2019版中考數(shù)學復習 第十一講 直線與圓的位置關系學案 新人教版.doc
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2019版中考數(shù)學復習 第十一講 直線與圓的位置關系學案 新人教版 【學習目標】 1、理解直線和圓的相交、相切、相離的概念。 2、掌握切線的判定定理,性質定理和切線長定理,并會利用它們解決有關問題。 3、會畫圓的切線和三角形的內切圓,掌握三角形內心的概念。 4、掌握弦切角的概念和弦切角定理。 5、掌握相交弦定理、切割線定理及推論,并會利用它們解決有關問題。 【知識框圖】 相離 d>r 相交弦定理 直線與圓的 相交 d<r 切割線定理的推論 位置關系 弦切角定理 相切 d=r 切線長定理 切割線定理 【典型例題】 例1:如圖,已知AB是⊙O的直徑,延長AB到D,使BD=OB,DC切⊙O于C,求∠A的度數(shù)。 分析:本題條件中,沒有給出角的度數(shù)條件,因此需要挖掘隱含度數(shù)的條件,由AB是⊙O的直徑可想到連接BC,則∠ACB=900給解本題創(chuàng)造了條件,又注意到DC是⊙O的切線,于是得解。 解:連接OC、BC則OC⊥CD C 在RtΔOCD中,∵OC=OB=BD A O B D ∴OD=2OC ∴SinD= = ∴∠D=300 又∵BO=BD ∴CB=BD ∴∠BCD=∠D=300 ∵DC是⊙O的切線 ∴∠A=∠BCD=300 或者,在求得∠D=30后,可得∠COB=60,由三角形外角的性質可知∠A= ∠COB=300 例2:如圖,若過⊙O上一點A作⊙A交⊙O于B、C,過點A的直線交⊙O于E,A交⊙A于D、G,交BC于F, 求證:EFAF=AD2-AF2 分析:顯然本題兩圓中都含有相交弦,可從相交弦入手。在⊙O中有EFFA=BFFC,在⊙A中有 DFFG=BFFC,則EFFA=DFFG。我們可把DF=AD-AF,F(xiàn)G=AG+AF代入,又有AD=AG,就易得EFAF=AD2-AF2。 ?。? 證明:∵EFFA=BFCF BFCF=DFFG EDF?。痢? ∴EFFA=DFFG ?。? C ∵DF=AD-AF, FG=AF+FG 又∵AD=AG ∴EFFA=(AD-AF)(AF+FG)=AD2-AF2 評注:有的等積式很復雜,就出現(xiàn)了差(和)問題,對于這一類問題最終是要化成四條線段組成的等式,這主要是通過等量代換來證明,但注意不要生般硬套,要分情況,有時可用線段的拆拼,有時可考慮到提公因式,都能把和(差)變成積。 例3:如圖,在ΔABC中,∠B=900,D是BC上一點,BD=BA=a,以O為圓心BD為直徑的半圓與AC相切于點M。(1)求證:MC=2 CD(2)求AC的長 分析:本題的條件中隱含著多對三角形相似,并且DO=OB=OM=a= AB,由此聯(lián)想到MC=2CD,可轉化為線段相似比來證?! 。? ?。? 解:(1)連OM、DM、BM ∵AC切⊙O于M ∴∠CMD=∠CBM ∠CMO=Rt∠ ?。谩 。摹 。稀 。? ∴ΔCMD∽ΔCMB ΔCMO∽ΔCAB ∴ = = = =2 ∴ = =2 即MC=2CD (2)設MC=x則BC=2x ∵∠B=900 ∴AC2=AB2+BC2 ∴(a+x) 2=a2+(2x) 2 解得x= a ∴AC= a 評注:在幾何證明或計計算中,如果能利用一些基本圖形和基本結論,往往能使思路簡化,并且繁雜圖形又往往是幾個基本結論的組合,所以掌握這些基本圖形和基本結論很必要。 【選講例題】 例4:如圖,⊙O內接ΔABC,AQ⊥BC于D,交⊙O于Q,AD 是⊙O1的直徑,⊙O1交AB于M,交AC于N,AQ交MN于P,求證:(1)OA⊥MN(2)AD2=APAQ 分析:(1)要證OA⊥MN,須證∠CMA+∠MAO=90,延長AO為直徑AE,連結BE,則 ∠ABE=900,要證明人∠CMA+∠MAO=900,只須證∠CMA=∠E即可,而∠E=∠ACB,AD是⊙O的直徑,連接DN,∠AND=900,∠ADN=∠CMA,若∠ACB=∠ADN即可,由AD⊥BC可得∠ADN=∠ACB (2)要證AD2=APAQ,而AP、AD共線,不便于用相似三角形證,由圖形特點我們聯(lián)想,得到AD2=ANAC,則只須證ANAC=APAQ,可那么須證ΔAPN∽ΔACQ,連接CQ,只須證 ∠ANM=∠Q,而∠Q=∠ABC,若∠ANM=∠ABC則可得。由于上題得到∠CMA=∠ACB,能得到ΔAMN∽ΔACB,顯然∠ACM=∠ABC,于是思路疏通。 證明:(1)延長AO交⊙O于E,連接BE,ND ∵AE、AD分別為⊙O、⊙O1的直徑 ∴∠ABE=∠ADN=900,∠BAO+∠E=900 ∵AD⊥BC ∴∠ACB=∠ADN=∠CMA, ∠CMA=∠E=∠ACB ∴∠BAO+∠CMA=900 即OA⊥MN A (2)連接QC, 則∠Q=∠ABC M ?。? ∵∠CMA=∠ACB ∠MAN=∠CAB ∴ΔMAN∽ΔACB ?。谩。? B Q ∴∠ANM=∠ABC ∴∠ANM=∠Q E 又∵∠PAN=∠CAQ ∴ΔAPN∽ΔACQ ∴APAQ=ANAC ∵∠ADC=900 DN⊥AC ∴ΔDAN∽ΔCAD ∴AD2=ANAC ∴AD2=APAQ 【課堂小結】 圓是平面幾何的核心內容,是初中幾何的最后一章,要整個初中幾何中屬于綜合,提高階段。在直線與圓的位置關系這一章節(jié)中,可與三角函數(shù)和代數(shù)知識緊密聯(lián)系,了解一些基本圖形和基本結論培養(yǎng)學生數(shù)形結合、分類討論、合理運算及綜合運用知識的能力。 【基礎練習】 1、已知圓內接四邊形ABCD中,AB與DC的反向延長線相交于N,BC與AD的延長線相交于M,若∠M=400,∠N=200,則∠A=__________. 2、如圖,在⊙O內接四邊形ABDC中,BD⊥AC,OM⊥AB,M為垂足,求證:OM= CD。 3、如圖,已知⊙O的弦CD與AB相交于P點,PE∥DA,且交BC的延長線于點E,又EF切⊙O于F,求證:∠EPF=∠EFP。 4、如圖,已知⊙O1與⊙O2外切于P,AB為兩圓的外公切線,AB為切點,AP交⊙O2于C,BP交⊙O1于D,求證AB2=APPC+BPPD D C D A B A P O P A M B B C E C F D (2) (3) (4) 【鞏固練習】 1、AB是⊙O 的弦,CD是經過⊙O上一點M的切線,AB∥CD,求證:AM=MB 2、如圖,AB切⊙O于點B ,BC⊥AO于C,求證:∠1=∠2 3、已知,正方形的對角線AC和BE相交于點M,求證:ME=AB且M是EB的黃金分割點。 C M D D O C D A E C A B B M (1) (2) (3) A B 4、如圖,三角形ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別與BC,AC相交于D,G兩點,作DE⊥AC于E,連結BE交⊙O于F。 求證:(1)DE是⊙O 的切線(2)DG=DC(3)AEEC=BEEF 5、如圖,在RtΔABC中,∠B=900,D為AB上的一點,以BD為直徑的半圓O與AC相切于E,若BD=BD=6,求AC 6、如圖,已知AB是⊙O的直徑,PB是⊙O的切線,B為切點,且PB=AB,過B作PO的垂線分別交PO、PA于C、D。(1)求證: = (2)若AD=a,求PD的長。 P A C D C G E A O B F E A D O B B D C (4) (5) (6) 【課后反思】- 配套講稿:
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