91項(xiàng)的和為13，從第92項(xiàng)開始到第100項(xiàng)全是，共9個(gè)，故前100項(xiàng)的和為13.故選A. 5．對一切實(shí)數(shù)x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,2] C．[－2，＋∞) D．[0，＋∞) [答案]　C [解析]　用分離參數(shù)法可得a≥－(x≠0)，則|x|＋≥2，∴a≥－2.當(dāng)x＝0時(shí)，顯然成立． 6．曲線y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為(　　) A. B．2e2 C．e2 D． [答案]　D [解析]　y′＝(ex)′＝ex，曲線在點(diǎn)(2，e2)處的切線斜率為e2，因此切線方程為y－e2＝e2(x－2)，則切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為A(1,0)，B(0，－e2)， 所以：S△AOB＝1e2＝. 7．(xx淄博市臨淄區(qū)檢測)已知函數(shù)f(x)＝x3－12x，若f(x)在區(qū)間(2m，m＋1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．－1≤m≤1 B．－1成立． [解析]　要證f(n)>(n∈N*且n≥3)，只需證>，即證1－>1－，也就是證明2n－1>2n. 下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明2n－1>2n(n∈N*，且n≥3)． ①當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝7，右邊＝6，左邊>右邊，不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，且k≥3)時(shí)不等式成立，即2k－1>2k，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2k＋1－1＝22k－1＝2(2k－1)＋1>22k＋1＝2(k＋1)＋2k－1>2(k＋1)，故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 綜上所述，當(dāng)n∈N*且n≥3時(shí)，2n－1>2n成立． 所以f(n)>(n∈N*且n≥3)成立． [說明]　對于2n－1>2n，還可以用二項(xiàng)式定理證明．由2n＝C＋C＋C＋…＋C＋C，有2n－C＝C＋C＋(C＋C＋…＋C＋C)，即2n－1＝2n＋(C＋C＋…＋C＋C)，當(dāng)n≥3時(shí)，C＋C＋…＋C＋C>0.所以2n－1>2n. 18．(本題滿分12分)一艘漁艇停泊在距岸9km處，今需派人送信給距漁艇3km處的海岸漁站，如果送信人步行每小時(shí)5km，船速每小時(shí)4km，問應(yīng)在何處登岸再步行可以使抵達(dá)漁站的時(shí)間最?。? [解析]　如圖，設(shè)BC為海岸線，A為漁艇停泊處，C為漁站，D為海岸上一點(diǎn)， ∵AB＝9，AC＝3， BC＝＝15， 設(shè)CD＝x，由A到C所需時(shí)間為T， 則T＝x＋(0≤x≤15)， T′＝－ . 令T′＝0，解得x＝3. x<3時(shí)，T′<0，x>3時(shí)，T′>0，因此在x＝3處取得極小值．又T(0)＝，T(15)＝，T(3)＝，比較可知T(3)最小． 答：在距漁站3km登岸可使抵達(dá)漁站的時(shí)間最?。? 19．(本題滿分12分)求同時(shí)滿足下列條件的所有復(fù)數(shù)z： (1)z＋是實(shí)數(shù)，且10. (1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性； (2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值． [解析]　(1)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f ′(x)＝1＋a－2x－3x2， 令f ′(x)＝0得x1＝， x2＝，x1x2時(shí)，f ′(x)<0；當(dāng)x10，故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，在(x1，x2)內(nèi)單調(diào)遞增． (2)因?yàn)閍>0，所以x1<0，x2>0， ①當(dāng)a≥4時(shí)，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝0和x＝1處分別取得最小值和最大值． ②當(dāng)00，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn)． 當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0得x＝. 當(dāng)x∈(－∞，－)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(－，)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增． 此時(shí)x＝－是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝是f(x)的極小值點(diǎn)．