2019-2020年九年級數(shù)學(xué)下冊 29.1 幾何問題的處理方法1教案 華東師大版.doc
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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)下冊 29.1 幾何問題的處理方法1教案 華東師大版 教學(xué)目標(biāo) 知識技能目標(biāo) 1.掌握并會證明等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理; 2.利用等腰三角形的有關(guān)定理去研究幾何問題. 過程性目標(biāo) 在證明等腰三角形的有關(guān)定理的過程中,進一步體會證明的必要性,掌握證明的書寫格式,提高演繹推理能力. 教學(xué)重點 1.掌握并會證明等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理; 2.利用等腰三角形的有關(guān)定理去研究幾何問題. 教學(xué)難點 在證明等腰三角形的有關(guān)定理的過程中,進一步體會證明的必要性,掌握證明的書寫格式,提高演繹推理能力. 一、情境導(dǎo)入 請同學(xué)們按以下步驟畫△ABC. 1.任意畫線段BC; 2.以B、C為頂點,在BC的同側(cè)作銳角∠B=∠C,角的兩邊交于點A. 這個△ABC是一個什么三角形?怎么知道△ABC是一個等腰三角形呢?大家可以用度量或沿AD對折的方法,得到AB=AC,這實際上就是我們已經(jīng)學(xué)過的等腰三角形的識別方法:等角對等邊.同學(xué)們是否想過,為什么當(dāng)△ABC沿AD對折時,AB與AC完全重合?現(xiàn)在我們可以用邏輯推理的方法去證明這個問題. 二、探究歸納 1.求證:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等. 已知:如圖,在△ABC中,∠B=∠C.求證:AB=AC. 分析 要證明AB=AC,可設(shè)法構(gòu)造兩個全等三角形,使AB,AC分別是這兩個全等三角形的對應(yīng)邊,因此可畫∠BAC的平分線AD. 等腰三角形的判定定理:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等.(簡寫成“等角對等邊” 說明 (1)還可通過畫中線AD或BC邊上的高AD得全等三角形. (2)推理形式:因為在△ABC中,∠B=∠C.(已知) 所以AB=AC.(等角對等邊) 2.同學(xué)們回憶一下,我們學(xué)過的等腰三角形具有哪些性質(zhì)?(1)等邊對等角;(2)等腰三角形的“三線合一”.以前,我們也用折疊的方法(可演示一下)來認識了這兩個性質(zhì),現(xiàn)在同學(xué)們嘗試用邏輯推理的方法來證明等腰三角形的性質(zhì).先試著畫出圖形,寫出已知,求證. 求證:等腰三角形的兩個底角相等. 已知:△ABC中,AB=AC. 求證:∠B=∠C. 分析 仍可通過畫∠BAC的平分線AD來構(gòu)造全等三角形. 等腰三角形的性質(zhì)定理:等腰三角形的兩個底角相等.(簡稱為“等邊對等角” ) 推理形式:因為△ABC中,AB=AC.(已知) 所以∠B=∠C.(等邊對等角) 說明 (1)也可作中線AD或BC邊上的高線AD; (2)由△BAD≌△CAD,可進一步推得BD=CD,∠BDA=∠CDA=90,因此AD也是中線,是BC邊上的高線. 等腰三角形的頂角平分線,底邊上的中線,底邊上的高互相重合.(簡寫成“等腰三角形的三線合一” ) 在半透明紙上畫∠AOB及角平分線OC,點P是OC上任意一點,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為點D和點E.沿著射線OC對折,發(fā)現(xiàn)PD和PE完全重合,即PD=PE,由此,我們得到了角平分線的性質(zhì).請同學(xué)們來敘述這一性質(zhì):角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等.我們現(xiàn)在可以用邏輯推理的方法去證明這一性質(zhì). 1.同學(xué)們按上述性質(zhì)畫出圖形,寫出已知、求證,老師及時補充. 已知:OC是∠AOB平分線,點P是OC上任意一點,PD⊥OA,PE⊥OB,點D、E為垂足. 求證:PD=PE. 分析 只要去證明PD、PE所在的兩個直角三角形全等。 角平分線性質(zhì)定理:角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等. 2.反過來,如果一個點到一個角兩邊的距離相等,這個點是否就在這個角的平分線上呢?畫出圖形,我們通過證明來解答這個問題. 已知:如圖,QD⊥OA,QE⊥OB,點D、E為垂足,QD=QE. 求證:點Q在∠AOB的平分線上. 分析 要證點Q在∠AOB的平分線上,即QO是∠AOB的平分線,畫射線OQ,只要證∠AOQ=∠BOQ,利用H.L.證明△DOQ≌△EOQ,得∠AOQ=∠BOQ. 角平分線判定定理:到一個角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上. 前面我們已經(jīng)用邏輯推理的方法證明了很多定理,如等腰三角形的性質(zhì)與判定定理、角平分線的性質(zhì)與判定定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定定理等,這些定理都是命題.再如:“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”;“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”也是命題.觀察這些命題的題設(shè)與結(jié)論,你發(fā)現(xiàn)了什么? 1.命題“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”的題設(shè)是_______,結(jié)論是_______; 命題“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”的題設(shè)是_______,結(jié)論是_______. 在兩個命題中,如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論,而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的題設(shè),那么這兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個命題叫做原命題,那么另一個就叫做它的逆命題.所以上述兩個命題叫做互逆命題,如“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”為原命題,則“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”為逆命題,反之也可以. 2.每一個命題都有逆命題,只要將原命題的題設(shè)與結(jié)論互換,便可得到原命題的逆命題.但是,原命題正確,它的逆命題未必正確,也就是說原命題與逆命題的真假之間沒有必然的聯(lián)系.比如“對頂角相等”是真命題,但它的逆命題“相等的角是對頂角”是一個假命題. 3.我們知道定理是命題,所以定理一定有逆命題.我們還知道定理是真命題,但定理的逆命題卻不一定是真命題,如果是真命題,則定理的逆命題也是定理,那么這兩個定理叫做互逆定理,其中的一個定理叫做另一個定理的逆定理.比如我們剛才所講的命題“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”;“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”都是定理,因此它們就是互逆定理.再比如等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理也是互逆定理,同學(xué)們能否再舉一些互逆定理? 例題: 例1 如圖,△ABC中,AB=AC,E是AC上一點,∠A=2∠EBC. 求證:BE⊥AC. 分析 由已知條件∠A=2∠EBC,聯(lián)想到作∠A的平分線AD,則∠CAD=∠EBC,且AD⊥BC,所以∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90,即BE⊥AC. 例2 如圖,已知BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分別是E、D,BE、CD相交于點O,且∠1=∠2.求證:OB=OC. 分析 要證明OB=OC,只要證明△OBD≌△OCE,可利用角平分線及垂線的條件得OD=OE. 例3 寫出下列命題的逆命題,判斷原命題與逆命題的真假. (1)全等三角形的面積相等; (2)同角的余角相等; (3)如果|a|=|b|,那么a=b; (4)到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上; (5)線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等. 例4 寫出勾股定理“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的逆命題,并證明逆命題是真命題. 已知:△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,且a2+b2=c2. 求證:△ABC是直角三角形. 分析 首先構(gòu)造一個直角三角形ABC,使得∠C′=90,B′C′=a, C′A′=b,然后可以證明△ABC≌△A′B′C′,從而可知△ABC是直角三角形. 勾股定理的逆定理:如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和,那么這個三角形是直角三角形. 例5 如圖,四邊形ABCD是邊長a為的正方形,M為AB中點,E為AD上一點,且AE=AD. 求證:△EMC是直角三角形. 作業(yè):1、如圖,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F.求證:點F在∠DAE的平分線上. 2.如圖,已知Rt△ABC中,∠C=90,AC=BC,∠BAC的平分線交BC于點D.求證:AB=CD+AC. 3.給定一個三角形的兩邊長分別是5、12,當(dāng)?shù)谌龡l邊為多長時,這個三角形是直角三角形?- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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