2019-2020年初中數(shù)學競賽專題復習 第二篇 平面幾何 第17章 幾何不等式與極值問題試題 新人教版.doc

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2019-2020年初中數(shù)學競賽專題復習 第二篇 平面幾何 第17章 幾何不等式與極值問題試題 新人教版 17.1.1★ 一個凸行邊形的內(nèi)角中，恰好有4個鈍角，求的最大值． 解析 考慮這個凸行邊形的個外角，有個角，故有（嚴格小于是由于4個鈍角的外角和大于），因此，的最大值是7．易構(gòu)造這樣的例子。 如果恰好有個鈍角，則的最大值是. 17.1.2★ 在中，，為邊的高上的一點，求證：. 解析 易知， 又 ， 故有． 評注 讀者不妨考慮是角平分線與中線的情況． 17.1.3 已知四邊形，、交于，和的面積分別為3、12，求四邊形面積的最小值． 解析 易知，故. 從而， 且當（此時四邊形為一梯形）時等號成立，所以此時四邊形面積達到最小值27. 17.1.4★ 已知：直角三角形中，斜邊上的高． （1）求證：； （2）求. 解析 ， 由條件，知，且， 于是. 注意：這同時解決了（1）和（2）. 17.1.5★ 設(shè)矩形，，，動點、分別在、上，且，求面積的最小值． 解析設(shè) ，，則。 由。故 . 當時達到最小值． 17.1.6★ 設(shè)是定角內(nèi)一定點，過作動直線交兩邊于、，求證：面積最小時，為的中點． 解析 如圖，連結(jié)，設(shè)，，，由 ，得 。 又 左式， 故 。 達到最小值時，須，故為之中點. 17.1.7★ 正三角形的邊長為1，、、分別在、、上，，求的最大面積。 解析 如圖，設(shè)，，，則，，，。 ， 于是問題變?yōu)榍蟮? 最小值，展開后約去，即求的最大值． 由不等式知，當時，，此時的面積達到最大值。 . 17.1.8★ 設(shè)是邊長為l的正三角形，過頂點引直線，頂點、到的距離記為、，求的最大值． 解析 如圖，若穿過，則由“直角邊小于斜邊”知，取到等號時僅當. 若不經(jīng)過，取中點，作，在上，則，取到等號僅當. 綜上所述，的最大值為。 17.1.9 在數(shù)1、、、、、、、、、中，若任找三個數(shù)能組成三角形的三邊，則稱這三個數(shù)是“好搭檔”，則總共有多少組“好搭檔”？ 解析 此題可分類討論。 顯然1不可能為邊． 由于，故，，，，，中任三數(shù)可構(gòu)成三角形的三邊，一共有組。 當最大邊為時，次大邊只能為，最小邊為或，有2組。 當最大邊為時，次大邊為或．次大邊為時，最小邊，故可??；次大邊為時，最小邊，可取與共有8組． 當最大邊為時，次大邊為、、．次大邊 為時，最小邊，可?。淮? 大邊為時，最小邊，可??； 次大邊為時，最小邊，可取 和。共有11組。 綜上所述，總共有41組． 17.1.10★ 設(shè)，、是上的兩個定點，是上的一個動點，問當在什么位置時，最?。? 解析 如圖，設(shè)，，，不妨設(shè)。則 ， ， 故 。 顯然當時，最小。 評注 容易驗證，此時為的中點在上的射影。 17.1.11★ 設(shè)直角中，，求證： . 解析 如圖，作關(guān)于的對稱點，連結(jié)、，則 . 取等號僅當為等腰直角三角形。 17.1.12★ 是的邊上一點，為的內(nèi)心，是的內(nèi)心，是的中點，求證：. 解析 如圖，連結(jié)、、、，則，，又，故，于是結(jié)論成立。 評注 三角形某邊上的中線分別大于、等于、小于該邊的充要條件是該邊所對內(nèi)角為銳角、直角或鈍角，這是一個常見的結(jié)論． 17.1.13★★ 已知凸六邊形中，，，， 求證：. 解析 如圖，作、、，于是出現(xiàn)三組全等三角形。這樣便有 ， 即 . 同理有 . 評注 不破除對稱性，此題就比較復雜（當然不是所有的題目都能帶給你好運）．另外，用這種方法還能證明. 17.1.14★★ 已知矩形，，，是上一點，、延長后交于，直線垂直于，交于，若為中點，求.又條件同上，若的長度不固定，求的最小值． 解析 如圖，設(shè)，由∽，得，代入得。 又∽，得，。 由，得，或， 解得。 若長度不固定，設(shè)其為，，，故由得，或，由得?？扇〉淖钚≈凳牵藭r為中點。 17.1.15★★ 設(shè)為的內(nèi)心，是內(nèi)部的一點，滿足. 求證：，并說明等號成立的充分必要條件是. 解析 易知 ， 因此 . 故、、、四點共圓，即點在的外接圓上。 記的外接圓為，則的中心為的的中點，即為的平分線與的交點。 在中，有 ， 故 . 等號成立的充分必要條件是點位于線段上，即. 17.1.16★★ 延長一凸四邊形形的四邊和對角線，得六條直線，任兩條直線有一個不大于的夾角（這些線無兩條平行），求這些夾角中最小的一個的最大值． 解析 如圖，標好各角，則，故總有一角，當為正三角形，、時最小角達到最大值 17.1.17★★ 凸四邊形中，點、分別是、的中點，若，求證： 。 解析 如圖，連結(jié)、，易知 ． 又 ， ， 因此 ， 即 ． 17.1.18★★★ 在三角形中，，，．是平面上任意一點，求的最小值． 解析 因為 ． 下面來求． 延長至，使得，連結(jié)，則 ， 所以∽，故，所以，即，故． 所以，所求的最小值為． 17.1.19★★ 在銳角三角形中，求證： ． 解析 當時，顯然有．下面不妨設(shè)． 在上取點，使．作角平分線、高，則垂直平分．又作于，與交于，則． 17.1.20★★ 中，點為之中點，點、分別在、上，求證： ． 解析 如圖，連結(jié)、，則由，得 ． 而，故．于是結(jié)論成立． 17.1.21★★ 設(shè)、、為三角形三邊長，則對任意實數(shù)、、，有 ． 解析 設(shè)，，則， 原式 ． 它的判別式 ． 于是 ． 17.1.22★ 已知圖中窗框總材料一定，問何時窗的面積最大？（圖中6個矩形全等） 解析 設(shè)，，則總材料為（為常數(shù)），面積為．于是 ，代入，得． 這個二次函數(shù)在時取到極大值，此時、均有實際意義．取得窗的最大面積為． 17.1.23★★ 和都是邊長為1的正方形，且．兩個正方形重疊部分的面積為，求兩個正方形中心距離的最小值． 解析 如圖，設(shè)的中心為，的中心為，過、分別作，，、交于．又設(shè)兩正方形重疊部分為矩形，，，則，，同理， 所以 ． 所以， ． 當，時等號成立．故所求的最小值為． 17.1.24★★ 在銳角的邊、、上各有一動點、、，求證：的周長達到最小當且僅當、、為的三條高． 解析 如圖，設(shè)關(guān)于、的對稱點分別為、，與交于，與交于，則的周長 ． 這里為的高，為的外接圓半徑．又由對稱性，除了外，、也分別必須垂直于、時方能達到． 17.1.25★★ 直角三角形內(nèi)切圓半徑為1，求其面積的最小值． 解析 設(shè)該直角三角形直角邊長為、，則易知其內(nèi)切圓半徑為，整理，得，或，此即． 由于每條直角邊均大于內(nèi)切圓直徑2，故，于是，直角三角形最小面積為，此時該三角形為等腰直角三角形． 17.1.26★★ 梯形高為，上底，對角線交于，求用、表示與面積之和的最小值． 解析 如圖，作與、垂直，垂足分別是、．設(shè)，則，，解得，，于是． 設(shè)，則有解，故，即，即，的最小值為，故最小面積為．此時． 17.1.27★★ 設(shè)是的邊的中點，、分別在邊、上，，試比較與的大小關(guān)系． 解析 如圖，延長至使，由，知≌，故． 又垂直平分，故，易見，所以． 17.1.28★★ 一凸六邊形每條邊長均為1，求證：、、中至少有一個． 解析 如圖，由于，不妨設(shè)，作菱形，則，，則是最小邊，，又，故． 17.1.29★★ 在正內(nèi)，是一動點，求以在三邊上的射影為頂點的三角形面積的最大值． 解析 如圖，內(nèi)一點在、、的射影分別為、、，則 ． 由熟知的不等式，及為常數(shù)（的高），得 ． 等式成立，僅當，此時為的中心． 17.1.30★★ 證明：四邊形四邊的平方和不小于對角線的平方和，等號成立僅當該四邊形為平行四邊形時． 解析 如圖，設(shè)中點為，由中線長公式知 ， ． 又由基本不等式，有 ， 故用中線長公式代入，即得四邊形四邊平方和的不等式． 等號成立時、、共線，且為中點，即、互相平分，于是四邊形為一平行四邊形． 評注 又由托勒密不等式，知有，等號成立僅當四邊形為矩形． 17.1.31★★ 設(shè)面積為1的銳角三條邊分別是、、，動點在上，在上的射影是，求面積的最大值（用、、表示）． 解析 如圖，作于．因為（常數(shù)），于是 ． 當，即或時，可為中點，此時，從而可得最大值為 ． 當，即時，．當落在上，達到最小，達到最大．此時的最大值為． 17.1.32★★ 設(shè)為定線段上一定點，為動點，的長度固定，求之最大值． 解析 由斯圖沃特定理，注意等式右端為定值． 又由柯西不等式（或展開后移項配方）有 ， 故 ， 于是的最大值是，此時，為的平分線． 17.1.33★★ 直角三角形的直角頂點在直角三角形的斜邊上，而在的斜邊上，如、、、分別等于10、15、12、12，求凸四邊形之面積的最大值． 解析 如圖，由四邊形面積公式，知． 取等號須，．此時若將點位于中點，則由、的值易知在平分線上，垂直平分，垂直平分，進而由、之值可知在上，滿足要求．所以的最大值為． 17.1.34★★ 凸四邊形一內(nèi)點到四個頂點的距離分別是1、2、3、4，求這樣的四邊形的最大面積． 解析 設(shè)凸四邊形內(nèi)有一點， ，，，，2，3，4}， 則 ． 等號成立，必須，比如，，，，且、、共線，、、共線，，此時，，取最大值． 17.1.35★★ 面積為1的三角形中，三條邊長、、滿足，求的最小值． 解析 如圖，過作直線，又作于，延長一倍至，連結(jié)．則．這里． 顯然有，于是． 僅當、、共線，即，且時取等號，此時為等腰直角三角形． 17.1.36★★ 三角形兩邊長分別等于10和15，證明：這兩個邊的夾角的角平分線小于12． 解析 如圖，不妨設(shè)，，為角平分線．今在上取一點，使，則易知， 故，又由知，于是． 顯然12是最佳上界． 17.1.37★★ 正三角形邊長為1，、、分別在、、上（含頂點），，求的最大周長和最小周長． 解析 如圖，易知． 由等知的周長，達到最大值時、、分別落在的三個頂點上． 又作的平分線，、分別與垂直于、，由于，，故，取等號時，且、是、的中點，同理有，，故的周長，取等號僅當、、為各邊之中點時． 17.1.38★★ 已知面積為的梯形滿足，為邊上一點，且滿足，直線、、交出的三角形面積為．當最大時，求． 解析 如圖，設(shè)與交于，與交于，則． 設(shè)，，，即，，又設(shè)，，則，解出，即．于是要達到最大，即達最大，其中．令，則，僅當時達到最大，此時． 17.1.39★★ 已知的邊、上分別有點、，在上，求證： ， 并求等號成立的條件． 解析 如圖，連結(jié)、．設(shè)，，，則 ． 同理 ． 于是 ． 開方即得結(jié)論．取等號時，即是中位線，為中點． 17.1.40★★ 已知中，，于，的平分線交于，交于，是的中點，連結(jié)，設(shè)、、的周長分別為、、．求的最大值． 解析 易知，可得，則平分，而，所以，可推得∽∽．因此，． 設(shè)，因為，，所以 ． 因此，，所以，當，即時，有最大值． 17.1.41★★ 、是的中線，且，設(shè)，． （1）求之長（用、表示）； （2）若存在，求的范圍． 解析 （1）設(shè)交于，則為的重心，故，，設(shè)，，因、、為直角三角形，于是有： 由①+②得， 由③得 ， 即 ． （2）如果存在，則 ， 于是有： 從而 不等式④恒成立；由不等式⑤得： ， 解之得： ． 由于，結(jié)合不等式⑤的解，得： ． 所以，當時，存在． 17.1.42★★ 中，點、、分別在、、上，求證： ， 并求等號成立的條件． 解析 如圖，． 易知，僅當為中點時取等號，同理，，于是記，則． 所以，取等號時僅當、、為各邊中點． 17.1.43★★★ 已知：銳角中，角平分線、中線、高交于一點，證明：． 解析 如圖，若，則由于，得，故，． 作邊上的中線，交于，易知在內(nèi)，于是，故在直角三角形中，，矛盾，于是． 17.1.44★★★ 證明托勒密定理和托勒密不等式：對于凸四邊形，，等號成立僅當、、、共圓． 解析 如圖，今在或延長線上取一點，在或延長線上取一點，使，連結(jié)、、． 易知∽，故，同理，，又∽，故 ． 由于，上幾式代入，得 ， 去分母，即得托勒密不等式．等式成立的條件是、、共線，此時 ， 即、、、共圓． 17.1.45★★★ 邊長為1的正方形內(nèi)部或邊界上有個點，則必有兩點距離，． 解析 如圖，先說明一個結(jié)果：中為角平分線，是的反向延長，則由，得，． 先考慮的情形，假定、、三點在正方形（邊長1）內(nèi)或邊上．若在內(nèi)，則可用角平分線反向延長，交到正方形某邊或頂點為，這樣的每邊都不小于的相應(yīng)邊．于是、、三點最終都被“調(diào)”到正方形的邊或頂點上．再通過平移，必能使某點落在正方形的頂點上，其余點若在正方形內(nèi)，再按上述辦法繼續(xù)調(diào)，最終三個頂點都落在正方形邊界上，且其中至少有一個點的正方形的頂點． 不妨設(shè)落在的位置，若在或上，則，于是由對稱性，可設(shè)在上，而在上．如圖．若，則 ， ， 同理，． 綜上所述結(jié)論成立． 以下討論的情形．由于正方形內(nèi)或邊上最遠兩點距離是正方形對角線長度，故正方形（邊長1）中四點、、、中任兩點距離． 如四點構(gòu)成凸四邊形，不妨設(shè)，則，所以、中有一個．如四點中位于內(nèi)或邊上，不妨設(shè)，同理得． 17.1.46★★★ 設(shè)三邊長分別為、、，、分別在、上，且平分的面積，求的最值（用、、表示）． 解析 如圖，設(shè)、為中線． 設(shè)，，則由，有． 又由余弦定理，． 因為常數(shù)，故的大小取決于．由于為常數(shù)，故是的增函數(shù)．當取最大值，需最大或最小，最大為（這時取最小值），最小為（這時取最大值）．因此的最大值是、中短邊上的中線．比如當時，的最大值為． 記，若，，則可取到，于是當時，的最小值為． 當或時，比如時，總不會小于，此時時，最小，就是，即為、中長邊上的中線，所以在的前提下，最小值是．時可以類推． 17.1.47★★ 在中，、、分別為、、的中點，為斜邊的高的垂足，是的中點．設(shè)為上的任一點，求證：取最大的角便是． 解析 連結(jié)，則為斜邊上的中線，故． 、分別為、中點，故，所以，，從而． 又，故≌． 于是有 ，． 延長至，使，連結(jié)，易知≌． 從而．結(jié)合知為線段的垂直平分線． 設(shè)為上任一異于的點，則，且易知（若在的左邊，，在的右邊，則）．從而 ， 在與中，與為對頂角，于是有： （等號當且僅當點與點重合時取到）． 這就證明了取最大角時便是． 17.1.48★★★ 設(shè)四邊形四邊依次為、、、，則其面積不大于，其中．取到最大值時，僅當四邊形內(nèi)接于圓． 解析 如圖，連結(jié)、，交于，，則由四邊形的余弦定理（見題13.1.7），得 ， 又 ， 兩式平方后相加，得 ， 即 ． 由托勒密不等式（參見題17．1．44），有，故 . 由托勒密定理知，僅當內(nèi)接于圓時，面積取最大值. 17.1.49★★★中，、分別是邊、上的點，且．如果、、 的周長依次為、、，求證： . 解析 因為，所以，∽，；又，所以∽，，設(shè)，，由∽得，，這樣，由，，可得.當，即時，等號成立． 17．1．50★★★為內(nèi)一點，過引三條邊的平行線，，．、、、、，為各邊上的點（如圖），記為六邊形的面積，為的面積．證明：. 解析 可以從、，的面積與的面積關(guān)系入手． 設(shè)，，，，，.易知 ∽∽∽， 所以，，， 由此可得. 由柯西不等式知： ， 從而. 而四邊形、、均為平行四邊形，所以 ，即. 17.1.51★★★直角三角形中，，，，、、分別在、、上，求的最小值． 解析 如圖，猜想最小值是當為正三角形時取到．為求此值，不妨設(shè)圖中的為正三角形．作，在上．當在上時，故、，至等距，在上亦然． 于是，，，而顯見，故. 當時，達最小值． 若能證明對一般的動點、、，有 ， 問題就解決了．用反證法，假定，，. 設(shè)的費馬點為（圖中未畫出），則，設(shè)，，，則由余弦定理，知 ①-②，得， ②-③，得， 故，，，代入②得 ， 于是，，，代入上式得 ，，，． 于是 ，矛盾！ 因此的最小值為. 評注 實為費馬點的等角共扼點的垂足三角形．其實也等于，為向外作的正三角形． 17.1.52★★★證明：若、、能構(gòu)成三角形的三邊長，則、、也能．又若、、構(gòu)成銳角三角形三邊長，則、、呢? 解析 不妨設(shè)≥≥>0，問題歸結(jié)為：若，則．證明如下： ． 當、、構(gòu)成銳角三角形時，、、也構(gòu)成銳角三角形，證明如下(仍設(shè)≥≥>0)： 由于，下證即可，此等價于，由于，又，兩式相加即得結(jié)論． 17.1.53★★★點、、分別在、、上，若分別記、、為、、，證明：，當且僅當、、共點時等號成立． 解析 設(shè)，，，則 ， ， ， 所以 ． 又有 ， 故 ， 于是命題得證．僅當時取等號，由塞瓦逆定理知，此時必有、、共點． 17.1.54★★★已知定角內(nèi)有一定點，動直線過，交兩邊于、，求之最小值(假定，，)． 解析 如圖，由面積得，即，此式可化為． 用柯西不等式(或展開后用平均不等式)，可得 ， 故的最小值為．等號成立，僅當．其與聯(lián)立，可解得，．又作，與交于，則，，這樣的、的確存在． 17.1.55★★★★已知銳角三角形，、、分別是、、上的動點，求證：達到最小時，滿足、、，及等價的，此處為重心，并用三邊及面積表示這個最小值． 解析 如圖，先設(shè)、固定，為中點，則．當達最小時，應(yīng)有，如對三邊作處理，便有、、，此時，，故，，同理此值為，此即． 下證此時的確實達到三邊之平方和最小．先求此值，設(shè)，，，則． 又 ， 同理有另兩式，加之，得 ． 下證對于一般的，有 ． 找到重心，由中線長，易知有 ． 評注 這里用到柯西不等式，不難得出等號成立之條件．此題還包含了另一個問題：三角形內(nèi)求一點至三邊距離平方和最?。? 17.1.56★★★已知，、分別在、上，、交于，記、、的面積分別是、、，求的最小值(假定、已知，用、表示之)． 解析 如圖，若設(shè)，′，則由簡單的比例知′，又 ， 故最小值為，達到此值時′，即． 17.1.57★★★已知三邊分別為、、，其中、確定，為中點，，求的最大值(不固定，用、表示)． 解析 易知，(延長一倍至并連即知)．于是 ， 下證此式．這等價于 ， 這可由及推出，故的最大值為，僅當或時成立． 17.1.58★★★★(費馬光行最速原理)光線由到，在介質(zhì)分界面上折射．設(shè)為上一點，直線、與所夾銳角分別為、，又設(shè)′是上另一點．求證：當、(光線在兩種不同介質(zhì)中的速度)滿足 時必有 ． 解析 作點關(guān)于直線的對稱點，則有 ，′′， ． 過作的垂線，過作的垂線，兩垂線交于點，且與分別交于、．在中， ′′ ． 由正弦定理，得 ， 故 ′′， 即 ， 得 ． 17.1.59★★★★內(nèi)(或邊界上)有一點，，，．<<，求的最大值(用、表示，需分情況討論)． 解析 易知．如圖，延長至，使，則，且、、、共圓，于是四邊形為等腰梯形，因此． 問題歸結(jié)為求的最大值．當然是希望，這樣．下面來研究的可取范圍，設(shè)． 由于，，因此． 在中，由等腰三角形知(見題9.2.3)，即． 因為<，故左式<1，總有解，下面討論之． (1)當時，可取，此時的最大面積正是； (2)當時，取，則，得最大值為． 17.1.60★★★★已知：定角，內(nèi)有一定點，平分，，過作一動直線交兩邊于、(、)，過、分別作、的垂線交于．求四邊形面積的最大值，并刻畫此時的位置． 解析 不妨設(shè)，，作于，則，，同理 ． 由正弦定理，，或，故，，又，故． 下面求出與之間的關(guān)系．由，得，不妨設(shè)，于是．由此得，． 又． 于是當時，達到最大值(一般情況下．當時達到最大值)，此時． 17.1.61★★★★的邊內(nèi)有一點，，又在上找一點，使(比靠近)，過任作一直線，交于，交的延長線于，求證：． 解析1 如圖()，連結(jié)、，顯然、均為銳角．由梅氏定理，有，于是欲證結(jié)論變成求證，或． 作于，連結(jié)、，注意左邊為． 于是結(jié)論成立． 解析2 如圖()，作、與垂直，垂足為、．由梅氏定理知 ， 用及代入，得 ，或， 如圖()所示，此即，于是． 17.1.62★★★★已知非鈍角三角形，上的一些點，以中(包括邊界和內(nèi)部)的為最遠，這些點構(gòu)成的線段長為，同理定義、，求證：，其中，，． 解析 不妨設(shè)≥≥．首先證明一個結(jié)果：設(shè)為內(nèi)部或邊界上任一點，則中離最遠的點是的頂點． 為證明這一點，只需連結(jié)、、，不妨設(shè)任一點在內(nèi)，如圖()，延長與交于，或，故，結(jié)論成立．于是對內(nèi)任一點，只要比較它與、、的距離即可． 如圖()，由≥≥，作、、的中垂線、、，其中、、分別是三邊中點，、在上，在上． 易知，，．于是 ． 由于邊上的高不在外，故，同理，于是有 考慮到，有 ， 于是結(jié)論成立．