大一《高等數(shù)學(xué)》期末考試題(精編匯總題)
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一、單項選擇題 (本大題有 4小題, 每小題 4分, 共 16分)1. (0)sin(co) ???xxf .(A) (02? (B) (01f?(C) )f? (D) (fx不可導(dǎo).2. 13)1) ??????.(A) (x與 是同階無窮小,但不是等價無窮??; (B))?與是等價無窮?。唬–) 是比 ()高階的無窮??; (D) ()x?是比 ()?高階的無窮小. 3. 若 ()02xFtftd???,其中 ()fx在區(qū)間上 (1,)?二階可導(dǎo)且??f,則( ).(A)函數(shù) 必在 處取得極大值;(B)函數(shù) ()x必在 處取得極小值;(C)函數(shù) 在 0?處沒有極值,但點 (0,)F為曲線 ()yFx?的拐點;(D)函數(shù) ()F在 處沒有極值,點 ,也不是曲線 的拐點。4. )() ,)(2)( 10????xfdtfxfxf ?。ˋ)2(B)2x?(C) ? (D) .二、填空題(本大題有 4小題,每小題 4分,共 16分)5. ???xxsin20)31(lim.6. ,(co f ???xfdcos)( .7. li(scoscs???2221?n nn???.8.???2121ari dxx.三、解答題(本大題有 5小題,每小題 8分,共 40分)9. 設(shè)函數(shù) ()y由方程 sin()1xye??確定,求 ?()yx以及 ?(0)y.10..d17x?? 11.??????????1 32 )(0)( dxfxefx12. 設(shè)函數(shù) )(xf連續(xù),??10()()gxftd,且 ??0()limxfA, 為常數(shù). 求 ?g并討論 ?在 處的連續(xù)性.13. 求微分方程 2lnyx??滿足?1()9y的解.四、 解答題(本大題 10分)14.已知上半平面內(nèi)一曲線 )0()??y,過點 (,)1,且曲線上任一點Mxy(,)0處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與 x軸、 y軸、直線 x?0所圍成面積的 2倍與該點縱坐標(biāo)之和,求此曲線方程.五、解答題(本大題 10分)15.過坐標(biāo)原點作曲線 xyln的切線,該切線與曲線 ln及 x 軸圍成平面圖形 D.(1) 求 D的面積 A;(2) 求 D繞直線 x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.六、證明題(本大題有 2小題,每小題 4分,共 8分)16.設(shè)函數(shù) )(xf在 ??0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減,證明對任意的 [,]?01q,00()???qdqfdx.17.設(shè)函數(shù) )(xf在 ???,上連續(xù),且0)(0???xdf,cos0???d.證明:在 ??,內(nèi)至少存在兩個不同的點 21,?,使 .0)()(21?ff(提示:設(shè) ??xdfF0)()()一、單項選擇題(本大題有 4小題, 每小題 4分, 共 16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空題(本大題有 4小題,每小題 4分,共 16分)5. 6e . 6. cx?2)os(1 .7. ?. 8. 3?.三、解答題(本大題有 5小題,每小題 8分,共 40分)9. 解:方程兩邊求導(dǎo)(1)cos())0xyy????xe????0,, ()1?10.解: 76uxdu? 1()12()d?????? ln|2l||)7c71||1|xxC??11.解:012330()fdexd??????010()x?23cossin)e???????????? 3214?12.解:由 (0)f,知 (0)g?。???100()()xtufdgxfd(0)x?02()()x??020()()A()limli2xxxfudfg??????0200()li()lixxfu?? ???, ?()gx在 ?0處連續(xù)。13.解: ndy??2(l)xdexC????21l39?(),0yC?,1ln39y?四、 解答題(本大題 10分)14.解:由已知且 02dx???, 將此方程關(guān)于 求導(dǎo)得 y??特征方程: ??r解出特征根: .2,1??r其通解為 xxeCy21代入初始條件 y()01??,得 31,21?C故所求曲線方程為:xxe32??五、解答題(本大題 10分)15.解:(1)根據(jù)題意,先設(shè)切點為 )ln,(0,切線方程:)(ln00xxy???由于切線過原點,解出 e,從而切線方程為: xey1?則平面圖形面積 ????1012)(dyAy(2)三角形繞直線 x = e一周所得圓錐體體積記為 V1,則23e??曲線 yln與 x軸及直線 x = e所圍成的圖形繞直線 x = e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為 V2 ???1022)(dy?D繞直線 x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 )3125(621????eV?六、證明題(本大題有 2小題,每小題 4分,共 12分)16.證明:100()()qfdxfdx??? 100()()()qqqfxfdxf????10(1)qqff??12 12[,][,1] ()()12()(()0q fffq? ??? ??故有: 100()()???qfxdfxd證畢。17.證:構(gòu)造輔助函數(shù):????xtfFx0,)()(0。其滿足在 ],0[?上連續(xù),在),0(?上可導(dǎo)。 ?,且 )(?F由題設(shè),有 ??????? 000 )(sincocoss)( |dxFdxf,有 ???0sin)(xdF,由積分中值定理,存在 ),(???,使 i)(??即?綜上可知 ),0(,)()0( ???????F.在區(qū)間 ],[0??上分別應(yīng)用羅爾定理,知存在 ,1??和 ,2,使 1?及 2??F,即 0)(21?f. 高等數(shù)學(xué) I 解答一、單項選擇題(在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案,填在題末的括號中)(本大題有 4小題, 每小題 4分, 共 16分)1. 當(dāng) 0x?時, ??,x??都是無窮小,則當(dāng) 0x?時( D )不一定是無窮小. (A) ?(B) ??22???(C) ??)(1lnx??(D) )(x2. 極限aax????????sim的值是( C ).(A) 1 (B) e (C) aecot (D) aetn3. ?????????01sin)(2xaxfa在 處連續(xù),則 a =( D ).(A) 1 (B) 0 (C) e (D) 1?4. 設(shè) )(xf在點 處可導(dǎo),那么 ???hffh)2()(lim0( A ).(A) 3a? (B) 2a?(C) )(f? (D) )(31f二、填空題(本大題有 4小題,每小題 4分,共 16分)5. 極限 )0(ln)l(im0????axx的值是 a.6. 由 ye2cos?確定函數(shù) y(x),則導(dǎo)函數(shù) ??y xeyyln2si??.7. 直線 過點 M(,)13且與兩平面 zxyz???20356,都平行,則直線 l的方程為 1321???zyx.8. 求函數(shù) 2)4ln(y?的單調(diào)遞增區(qū)間為 (-?,0)和(1,+? ) .三、解答題(本大題有 4小題,每小題 8分,共 32分)9. 計算極限10()limxxe???.解:11ln() 2000() ln(1)liiimxxxxxee????????10.已知: |3a?, |26b, 3ab??,求 ||ab??。解: 13cossin,15cos 2? ???, 72?ba?11.設(shè) )(xf在 [a, b]上連續(xù),且],[)()(xdtfxFa????,試求出F?。解: ???xaxadtftf)()()(???? xaxa tfffdtf )()(F12.求 3cos.inx解:21sindx????2 21si sincotxdxC? ????四、解答題(本大題有 4小題,每小題 8分,共 32分)13. 求 ??231xd.令 t???21322)(1dtt原 式??dt2123?arcsint123?614. 求函數(shù) 21xy?? 的極值與拐點.解:函數(shù)的定義域(-?,+? )2)(??32)1(4xy????令 0?y得 x 1 = 1, x 2 = -1)??x 1 = 1是極大值點, 0??x 2 = -1是極小值點極大值 (,極小值 )(y令 ?得 x 3 = 0, x 4 = 3, x 5 = - 3x (-?,- ) (- ,0) (0, ) ( 3,+?)y?- + - +故拐點(- 3,- 2) , (0,0) ( 3, 2)15. 求由曲線 4xy?與 2x?所圍成的平面圖形的面積.解 :, ,x32341???x() ,.? ?6060223 Sxdxd?????)()320 34??(43602021616?52716. 設(shè)拋物線 24xy?上有兩點 (,3)A, (,5)B?,在弧 A B上,求一點(,)Px使 AB?的面積最大.解: xyxxABP連 線 方 程 : 點 到 的 距 離 的 面 積 ??????1042523513()? Sx() ()?????12422 當(dāng) ???xSx)10 當(dāng) 時 取 得 極 大 值 也 是 最 大 值?x()01此 時 所 求 點 為 ,y?33()另 解 : 由 于 的 底 一 定 故 只 要 高 最 大 而 過 點 的 拋 物 線的 切 線 與 平 行 時 高 可 達(dá) 到 最 大 值 問 題 轉(zhuǎn) 為 求 ,使 解 得 所 求 點 為?ABCCxfx,,,(),() ,,00200 042531213????????六、證明題(本大題 4分)17. 設(shè) ?,試證 xex?)(2.證明:設(shè) 0),1()???f1()(2??exf, xef2?,0,??f,因此 在(0,+? )內(nèi)遞減。在(0,+?)內(nèi), )(,)(fx??? 在(0,+?)內(nèi)遞減,在(0,+?)內(nèi), ff即 )12???xx亦即當(dāng) x>0時, ex??1)(2 。高等數(shù)學(xué) I A一、單項選擇題(在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案,填在題末的括號中)(本大題有 4小題, 每小題 4分, 共 16分)18. 函數(shù) ???????????0,sin12ta,)ln()(xxxf?的全體連續(xù)點的集合是 ( )(A) (-?,+ ) (B) (-?,1) ?(1,+ )(C) (- ,0) ? (0, + ) (D) (- ,0) (0,1) (1,+ )19. 設(shè) 0)1(lim2?????baxx,則常數(shù) a,b的值所組成的數(shù)組( a,b)為( )(A) (1,0) (B) (0,1) (C) (1,1) (D) (1,-1)20. 設(shè)在[0,1]上 )(xf二階可導(dǎo)且 0)(??xf,則( )(A) )0()(ff???? (B) )1(0)1(fff ????(C) (D) ?21.,1cosin224dxM?????????243)cos(sin?dxxN???243)cossin(?dxxP則( )(A) M 0,故駐點為極小值點。5.設(shè) f (x) = x lnx在 x0處可導(dǎo),且 f’(x0)=2,則 f (x0)= ?!〗猓?.),)(,1l0 efef ????? ??lim.620??xfx 則 f(x)在 x=0取得 (填極大值或極小值)。解: ?? ?????? 0,00 0,,1li 22 ??? ????xfxx fxff?二、 ?????????0,01)(xxf 是否連續(xù)?是否可導(dǎo)?并求 f(x)的導(dǎo)函數(shù)。解:當(dāng) x>0及 x0F(1)=f(1)-1=0-12),并求 ??nlim。證:????211150251)1,0()(012 .)(,1)0( ]1,0[00 0211121 ?????? ??????? ?????? xxnx xxxxfxnxf fnffn nn nnn 解 出取 極 限兩 邊由 方 程 有 有 極 限 , 設(shè) 極 限 為故 由 極 限 存 在 準(zhǔn) 則 知 其因 此是 單 調(diào) 下 降 數(shù) 列 , 而知由 上 有 唯 一 實 根 。單 調(diào) 增 加 , 故 在知 函 數(shù)又 使點 定 理 知 至 少 有 一 點由 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 函 數(shù) 零 知 函 數(shù) 在 端 點 異 號 。由 上 連 續(xù) 。其 在設(shè) ??? ? ?七. 七. (10 分)確定常數(shù) a、 b,使極限40cos21limxbax??存在,并求出其值。解:要使極限存在,分子與分母應(yīng)是極限過程中的同階無窮小或高階無窮小,于是有 1+ a+b=0,用一次羅必達(dá)法則分子仍為無窮小,有 a+4b=0解出: a=-4/3 b=1/3 代入求得極限為 8/3八. 八. (10 分)設(shè) f (x)在[ a,b]上連續(xù),在( a,b)內(nèi)可微,且 f (a) = f (b) =0,證明:對 ????cffcR???????, 使 得, 。證明:構(gòu)造函數(shù) F(x)= e-?x f (x) 則 F(x)在[ a,b]上連續(xù),在( a,b)內(nèi)可微 F (a) = F (b) =0由羅爾定理????????xfefecbcR ??? ?????????而, 使 得 ,0,,即有 cffa, 使 得 證畢。- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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