2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第18章 整數(shù)幾何試題 新人教版.doc

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2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第18章 整數(shù)幾何試題 新人教版 18.1.1★已知的兩條高長分別是5、15，第三條高的長數(shù)，求這條高之長的所有可能值． 解析 由面積知，三條高的倒數(shù)可組成三角形三邊，這是它們的全部條件． 設(shè)第三條高為，則 解得，可取4、5、6、7這四個(gè)值． 18.1.2★已知的三邊長分別為，，，且邊上的高的長為，其中為正整數(shù)，且，問：滿足上述條件的三角形有幾個(gè)？ 解析 注意為之最長邊，故，設(shè)，，則，而可正可負(fù)． 由，及，得，，由勾股定理，知，展開得，由及為正整數(shù)，知，2，…，12，這樣的三角形有12個(gè)． 18.1.3★已知一個(gè)直角三角形的三條邊均為正整數(shù)，其中一條直角邊不超過20，其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑之比為，求此三角形周長的最大值． 解析 設(shè)該直角三角形直角邊長為、，斜邊為，則外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑，不妨設(shè)． 由條件知，，平方，得，即 ， ， 于是，，，或，，，周長為，為正整數(shù)．的最大值為6，此時(shí)各邊為18、24、30，周長最大值為． 18.1.4★為不等邊三角形，，，其他兩邊長均為整數(shù)，求的面積． 解析 設(shè)，，則由余弦定理，有 ． 由條件，不妨設(shè)，則為之最小邊，只能取值1、2、3、4、5、6，分別代入，發(fā)現(xiàn)當(dāng)或5時(shí)，，其余情形均無整數(shù)解． 于是或． 18.1.5★★一點(diǎn)與半徑為15的圓的圓心距離是9，求經(jīng)過且長為整數(shù)的弦的條數(shù)． 解析 如圖，半徑為，，過的弦長為整數(shù)，為直徑，，，則，因此 ． 又，故這樣的弦共有條，其中與垂直的弦及各一條，其余的弦每種長度有兩條（關(guān)于對(duì)稱）． 18.1.6★★在直角三角形中，各邊長都是整數(shù)，，為邊上的高，為垂足，且（奇素?cái)?shù)），求的值（用表示）． 解析 由知，故設(shè)（為正整數(shù)），則，又由勾股定理，知，故． 設(shè)，代入得，易知只能有，，解得，，于是． 18.1.7★★設(shè)正三角形，、分別在、上，，兩端延長，交外接圓于、，若、、長均為正整數(shù)，求的最小值． 解析 如圖， 易知也是整數(shù)．設(shè)，，，則，于是由相交弦定理，得，． 設(shè)，，，，，則，由于，故，要使達(dá)到最小，得取，于是．由于，，，知．當(dāng)，時(shí)取到最小值3，此時(shí)． 18.1.8★★已知凸四邊形的四邊長是兩兩不相等的整數(shù)，對(duì)邊乘積之和等于四邊形面積的兩倍，且，求該四邊形面積、對(duì)角線長度． 解析 不妨設(shè)，，，，與交于，則 ，于是由托勒密定理，知、、、必共圓，且滿足．又由已知條件，，．經(jīng)搜索知250表為平方和只有兩組：和．由對(duì)稱性，不妨設(shè)，，，，則． 由余弦定理，因，得，得，于是． 18.1.9★★是否存在一個(gè)三邊長恰是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角2倍的？證明你的結(jié)論． 解析 存在滿足條件的三角形． 當(dāng)?shù)娜呴L分別為，，時(shí)，． 如圖，當(dāng)時(shí)，延長至點(diǎn)，使．連結(jié)，為等腰三角形． 因?yàn)闉榈囊粋€(gè)外角，所以．由已知，，所以．所以為等腰三角形． 又為與的一個(gè)公共角，有，于是，即，所以． 而，所以此三角形滿足題設(shè)條件，故存在滿足條件的三角形． 評(píng)注 滿足條件的三角形是唯一的． 若，可得．有如下三種情形： （?。┊?dāng)時(shí)，設(shè)，，（為大于1的正整數(shù)），代入，得，解得，有，，； （ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，（為大于1的正整數(shù)），代入，得．解得，有，，，此時(shí)不能構(gòu)成三角形； （ⅲ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，（為大于1的正整數(shù)），代入，得，即，此方程無整數(shù)解． 所以，三邊長恰為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍的三角形存在，而且只有三邊長分別為4、5、6構(gòu)成的三角形滿足條件． 18.1.10★★三邊長為連續(xù)整數(shù)、周長不大于100、且面積是有理數(shù)的三角形共有多少個(gè)？ 解析 設(shè)三角形三邊依次為、、，則， ， ． 于是是平方數(shù)，令，得，則，，． 又不可能是奇數(shù)，否則，得，則，，． 又不可能是奇數(shù)，否則，將，4，6，8，10，12，14，16，18代入，發(fā)現(xiàn)僅當(dāng)，8時(shí)滿足要求．因此這樣的三角形共有兩個(gè)，三邊長依次為3、4、5與13、14、15． 18.1.11★★某直角三角形邊長均為整數(shù)，一直角邊比斜邊小1575，求其周長的最小值． 解析 設(shè)直角三角形直角邊長、，斜邊為，則 ， ． 由于，設(shè)，則，設(shè)，則，于是的最小值為17，此時(shí)，，，．此時(shí)的最小周長為3808． 18.1.12★★已知，是角平分線，，，也是整數(shù)，求所有可取的值． 解析 如圖，作，在上，則易知． 又，故 …， 故． 又當(dāng)時(shí)，不難通過構(gòu)造出，故所有可取的值為1，2，…，17． 18.1.13★面積為的正方形內(nèi)接于面積為1的正三角形，其中、、是整數(shù)，且不能被任何質(zhì)婁的平方整除，求的值． 解析 設(shè)正方形的邊長為，正三角形的邊長為，則，由，可得 ． 解得．于是 ． 由題意得，，，所以 ． 17.1.14★★如圖，是的高，四邊形是的內(nèi)接正方形，若（即兩位數(shù)），，，且、、、恰為從小到大的4個(gè)連續(xù)正整數(shù)，求的所有可能值． 解析 易知，于是有，或，移項(xiàng)，得，或，解得或5．于是有兩解： 易知這兩組數(shù)據(jù)都符合要求，故或． 18.1.15★★已知中，是銳角．從頂點(diǎn)向邊或其延長線作垂線，垂足為；從頂點(diǎn)向邊或其延長線作垂線，垂足為．當(dāng)和均為正整數(shù)時(shí)，是什么三角形？并證明你的結(jié)論． 解析 設(shè)，，、均為正整數(shù)，則 ， 所以，，2，3． （1）當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)．所以垂直平分，垂直平分，于是是等邊三角形． （2）當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，或，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，或點(diǎn)與點(diǎn)重合．故，或，于是是等腰直角三角形． （3）時(shí)，，，此時(shí)，，或，．于是垂直平分，或垂直平分．故，或，于是是頂角為的等腰三角形． 18.1.6★★某直角三角形兩直角邊長均為整數(shù)，周長是面積的整數(shù)倍（就數(shù)字上講），問問這樣的直角三角形有多少個(gè)？ 解析 設(shè)直角邊分別為、，則斜邊，由條件知它是有理數(shù)，故必定是整數(shù)． 設(shè)，為正整數(shù)，于是 ． 由于也是正整數(shù)，故它只能為1、2或4，記作． 由，得，，時(shí)無解；時(shí)，有，{，}={3，4}；時(shí)，，{，}={5，12}或{6，8}，所以這樣的直角三角形共有3個(gè)． 18.1.17★★在等腰中，已知，這里為大于1的自然數(shù)，點(diǎn)、依次在、上，且，與相交于，求使為有理數(shù)的最小自然數(shù)． 解析 如圖，連結(jié)，則，，． 由于四邊形為等腰梯形，則由托勒密定理（或過、作垂線亦可），，又，于是，由于與互質(zhì)，由題設(shè)知其必須均為平方數(shù)，，適合，這是滿足要求的最小自然數(shù)． 18.1.18★★★對(duì)于某些正整數(shù)來說，只有一組解（不計(jì)順序），這里，、、是正整數(shù)且可構(gòu)成三角形的三邊長，這樣的共有多少個(gè)？ 解析 顯然，當(dāng)（素?cái)?shù)）時(shí)無解；當(dāng)或時(shí)只有一組解（1，，）或（1，1，1）；當(dāng)（、為不同素?cái)?shù)）時(shí)無解；當(dāng)（為大于3的素?cái)?shù)）時(shí)也無解．剩下的數(shù)為8，12，16，18，24，27，30，32，36，40，42，45，48，50，54，56，60，63，64，66，70，72，75，78，80，81，84，88，90，96，98，99，100． 易驗(yàn)證，無解的有：30，42，54，56，63，66，70，78，88，99； 唯一解的有：8，12，16，18，24，27，32，40，45，48，50，75，80，81，84，90，96，98； 不止一組解的有：36，60，64，72，100． 注意：判定無解的主要依據(jù)是，，時(shí)無解，困為． 因此，有解的共有23個(gè)． 18.1.19★★面積為整數(shù)的直角三角形周長為正整數(shù)，求的最小值，并求此時(shí)這個(gè)直角三角形的兩條直角邊的可取值（如不止一組解，只需舉了一組即可）． 解析 設(shè)該直角三角形的直角三角形周長分別為、，則，，，，故． 下令，，如有解，則可． ， 平方得 ． 取，得 因此、為方程的根，解得、為與，故的最小值是5． 18.1.20★★若的三邊長、、均為整數(shù)，且，求內(nèi)切圓半徑． 解析 不妨設(shè)，于是． 又，故，得． 于是只可能為7或10． 時(shí)，，只可能，，，內(nèi)切圓半徑 ． 時(shí)，，沒有滿足要求的解． 18.1.21★★證明：若、、是一組勾股數(shù)，則存在正整數(shù)、、、，使得，而，；或，． 解析 ，設(shè)（，，），則，，，．易知、、兩兩互質(zhì)；與不可能同偶，否則，，；與也不會(huì)同奇，否則，矛盾．于是與必一奇一偶，不妨設(shè)奇而偶，于是為奇數(shù)． 從而，與必互質(zhì)，否則有一奇素?cái)?shù)，，得，，故（，），與（，）=1矛盾． 于是可設(shè)，，（，）=1，且、均為奇數(shù)，解得，，，令，，即得結(jié)論． 18.1.22★★★如圖，、在的邊、上，的延長線與的延長線交于，求證：、、、、、、、的長度不可能是1～8的排列． 解析 如果，則，得，矛盾，故，同理、、、、都不等于1． 因此1只可能等于或之長，不失對(duì)稱性，設(shè)，則 ，，作，在上，四邊形乃一等腰梯 形，于是為正整數(shù)． 又，故，但為等腰三角形的底角，，，為的最大內(nèi)角，，矛盾，因此結(jié)論證畢． 18.1.23★★★已知梯形中，，、分別在、上，，，如果、、均為正整數(shù)，稱該梯形為“整數(shù)梯形”．現(xiàn)對(duì)于正整數(shù)，有正整數(shù)′<′<，′+′=，且、為一“整數(shù)梯形”的上、下底， ′、′為另一“整數(shù)梯形”的上、下底，求的最小值． 解析 如圖，由,,得，得，于是問題變?yōu)榍笞钚〉?，使與′′均為平方數(shù)． 、′′不可能都為4，故至少有一組≥9，顯然另一組也不可能為4，于是，′′≥9．如果或′′，則．若或′′=9或16，則或．于是的最小值為10，，′=2，′=8，=9． 18.1.24★★★求證：存在無窮多個(gè)每邊及對(duì)角線長均為不同整數(shù)的、兩兩不相似的凸四 邊形． 解析 如圖，作圓內(nèi)接四邊形，與垂直于，設(shè)為一整數(shù)，，，，，則，，，由此知，而由，知，，． 同時(shí)乘以系數(shù)，得，，，，，． 易知上述6個(gè)多項(xiàng)式無二者恒等，于是任兩者相等只能得有限個(gè)，但正整數(shù)有無限個(gè)，因此有無限個(gè)，使6個(gè)多項(xiàng)式兩兩不等， 又當(dāng)時(shí)，，因此有無限個(gè)這樣的凸四邊形兩兩不相似． 18.1.25★★★已知、為圓的切線，割線過，與圓交于、，與交于，若、、、均為正整數(shù)，求的最小值． 解析 如圖，易知有(調(diào)和點(diǎn)列)． 設(shè)，，，則，，從而． 設(shè)，，（，），則（，）=1，，，． 易見（，）=1，則、一奇一偶．于是由（，）=1，得，且由為整數(shù)知，，、為奇數(shù)．因?yàn)?，于是的最小值為，，，?dāng)1，2，3，4時(shí)，無解(即不是整數(shù))，故，又，，于是≥15，當(dāng)5，4，36時(shí)取到． 若（，）=2，此時(shí)、同奇，的最小值為，此時(shí)，，，，當(dāng)，3時(shí)，無使為整數(shù)，于是，又，所以，，．當(dāng)，，時(shí)取到10． 綜上，的最小值是10． 18.1.26★★★一圓內(nèi)接四邊形的四邊長及對(duì)角線長都是整數(shù)，求這類四邊形中周長最小者． 解析 顯然長與寬為4、3的矩形滿足要求，其周長=14．若等腰梯形上、下底分別為3、4，腰為2，則由托勒密定理，對(duì)角線長為4，滿足要求，此時(shí)周長為11．故最小周長≤11． 顯然對(duì)圓內(nèi)接凸四邊形，無邊長為1．否則若設(shè)，，得，同理，于是、均在中垂線上，構(gòu)不成凸四邊形．因此最小周長≥24=8． 四邊均為2，得正方形，對(duì)角線為，不合要求；三邊為2，另一邊為3，得等腰梯形，對(duì)角線長為，亦不合要求．故最小周長≥10． 當(dāng)周長為10時(shí)，顯然至少有兩邊為2．若是2、2、2、4，則對(duì)角線為，不合；于是只能為2、2、3、3，四邊形為矩形或箏形，總有對(duì)角線長為，亦不合． 故最小周長為11． 18.1.27★★★在中，，是高，已知的三邊長都是整數(shù)，且，求與的周長之比． 解析 設(shè)的三邊長分別為、、．由題設(shè)知 ，故． 于是設(shè)，得由勾股定理得是整數(shù)，所以是 完全平方數(shù)，設(shè)為，則，． 由于，所以解得于是，． 因?yàn)椋运鼈兊闹荛L比等于它們的相似比，即． 18.1.28★★★已知銳角三角形中，是高，矩形的面積是的1／3，其頂點(diǎn)、在上，、分別在、上，且、及矩形的周長均為有理數(shù)，求的最小值． 解析 如圖，設(shè)的三邊長依次為、、，，，，則，及．由條件，知、、均為有理數(shù)． 由，得，，，因此只能有． 若過作的平行線，再作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則′′=，于是的最小值為，僅當(dāng)時(shí)取到． 18.1.29★★★★整數(shù)邊三角形中，，是斜邊上的高，也是整數(shù)．若對(duì)同一個(gè)能長度，有兩個(gè)不全等的直角整數(shù)邊三角形滿足要求，求的最小值． 解析 不妨設(shè)的三邊長為、、，，，首先為有理數(shù)，又為整數(shù)，因此也是整數(shù)．又為整數(shù)，故也是整數(shù)．又,故． 因此，只需正整數(shù)、、滿足及，這樣的整數(shù)邊三角形就存在．因?yàn)榇藭r(shí)是有理數(shù)，而為整數(shù)，從而為整數(shù)．易知由可得． 設(shè)，、為正整數(shù)，且無平方因子，于是由及知，．設(shè)，，代入得，又由，得，，今對(duì)的任一素因子，其在的指數(shù)不會(huì)比的指數(shù)高，否則，，而最多為1，于是，這是不可能的．于是，同理． 又令，，代入得． 于是對(duì)有兩組不同的、滿足．經(jīng)計(jì)算，故．當(dāng)時(shí)，確實(shí)有滿足要求的兩組解：，，，和，，．故的最小值是64． 18.1.30★★★★試找一不等邊三角形，使及邊上的中線、角平分線、高的長度都是整數(shù)，可以是多少(此時(shí)的中線、角平分線、高的長度分別為多少)?若要求不是整數(shù)，但是整數(shù)，則可為多少(此時(shí)中線、角平分線、高的長度分別為多少)? 解析 首先處理為整數(shù)的問題，我們選擇的是直角三角形，對(duì)應(yīng)邊為、、，中線，角平分線，高，，，又，得，故，于是為偶數(shù)，，，而，，這個(gè)方程有解，，，得，，．乘以一個(gè)系數(shù)20，即得直角三角形，它的斜邊為200，斜邊上的中線為100，角平分線為35，高為28． 下面處理為無理數(shù)、為整數(shù)的情形，如圖，延長，與交于，此處．易知、、、共圓(是外接圓弧之中點(diǎn))． 今從基本勾股數(shù)出發(fā)構(gòu)造． 取，，，則，，，，． 易知，于是 ，． 再乘以系數(shù)5，得所求三角形的高，角平分線，中線，邊是無理數(shù)，但． 18.1.31★★作圓外切凸五邊形，現(xiàn)知該五邊形每邊長均為整數(shù)，，又圓與切于，求． 解析 如圖，設(shè)、、、分別與圓切于、、、．則為整數(shù)，于是由題設(shè)，亦為整數(shù)，而．于是為整數(shù)，由于，故，，．