中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 知識點(diǎn)25 圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與軸對稱.doc

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知識點(diǎn)25 圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與軸對稱 一、選擇題 1.（xx四川綿陽，7，3分） 在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為對稱中心，把點(diǎn)A（3，4）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 A.（4，-3） B.（-4，3） C.（-3，4） D.（-3，-4） 【答案】B. 【解析】解：如圖：∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，3）．故選B． 【知識點(diǎn)】圖形的旋轉(zhuǎn) 2. （xx四川綿陽，5，3分） 下列圖形是中心對稱圖形的是 A B C D 【答案】D. 【解析】解：A選項(xiàng)，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤； B選項(xiàng)，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤； C選項(xiàng)，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤； D選項(xiàng)，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)正確. 故選D． 【知識點(diǎn)】中心對稱圖形 3. （xx四川內(nèi)江，11，3）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F，已知∠BDC＝62，則∠DFE的度數(shù)為（ ） A．31 B．28 C．62 D．56 【答案】D 【思路分析】因?yàn)椤螪FE＝∠ADB＋∠EBD，要求∠DFE的值，則需分別求∠ADB、∠EBD，而由矩形對邊平行，及軸對稱的性質(zhì)可知∠EBD＝∠CBD＝∠ADB，利用∠ADB與∠BDC互余，即可出∠DFE的度數(shù)． 【解析】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ADC＝90，∵∠BDC＝62，∴∠ADB＝90－62＝28，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，根據(jù)題意可知∠EBD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠EBD＝28，∴∠DFE＝∠ADB＋∠EBD＝56．故選擇D． 【知識點(diǎn)】矩形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，平行線性質(zhì) 4. （xx山東濱州，11，3分）如圖，∠AOB＝60，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的定點(diǎn)且OP＝，若點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上異于點(diǎn)O的動點(diǎn)，則△PMN周長的最小值是（ ） A． B． C．6 D．3 第11題圖 【答案】D 【解析】分別以O(shè)A、OB為對稱軸作點(diǎn)P的對稱點(diǎn)P1，P2，連接點(diǎn)P1，P2，分別交射線OA、OB于點(diǎn)M、N則此時(shí)△PMN的周長有最小值，△PMN周長等于＝PM＋PN＋MN＝ P1N＋P2N＋MN，根據(jù)對稱的性質(zhì)可知，OP1＝OP2＝OP＝，∠P1OP2＝120，∠OP1M＝30，過點(diǎn)O作MN的垂線段，垂足為Q，在△OP1Q中，可知P1Q＝,所以P1P2＝2P1Q＝3,故△PMN的周長最小值為3． 第11題答圖 【知識點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、直角三角形（有一個角為30）的性質(zhì)。 5. （xx浙江金華麗水，9，3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到△EDC．若點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，∠ACB=20，則∠ADC的度數(shù)是（ ）． A．55 B．60 C．65 D．70 第9題圖 【答案】C． 【解析】將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到△EDC，則∠ECD＝∠ACB＝20，∠ACE＝90，EC＝AC，∴∠E＝45，∴∠ADC＝65．故選D． 【知識點(diǎn)】圖形的旋轉(zhuǎn) 6.（xx浙江衢州，第8題，3分）如圖，將矩形ABCD沿GH折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若∠AGE=32，則∠GHC等于（ ） 第8題圖 A．112 B．110 C．108 D．106 【答案】D 【解析】本題考查了翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)、平行線性質(zhì)等知識點(diǎn). 根據(jù)折疊前后角相等可知∠DGH=∠EGH，∵∠AGE=32,∴∠EGH=74，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AGH=∠GHC=∠EGH+∠AGE， ∴∠GHC=106，故選：D． 【知識點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)、平行線性質(zhì)； 7. （xx甘肅白銀，8，3）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到△ABF的位置。若四邊形AECF的面積為25，DE=2,則AE的長為（ ) A.5 B. C.7 D. 【答案】D. 【思路分析】由旋轉(zhuǎn)性知四邊形AECF的面積與正方形的面積相等，從而得到正方形的面積等于25，邊長為5，于是在直角三角形ADE中由勾股定理可求出AE的長。 【解題過程】∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到△ABF ∴△ADE≌△ABF ∴=25 ∴正方形的邊長AD=CD=5 ∴在RT△ADE中，AE==. 故選D 【知識點(diǎn)】正方形的性質(zhì)及面積公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即旋轉(zhuǎn)前后圖形的形狀大小相等面積相等。 8. （xx安徽省，10，4分）如圖,直線都與直線l垂直,垂足分別為M,N,MN=1正方形ABCD的邊長為，對角線AC在直線l上,且點(diǎn)C位于點(diǎn)M處,將正方形ABCD沿l向右平移,直到點(diǎn)A與點(diǎn)N重合為止，記點(diǎn)C平移的距離為x,正方形ABCD的邊位于之間分的長度和為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象太致為（ ） 【答案】A 【思路分析】這是一道動面問題，需要分段思考，求解關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的表達(dá)方法（解析式法，列表法和圖像法）之間的聯(lián)系，先確定函數(shù)解析式，再選擇圖像．其中，在圖形運(yùn)動過程中，確定三種運(yùn)動狀態(tài)下的圖形形態(tài)是重中之重．其中關(guān)鍵是確定圖形變化聯(lián)系瞬間的靜態(tài)圖形位置，從而得到分界點(diǎn)，然后再作動態(tài)思考，確定各種情況下的取值范圍．最后求出各部分對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用函數(shù)的圖像、性質(zhì)分析作答．有時(shí)，直接根據(jù)各運(yùn)動狀態(tài)（如前后圖形的對稱狀態(tài)帶來函數(shù)圖像的對稱，前后圖形面積的增減變化帶來函數(shù)圖像的遞增或遞減等），就能求解． 【解題過程】∵正方形邊長為，∴AC=BD=2. （1）如圖1，當(dāng)C位于之間， （2）如圖2，當(dāng)D位于之間， 設(shè)PR=a,則SQ=1-a , DP+DQ=所以 （3）如圖3，當(dāng)A位于之間， 綜上所述，y關(guān)于x的函數(shù)大致如選擇支A所示。 【知識點(diǎn)】函數(shù)的圖象；分段函數(shù)；分類討論 9.（xx江蘇無錫，5，3分）下列圖形中的五邊形ABCDE都是正五邊形，則這些圖形中的軸對稱圖形有（ ） A.1個 B. 2個 C.3個 D. 4個 【答案】D 【解析】圖中四個五邊形都是軸對稱圖形，所以答案選D. 【知識點(diǎn)】軸對稱圖形的定義 10. （xx江蘇無錫，10，3分）如圖是一個33正方形方格紙的對角線AB剪下圖形，一質(zhì)點(diǎn)P由A點(diǎn)出發(fā)，沿格點(diǎn)線每次向右或向上運(yùn)動1個單位長度，則點(diǎn)P由點(diǎn)A運(yùn)動到B點(diǎn)的不同路徑共有（ ） A.4條 B. 5條 C. 6條 D.7條 【答案】B 【思路分析】按照點(diǎn)P經(jīng)過的格點(diǎn)確定所有符合要求的路線. 【解題過程】如圖所示， 運(yùn)動路線有：ACDFGJB；ACDFIJB；ACEFGJB；ACEFIJB；ACEHIJB，共5條. 【知識點(diǎn)】 11. （xx山東聊城，10，3分）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使得點(diǎn)A落在△ABC外的一點(diǎn)A′出，折痕為DE.如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA′=γ，那么下列式子中正確的是（ ） A.γ=2α+β B.γ=α+2β C.γ=α+β D.γ=180-α-β 【答案】A 【解析】∵將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使得點(diǎn)A落在△ABC外的一點(diǎn)A′出，折痕為DE， ∴∠A′=∠A=α. 如圖所示，設(shè)A′D交AC于點(diǎn)F， 則∠BDA′=∠A+∠AFD=∠A+∠A′+∠AEF， ∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA′=γ， ∴γ=α+α+β=2α+β. 【知識點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì)、三角形內(nèi)外角的關(guān)系 12. （xx山東聊城，11，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上，并且OA=5，OC=3.若把矩形OABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)處，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如圖所示，作M⊥x軸于點(diǎn)M，N⊥x軸于點(diǎn)M， ∵矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上，并且OA=5，OC=3，把矩形OABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)處， ∴O=OA=5，M=O=OC=3， ∴OM===4. 由題意得△ON∽△OM， ∴， 即， ∴，， ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. 【知識點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、比例線段、平面直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo) 13. （xx四川省達(dá)州市，3，3分）下列圖形中是中心對稱圖形的是（ ）． 【答案】B． 【解析】在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)叫做它的對稱中心 ．根據(jù)中心對稱圖形的定義，得圖形B是中心對稱圖形．故選B. 【知識點(diǎn)】中心對稱圖形 14. （xx四川省南充市，第2題，3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ） A．扇形 B．正五邊形 C．菱形 D．平行四邊形 【答案】C 【解析】解：A、扇形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項(xiàng)不符合題意；B、正五邊形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B選項(xiàng)不符合題意；C、菱形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故C選項(xiàng)符合題意；D、平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故D選項(xiàng)不符合題意；故選C. 【知識點(diǎn)】軸對稱圖形；中心對稱圖形 15. （xx重慶B卷，2，4）下列圖形中，是軸對稱圖形的是 （ ） 【答案】D． 【解析】根據(jù)軸對稱圖形的定義，沿某條直線將圖形折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形才是軸對稱圖形，故只有選項(xiàng)D滿足要求，因此選D． 【知識點(diǎn)】圖形的變換 軸對稱圖形． 16.（xx湖南衡陽，3，3分） 下列生態(tài)環(huán)保標(biāo)志中，是中心對稱圖形的是（） 【答案】B 【解析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，對各選項(xiàng)分析判斷可得選項(xiàng)B是中心對稱圖形． 【知識點(diǎn)】中心對稱圖形 17. （xx湖南長沙，5題，3分）下列四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ） 【答案】A 【解析】沿某條直線折疊，圖形兩側(cè)部分可以重合，這種圖形稱為軸對稱圖形。繞一個定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后的圖形能和原圖形重合，這種圖形稱為中心對稱圖形。由此可對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷：A既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，正確;B是軸對稱圖形，錯誤;C既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，錯誤;D不是軸對稱圖形是中心對稱圖形，錯誤。 【知識點(diǎn)】軸對稱,中心對稱 18. （xx江蘇省鹽城市，2，3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）． 【答案】D 【解析】在平面內(nèi)，沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形是軸對稱圖形，這條直線就叫做對稱軸．在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形.根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義即可作出判斷，故選D. 【知識點(diǎn)】軸對稱圖形;中心對稱圖形 19.(xx山東青島中考，1，3分)觀察下列四個圖形，中心對稱圖形是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】選項(xiàng)C中圖形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)180后能與自身完全重合，是中心對稱圖形；選項(xiàng)A、B、D中圖形是軸對稱圖形．故選C． 【知識點(diǎn)】中心對稱圖形 20. （xx山東煙臺，2，3分）在學(xué)習(xí)《圖形變化的簡單應(yīng)用》這一節(jié)時(shí)，老師要求同學(xué)們利用圖形變化設(shè)計(jì)圖案．下列設(shè)計(jì)的圖案中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（　?。? D C B A . 【答案】C 【解析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解 A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故錯誤； B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故錯誤； C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故正確； D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故錯誤 故選C． 【知識點(diǎn)】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 21. （xx山東省淄博市，3，4分） 下列圖形中，不是軸對稱圖形的是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】選項(xiàng)A、B、D均可以沿一條直線折疊圖形左右兩邊的部分可以重合，故均為軸對稱圖形，只有C選項(xiàng)不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選C. 【知識點(diǎn)】軸對稱 22. （xx天津市，4，3）下列圖形中，可以看作是中心對稱圖形的是（ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】分析：本題考查中心對稱圖形的識別，結(jié)合選項(xiàng)，根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求解. 解：A. 是中心對稱圖形，本選項(xiàng)符合題意； B. 不是中心對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意； C. 不是中心對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意； D. 不是中心對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意. 故選A. 【知識點(diǎn)】中心對稱圖形；中心對稱 23. （xx天津市，10，3）如圖，將一個三角形紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為，則下列結(jié)論一定正確的是（ ） A． B． C. D． 【答案】D 【解析】分析：本題考查折疊問題，由折疊前后不變，可得結(jié)果. 解：由折疊前后不變性，可知CB=EB, ∴AE+CB=AE+EB=AB 故選D 【知識點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；全等三角形 24. （xx浙江湖州，8，3）如圖，已知在△ABC中，∠BAC＞90，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，將△CDE沿DE折疊，使得點(diǎn)C恰好落在BA的延長線上的點(diǎn)F處，連結(jié)AD，則下列結(jié)論不一定正確的是（ ） A．AE＝EF B．AB＝2DE C．△ADF和△ADE的面積相等 D．△ADE和△FDE的面積相等 【答案】C 【解析】選項(xiàng)A，∵D為BC的中點(diǎn)，∴所以BD＝CD．∵FD＝CD，∴FD＝BD．∴∠B＝∠BFD．∵∠C＝∠DFE，∴ ∠B+∠C＝∠BFD+∠DFE．∴∠FAE＝∠AFE．∴AE＝FE．選項(xiàng)A正確． 選項(xiàng)B，∵E為AC的中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線．∴AB＝2DE．選項(xiàng)B正確． 選項(xiàng)C，∵BF∥DE，∴△ADF和△ADE的高相等．但不能證明AF＝DE，∴△ADF和△ADE的面積不一定相等．選項(xiàng)C錯誤． 選項(xiàng)D，△ADE和△FDE同底等高，面積相等，選項(xiàng)D正確．故選C. 【知識點(diǎn)】等腰三角形，折疊，中位線，三角形的外角 1. （xx重慶A卷，2，4）下列圖形中一定是軸對稱圖形的是 （ ） 【答案】D． 【解析】根據(jù)軸對稱圖形的定義，看圖形沿某條直線折疊，直線兩旁的部分能否完全重合，易知矩形是軸對稱圖形，故選D． 【知識點(diǎn)】軸對稱圖形 2. （xx廣東廣州，2，3分）圖中所示的五角星是軸對稱圖形，它的對稱軸共有（ ） A．1條 B．3條 C．5條 D．無數(shù)條 【答案】C 【解析】根據(jù)軸對稱圖形的定義：“如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸”進(jìn)行分析，正五角星的對稱軸是過中心和每個頂角的直線，共5條．故答案為C． 【知識點(diǎn)】軸對稱圖形 3. （xx貴州遵義，2題，3分）觀察下列幾何圖形，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是 A B C D 【答案】C 【解析】A是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A錯誤；B是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故B錯誤；C是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故C正確；D是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D錯誤。 【知識點(diǎn)】軸對稱圖形，中心對稱圖形 4. （xx河北省，3，3）如圖中由“ ”和“ ”組成軸對稱圖形，該圖形的對稱軸是直線（ ） A．l1 B． l2 C． l3 D． l4 【答案】C 【解析】分別沿著途中的4條直線進(jìn)行折疊，兩側(cè)能完全重合的只有l(wèi)3，故選C． 【知識點(diǎn)】軸對稱圖形 5. （xx湖北宜昌，2，3分）如下字體的四個漢字中，是軸對稱圖形的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】D圖沿中間線折疊，直線兩旁的部分可重合，故選擇D. 【知識點(diǎn)】軸對稱圖形的概念. 6.（xx湖北宜昌，9，3分）如圖，正方形的邊長為1，點(diǎn)分別是對角線上的兩點(diǎn), , ,，，垂足分別為，則圖中陰影部分的面積等于( ) (第9題圖) A．1 B． C. D． 【答案】B 【解析】圖形沿直線AC折疊，直線兩旁的陰影部分可合并到△ABC中，△ABC的面積為正方形的面積的一半，故選擇B. 【知識點(diǎn)】軸對稱圖形，翻折. 7. （xx江西，5，3分）小軍同學(xué)在網(wǎng)格紙上將某些圖形進(jìn)行平移操作，他發(fā)現(xiàn)平移前后的兩個圖形所組成的圖形可以是軸對稱圖形．如圖所示，現(xiàn)在他將正方形ABCD從當(dāng)前位置開始進(jìn)行一次平移操作，平移后的正方形的頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上，則使平移前后的兩個正方形組成軸對稱圖形的平移方向有(　　) 第5題題 A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 無數(shù)個 【答案】C 【解析】①正方形向上平移；②正方形向下平移；③正方形向右平移；④將正方形向東北方向平移；⑤將正方形向東南方向平移．故有5種． 【知識點(diǎn)】軸對稱圖形，平移 8. （xx山東德州，2，3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】選項(xiàng)A只是中心對稱圖形，選項(xiàng)B既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，選項(xiàng)C只是軸對稱圖形，選項(xiàng)D既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，只是旋轉(zhuǎn)對稱圖形. 故選B. 【知識點(diǎn)】軸對稱圖形，中心對稱圖形 9.（xx山東德州，12，3分）如圖，等邊三角形的邊長為4,點(diǎn)是△的中心， .繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),分別交線段于兩點(diǎn)，連接,給出下列四個結(jié)論:①;②;③四邊形的面積始終等于;④△周長的最小值為6,上述結(jié)論中正確的個數(shù)是( ) A．1 B．2 C. 3 D．4 【答案】C 【解析】如圖1，連接OB、OC，因?yàn)辄c(diǎn)是△的中心，所以，OA=OB=OC，所以，，所以，所以（ASA），所以O(shè)D=OE，結(jié)論①正確；通過畫圖確定結(jié)論②錯誤，如當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，；因?yàn)?，所以，所?，結(jié)論③正確；因?yàn)椋訠D=CE，所以BD＋CE=BC=4，因?yàn)?，OB=OC，易得，如圖2，當(dāng)OD⊥AB時(shí)，OD最小=BDtan∠OBD=，所以DE最小=2，所以△周長的最小值為6, 結(jié)論④正確. 故選C. 【知識點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)，全等，定值，最值 10. （xx山東省日照市，2，3分）在下列圖案中，既是軸對稱又是中心對稱圖形的是（ ） 【答案】C 【解析】A圖案既不是軸對稱又不是中心對稱圖形；B圖案只是軸對稱圖形；C圖案既是軸對稱又是中心對稱圖形；D圖案只是中心對稱圖形，故選C。 【知識點(diǎn)】軸對稱圖形 中心對稱圖形 11. （xx廣東省深圳市，4，3分）觀察下列圖形，是中心對稱圖形的是( ) A． B． C. D． 【答案】D 【解析】解：將試卷倒過來看，和原圖形完全相同的圖形就是中心對稱圖形．A、B、C三個選項(xiàng)中的圖案都是軸對稱圖形，故A、B、C選項(xiàng)錯誤；而 D選項(xiàng)中的圖案是中心對稱圖形，故D選項(xiàng)正確． 【知識點(diǎn)】軸對稱圖形；中心對稱圖形 12. （xx貴州安順，T1，F(xiàn)3）下面四個手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中是軸對稱圖形的是（ ） 【答案】D 【解析】由軸對稱圖形的定義可知，選項(xiàng)D的圖形有對稱軸所以是軸對稱圖形． 【知識點(diǎn)】軸對稱圖形的性質(zhì). 13. （xx湖南省永州市，2，4）譽(yù)為全國第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上銘刻著500多方古今名家碑文，其中懸針篆文具有較高的歷史意義和研究價(jià)值，下面四個懸針篆文文字明顯不是軸對稱圖形的是 （ ）] A． B． C． D． 【答案】C 【解析】選項(xiàng)A、是軸對稱圖形，則此選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)B、是軸對稱圖形，則此選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)C、不是軸對稱圖形，則此選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D、是軸對稱圖形，則此選項(xiàng)錯誤. 因此，本題選C． 【知識點(diǎn)】軸對稱 14. （xx四川攀枝花，5，3）下列平面圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是( ) A.菱形 B.等邊三角形 C.平行四邊形 D.等腰梯形 【答案】A 【解析】A、菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意； B、等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意； C、平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意； D、等腰梯形，故此選項(xiàng)符合題意；是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選A. 【知識點(diǎn)】 中心對稱圖形 軸對稱圖形 15. （xx 湖南張家界，3，3分）下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（ ） A B 【答案】C 【解析】軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180后兩部分重合. 故選項(xiàng)A是中心對稱圖形，選項(xiàng)B是軸對稱圖形，選項(xiàng)C既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，選項(xiàng)D是軸對稱圖形. 故選擇C. 【知識點(diǎn)】中心對稱圖形與軸對稱圖形. 16.（xx浙江省臺州市，2，3分） 在下列四個新能源汽車車標(biāo)的設(shè)計(jì)圖中，屬于中心對稱圖形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，就叫做中心對稱點(diǎn). A．∵此圖形旋轉(zhuǎn)180后不能與原圖形重合，∴此圖形不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤； B．∵此圖形旋轉(zhuǎn)180后不能與原圖形重合，∴此圖形不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤； C．∵此圖形旋轉(zhuǎn)180后不能與原圖形重合，∴此圖形不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤； D．∵此圖形旋轉(zhuǎn)180后能夠與原圖形重合，∴此圖形是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)正確； 【知識點(diǎn)】中心對稱圖形 二、填空題 1. （xx浙江衢州，第16題，4分）定義；在平面直角坐標(biāo)系中，一個圖形先向右平移a個單位，再繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角度，這樣的圖形運(yùn)動叫做圖形的γ（a，θ）變換。 如圖，等邊△ABC的邊長為1，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)C在x軸的正半軸上．△A1B1C1就是△ABC經(jīng)γ（1，180）變換后所得的圖形． 第16題圖 若△ABC經(jīng)γ（1，180）變換后得△A1B1C1，△A1B1C1經(jīng)γ（2，180）變換后得△A2B2C2，△A2B2C2經(jīng)γ（3，180）變換后得△A3B3C3，依此類推…… △An-1B n-1C n-1經(jīng)γ（n，180）變換后得△AnBnC，則點(diǎn)A1的坐標(biāo)是________，點(diǎn)Axx的坐標(biāo)是________。 【答案】（）（） 【解析】題考查了新概念理解、閱讀理解問題、等邊三角形性質(zhì)、規(guī)律型點(diǎn)的坐標(biāo)．、坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)等知識內(nèi)容，解決該題型題目時(shí)，寫出部分An點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．首先計(jì)算A1的坐標(biāo)為（），則A2為（），以此計(jì)算則有 Axx橫坐標(biāo)為-2xx=，故答案為：（）（）（） 【知識點(diǎn)】新概念理解、閱讀理解問題、等邊三角形性質(zhì)、規(guī)律型點(diǎn)的坐標(biāo)．、坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn) 2. （xx山東濰坊，16，3分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30至正方形AB′C′D′的位置，B′C′與CD相交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 . 【答案】（－1，） 【思路分析】連接AM，證明Rt△AB′M≌Rt△ADM，求出∠ADM=30，解直角三角形求得DM的長，注意M在第二象限，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo). 【解題過程】連接AM， 在Rt△AB′M和Rt△ADM中， AB′=AD，AM=AM, ∴Rt△AB′M≌Rt△ADM ∴∠DAM=∠B′AM= 在Rt△ADM中， tan30= ∴DM=ADtan30=1=. ∴M（－1，）. 【知識點(diǎn)】圖形與坐標(biāo)，正方形，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形 3. （xx山東濰坊，24，12分）如圖1，在□ABCD中，DH⊥AB于點(diǎn)H，CD的垂直平分線交CD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，AB=6，DH=4，BF∶FA=1∶5. （1）如圖2，作FG⊥AD于點(diǎn)G，交DH于點(diǎn)M，將△DGM沿DC方向平移，得到△CGM，連接M′B. ①求四邊形BHMM＇的面積； ②直線EF上有一動點(diǎn)N，求△DNM周長的最小值. （2）如圖3，延長CB交EF于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QK∥AB，過CD邊上的動點(diǎn)P作PK∥EF，并與QK交于點(diǎn)K，將△PKQ沿直線PQ翻折，使點(diǎn)K的對應(yīng)點(diǎn)K＇恰好落在直線AB上，求線段CP的長. 【思路分析】（1）①由題意可知四邊形BHMM＇為梯形，上底BH，下底MM′易求，故只需求出高M(jìn)H即可，計(jì)算MH可通過同角的余角相等證明∠FMH=∠A，而∠A的正切值易求，故高M(jìn)H可得（求高也可利用△FHM∽△DHA來計(jì)算），從而求出面積；②由EF垂直平分CD可得點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于直線EF對稱，故只需連接CM，CM與EF的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)N，分別求出CM和DM即可求出周長的最小值；（2）先通過∠A的正切值不變求出FQ的長度，從而求出PK，由折疊可得PK′=PK，QK′=QK，利用勾股定理先求出GＫ′的長度，設(shè)PE=x，在Rt△QFK′中把FK′和QK′用x表示出來，利用勾股定理求出x的值，從而求出CP的長度. 【解題過程】解：（1）①∵BF∶FA=1∶5，AB=6， ∴BF=1，AF=5. ∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴CD=AB=6， ∵EF垂直平分CD， ∴DE=CE=3. ∴FH=3，HA=AF－FH＝5－3＝2. 在Rt△ADH中 ∵∠A＋∠AFM=90，∠AFM＋∠FMH=90， ∴∠FMH=∠A ∴. ∵FH=3，∴MH= 由平移可知MM′=CD=6，BH=1+3=4 ∴S四邊形BHMM′=. ②由點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于直線EF對稱可知，連接CM交EF于點(diǎn)N，連接DN，此時(shí)△DMN周長最小. N DM=DH－MH=. 在Rt△CDM中， ，即DN＋MN= . ∴△DNM周長的最小值為. （2）標(biāo)準(zhǔn)答案： ∵BF∥CE, ∴, ∴QF=2， ∴PK=PK′=6 過點(diǎn)K′作E′F′∥EF，分別交CD于點(diǎn)E′，交QK于點(diǎn)F′， 當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)， 在Rt△PK′E′中， PE′2=PK′2－E′K′2, ∴PE′= , ∵Rt△PE′K′∽Rt△K′F′Q, ∴ , ∴ . ∴QF′=, ∴PE=PE′－EE′= . ∴CP= . 同理可得，當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)，CP′=. 綜上可得，CP的長為或. 方法2：當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)， 如圖所示，設(shè)直線AB與PK交于點(diǎn)G. 在Rt△BFQ中，∠ABQ=∠A ∴tan∠ABQ= ， ∵BF=1，∴FQ=2. ∴EQ=EF＋FQ=4＋2=6 ∴PK=EQ=6. 由折疊可得：PK′=PK=6，QK′=QK 在Rt△PGK′中，PG=DH=4 GK′= 設(shè)PE=x，則GF=KQ=x，QK′=x,FK′=GK′－GF= 在Rt△QFK′中， 解得：. ∴CP=CE－PE= . 同理可得，當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)， CP′=. 綜上可得，CP的長為或. 【知識點(diǎn)】平行四邊形，圖形的平移，圖形的軸對稱，勾股定理，梯形，幾何最值問題，分類討論思想 4. （xx四川省成都市，24，4） 如圖，在菱形ABCD的中，tanA＝，M，N分別在邊AD，BC上，將四邊形AMNB沿MN翻折，使AB的對應(yīng)線段AB的對應(yīng)線段EF經(jīng)過頂點(diǎn)D．當(dāng)EF⊥AD時(shí)，的值為 ． 【答案】 【思路分析】延長NF交DC于H．根據(jù)翻折得∠A＝∠E，∠B＝∠DFN，利用菱形中鄰角互補(bǔ)，可得到∠A＝∠DFH，且∠DHF＝90，在Rt△EDM中，根據(jù)tanA＝tanE＝，得到△EDM三邊的關(guān)系，求出菱形邊長，在解Rt△DHF和Rt△NHC，求出CN，BN，即可求出的值． 【解題過程】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180，∵∠DFN＋∠DFH＝180，又∵∠B＝∠DFN，∴∠A＝∠DFH，∵AB∥CD，∴∠A＋∠ADC＝180，又∵∠ADF＝90，∴∠A＋∠FDC＝90，∴∠DFH＋∠FDC＝90，∴∠DHF＝90，∵∠A＝∠E，∴tanA＝tanE＝＝，設(shè)DM＝4x，DE＝3x，∴EM＝＝5x，∴AM＝5x，∴AD＝AM＋DM＝9x，∵EF＝AB＝AD＝9x，∴DF＝EF－DE＝6x，在Rt△DFH中∠A＝∠DFH，∴tanA＝tan∠DFH＝＝，∴DH＝DF＝x，∴CH＝DC－DH＝x，在Rt△CHN中∠A＝∠C，∴tanA＝tanC＝＝，∴CN＝CH＝7x，∴BN＝BC－CN＝2x，∴＝． 【知識點(diǎn)】菱形性質(zhì)；銳角三角函數(shù)；翻折變換 5. （xx四川省達(dá)州市，14，3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A（－6，0），C（0，2）.將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A恰好落在OB上的點(diǎn)A1處，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)為___________． 第14題圖 【答案】（－2，6）. 【解析】如圖， ∵矩形OABC的頂點(diǎn)A（－6，0），C（0，2）. ∴OA＝6， AB＝OC＝2. ∵tan∠AOB＝,∴∠AOB＝30， 在Rt△DOC1中， ∵∠DOC1＝30，OC 1＝2， ∴OD＝4，DC1＝2． ∵B1C 1＝6，∴B1D＝4， 在Rt△DEB1中， ∵∠DB1E＝30，∴DE＝2， B1E＝2． ∴B1（－2，6）. 故答案為：（－2，6）. 【知識點(diǎn)】平面直角坐標(biāo)系；銳角三角函數(shù)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 6.（xx重慶B卷，16，4）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，BC＝6，CD是斜邊AB上的中線，將△BCD沿直線CD翻折至△ECD的位置，連接AE．若DE∥AC，計(jì)算AE的長度等于 ． 【答案】2． 【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，BC＝6，CD是斜邊AB上的中線， ∴CD＝AB＝DA＝DB． 令∠B＝x，則∠DCB＝∠B＝x， 由翻折知，DE＝DB，∠ECD＝∠DCB＝x＝∠CED． ∵DE∥AC， ∴∠ACE＝∠CED＝x． ∴由∠ACB＝90，得3x＝90，x＝30，從而∠B＝30，于是AC＝AB． 在Rt△ABC中，tanB＝，得AC＝BC tanB＝6tan30＝2． ∴AC∥DE，AC＝DE，從而四邊形ACDE是平行四邊形． 又∵CD＝DE， ∴四邊形ACDE是菱形． ∴AE＝AC＝2． 【知識點(diǎn)】翻折 直角三角形 菱形 三角函數(shù) 7. （xx湖南衡陽，13，3分） 如圖，點(diǎn)A、B、C、D、O都在方格紙的格點(diǎn)上，若△COD是由△ AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到的，則旋轉(zhuǎn)的角度為________ ． 【答案】90 【解析】解：∵△COD由△AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到的， ∴對應(yīng)邊OB、OD的夾角∠BOD即為旋轉(zhuǎn)角， ∴旋轉(zhuǎn)的角度為90. 【知識點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 1. （xx重慶A卷，16，4）如圖，把三角形紙片折疊，使點(diǎn)B、點(diǎn)C都與點(diǎn)A重合，折痕分別為DE、FG，得到∠AGE＝30，若AE＝EG＝厘米，則△ABC的邊BC的長為 厘米． 【答案】4＋6． 【解析】如下圖，過點(diǎn)E作EM⊥AG于點(diǎn)M，則由AE＝EG，得AG＝2MG． ∵∠AGE＝30，EG＝厘米， ∴EM＝EG＝（cm）． 在Rt△EMG中，由勾股定理，得MG＝＝3（cm），從而AG＝6cm． 由折疊可知，BE＝AE＝（cm），GC＝AG＝6cm． ∴BC＝BE＋EG＋GC＝＋＋6＝4＋6（cm）． 【知識點(diǎn)】翻折；軸對稱；勾股定理；直角三角形的性質(zhì)；等腰三角形 三、解答題 1. （xx四川綿陽，24，12分） 如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，0），B（0，4），C（-3，0）.動點(diǎn)M，N同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，M沿A→C，N沿折線A→B→C，均以每秒1個單位長度的速度移動，當(dāng)一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，另一個動點(diǎn)也隨之停止移動，移動的時(shí)間記為t秒.連接MN. （1）求直線BC的解析式； （2）移動過程中，將△AMN沿直線MN翻折，點(diǎn)A恰好落在BC邊上點(diǎn)D處求此時(shí)t值及點(diǎn)D的坐標(biāo)； （3）當(dāng)點(diǎn)M，N移動時(shí)，記△ABC在直線MN右側(cè)部分的面積為S，求S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式. 【思路分析】（1）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式； （2）首先過點(diǎn)D作DE⊥AC，根據(jù)題意可得出四邊形DMAN是菱形，進(jìn)而得出DN∥AC，然后 根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，解出t的值，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義得出sin∠BCO，cos∠BCO，進(jìn)而的得出點(diǎn)D的坐標(biāo)； （3）分當(dāng)0＜t≤5和當(dāng)5＜t≤6兩種情況寫出S的解析式即可. 【解題過程】解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b ∵直線經(jīng)過B（0，4），C（-3，0）， ∴，解得， ∴直線BC的解析式為. （2）過點(diǎn)D作DE⊥AC，如圖. ∵點(diǎn)M和點(diǎn)N均以每秒1個單位長度的速度移動， ∴AM=AN=t. ∵A（3，0），B（0，4）， ∴OA=3，OB=4，AB=5， ∴BN=5-t， ∵△DMN是△AMN沿直線MN翻折得到的， ∴DN=DM=t， ∴四邊形DMAN是菱形， ∴DN∥AC， ∴， ∴，解得:t=. ∴CD=， ∵B（0，4），C（-3，0）， ∴OC=3，OB=4，BC=5， ∴sin∠BCO=，cos∠BCO=， ∴DE=CDsin∠BCO=，CE=CDcos∠BCO=， ∴OE=， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-，）. （3）當(dāng)0＜t≤5時(shí)，S=； 當(dāng)5＜t≤6時(shí)S=S△ABC-(6-t)(10-t)sin∠BCO=12-= 【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，菱形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)的定義，三角形面積公式 2. （xx安徽省，17，8分）如圖,在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的1010網(wǎng)格中, 已知點(diǎn)O,A,B均為網(wǎng)格線的交點(diǎn). （1）在給定的網(wǎng)格中,以點(diǎn)O為位似中心,將線段AB放大為原來的2倍,得到線段（點(diǎn)A,B的對應(yīng)點(diǎn)分別為）.畫出線段; （2）將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段.畫出線段; （3）以為頂點(diǎn)的四邊形的面積是______個平方單位. 【答案】 【思路分析】(1)連接OA,OB,并分別延長至滿足 再連接，即得到所求圖形；（2）過做垂線段得到所求圖形滿足要求；（3）四邊形為正方形，邊長為，所以四邊形的面積為個平方單位 【解題過程】 解：（1）（2）如圖所示 （3）20 【知識點(diǎn)】作圖-位似變換；作圖-旋轉(zhuǎn)變換;四邊形面積． 3. （xx江蘇無錫，27，10分）如圖，矩形ABCD中，AB=m，BC=n.將此矩形繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（0＜＜90）得到矩形，點(diǎn)在邊CD上. （1）若m=2，n=1，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)所經(jīng)過路徑的長度； （2）將矩形繼續(xù)繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)在BC的延長線上.設(shè)與CD交于點(diǎn)E，若，求的值. 【思路分析】（1）首先確定旋轉(zhuǎn)半徑和旋轉(zhuǎn)角，再利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算. （2）在Rt△中，由勾股定理得①；由△BCE∽△得②，消去CE即可得到mn的方程，求解得到答案. 【解題過程】（1）∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠=90，AB∥CD，CD=AB=m=2，AD=BC=n=1，， ∴，∠=∠， ∴， ∴=∠=30， 連接BD，由勾股定理得， ∴點(diǎn)D到點(diǎn)所經(jīng)過路徑的長度為：. （2）∵， ∴， ∴. 在Rt△中，由勾股定理得① 由△BCE∽△得，即，∴② 由①②得， 即， ∴， 即， ∴（舍去）或， ∴（舍去）. 【知識點(diǎn)】矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、弧長公式、相似三角形的判定和性質(zhì)、因式分解、一元二次方程的解法、二次根式的化簡 4. （xx年山東省棗莊市，20，8分）如圖，在的方格紙中，的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上. （1）在圖1中，畫出一個與成中心對稱的格點(diǎn)三角形； （2）在圖2中，畫出一個與成軸對稱且與有公共邊的格點(diǎn)三角形； （3）在圖3中，畫出繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后的三角形. 【思路分析】（1）以點(diǎn)C為對稱中心，作出點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)A1、B1，連結(jié)A1C、B1C、A1B1即可畫出三角形； （2）以AC為對稱軸，作出點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)B′，連接AB′、B′C即可畫出三角形；或以BC為對稱軸，作出點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)A′，連接A′C、A′B即可畫出三角形； （3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出點(diǎn)A和點(diǎn)B繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90的對應(yīng)點(diǎn)A″、B″，連接A″C、B″C 即可畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形． 【解題過程】（1）如圖所示： △A1B1C是所求的三角形 （2）畫出下列其中一個即可． （3） 【知識點(diǎn)】中心對稱；軸對稱；旋轉(zhuǎn) 5. （xx四川省成都市，27，10）在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AB＝，AC＝2，過點(diǎn)B作直線m∥AC，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABC(點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A、B)，射線CA、CB分別交直線m于點(diǎn)P，Q． （1）如圖1，當(dāng)P與A重合時(shí)，求∠ACA的度數(shù)； （2）如圖2，設(shè)AB與BC的交點(diǎn)為M，當(dāng)M為AB的中點(diǎn)時(shí)，求線段PQ的長； （3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在CA，CB的延長線上時(shí)，試探究四邊形PABQ的面積是否存在最小值．若存在，求出四邊形PABQ的最小面積；若不存在，請說明理由． 【思路分析】（1）當(dāng)P與A重合時(shí)，解Rt△ABC，求出∠BAC的度數(shù)，即為∠ACA的度數(shù)；（2）當(dāng)M為AB的中點(diǎn)時(shí)，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，得∠MAC＝∠BCA，解Rt△PBC求出PB，利用同角余角相等，得∠BQC＝∠PCB，解Rt△CBQ求出BQ，根據(jù)PQ＝PB＋BQ即可求得PQ；（3）作Rt△PCQ斜邊中線CM，由S四邊形PABQ＝S△PCQ－S△PAB＝PQBC－S△PAB＝CMBC－S△PAB，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)CM⊥PQ時(shí)，S四邊形PABQ最小，求出其最小值即可． 【解題過程】解：（1）∵∠ACB＝90，AB＝，AC＝2，∴BC＝＝，當(dāng)P與A重合時(shí)，AC＝AC＝2，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60，∵m∥AC，∴∠ACA＝∠BAC＝60． （2）∵∠ACB＝90，M為AB的中點(diǎn)時(shí)，∴AM＝CM，∴∠MAC＝∠ACM＝∠A，∵在Rt△ABC中，tan∠A＝＝，∴在Rt△PBC中，tan∠ACB＝＝，∴PB＝．∵∠PCB＋∠BCQ＝∠BCQ＋∠BQC＝90，∴∠BQC＝∠PCB，∴tan∠BQC＝tan∠ACB＝，∴BQ＝＝2，∴PQ＝PB＋BQ＝． （3）取PQ的中點(diǎn)M，連接CM．∵S△CAB＝ACBC＝2＝，S△PCQ＝PQBC＝PQ，∴S四邊形PABQ＝S△PCQ－S△CAB＝PQ－，∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，∠PCQ＝90，∴PQ＝2CM，∴S四邊形PABQ＝S△PCQ－Q－S△CAB＝CM－，當(dāng)CM最小時(shí)，S四邊形PABQ最?。逤M≤BC＝，∴當(dāng)CM＝時(shí)，S四邊形PABQ的最小值＝ CM－＝3－． 【知識點(diǎn)】解直角三角形；直角三角形斜邊中線等于斜邊一半；旋轉(zhuǎn) 6.（xx四川省南充市，第24題，10分）如圖，矩形中，，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到矩形，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上，交于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使. （1）求證：. （2）求的度數(shù). （3）已知，求的長. 【思路分析】(1)根據(jù)直角三角形直角邊和斜邊的關(guān)系，求出角的度數(shù)；根據(jù)角之間關(guān)系，利用等角對等邊即可得證. (2)利用旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等，從而得到等邊三角形，進(jìn)而求得角的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和是180計(jì)算即可. (3)連接AF，過點(diǎn)A作AM⊥BF于點(diǎn)M.易證∠AFM和∠ABM的度數(shù)，然后利用三角函數(shù)求出BM和MF的長即可. 【解題過程】解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴△ABC為Rt△. 又∵AC=2AB，cos∠BAC=，∴∠CAB=60. 1分 ∴∠ACB=∠DAC=30，∴∠B′AC′=60.∴∠C′AD=30=∠AC′B′. 2分 ∴AE=C′E. 3分 (2) ∵∠BAC=60，又AB=AB′，∴△ABB′是等邊三角形. 4分 ∴BB′=AB，∠AB′B=60，又∵∠AB′F=90，∴BB′F=150. 5分 ∵B′F=AB=BB′，∴∠B′BF=∠BFB′=15. 6分 (3)連接AF，過點(diǎn)A作AM⊥BF于點(diǎn)M. 7分 由(2)可知△AB′F是等腰直角三角形，△ABB′是等邊三角形. ∴∠AFB′=45，∴∠AFM=30，∠ABF=45. 8分 在Rt△ABM中，AM=BM=AB?cos∠ABM=2=. 9分 在Rt△AMF中，MF=.∴BF=+. 10分 【知識點(diǎn)】銳角三角函數(shù)；等腰三角形的判定；直角三角形的兩銳角互余；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)和判定；三角形的內(nèi)角和定理 7. （xx浙江紹興，23，12分） 小敏思考解決如下問題： 原題：如圖1，點(diǎn)，分別在菱形的邊，上，，求證：. （第23題圖） （1）小敏進(jìn)行探索，若將點(diǎn)，的位置特殊化：把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，使，點(diǎn)，分別在邊，上，如圖2，此時(shí)她證明了.請你證明. （2）受以上（1）的啟發(fā)，在原題中，添加輔助線：如圖3，作，，垂足分別為，.請你繼續(xù)完成原題的證明. （3）如果在原題中添加條件：，，如圖1.請你編制一個計(jì)算題（不標(biāo)注新的字母），并直接給出答案（根據(jù)編出的問題層次，給不同的得分）. 【思路分析】（1）可先求出∠AFC=∠AFD=90，然后證明即可； （2）先求出∠EAP=∠FAQ，再證明即可； （3）可以分三個不同的層次，①直接求菱形本身其它角或邊的度數(shù)，也可求菱形的周長。②可求、、的值。③可求四邊形的面積、與的面積和、四邊形周長的最小值等。 【解題過程】23.解：（1）如圖1， 在菱形中， ，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴. 第23題（1）答圖 （2）如圖2，由（1），∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴. 第23題（2）答圖 （3）不唯一，舉例如下： 層次1：①求的度數(shù).答案：. ②分別求，的度數(shù).答案：. ③求菱形的周長.答案：16. ④分別求，，的長.答案：4，4，4. 層次2：①求的值.答案：4. ②求的值.答案：4. ③求的值.答案：. 層次3：①求四邊形的面積.答案：. ②求與的面積和.答案：. ③求四邊形周長的最小值.答案：. ④求中點(diǎn)運(yùn)動的路徑長.答案：. 【知識點(diǎn)】菱形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、垂直的定義和性質(zhì)、 8. （xx江蘇泰州，25，12分）（本題滿分12分） 對給定的一張矩形紙片進(jìn)行如下操作：先沿折疊，使點(diǎn)落在邊上(如圖①)，再沿折疊，這時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合(如圖②). (1)根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求的值； (2)將該矩形紙片展開. ①如圖③，折疊該矩形紙片，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕與相交于點(diǎn)，再將該矩形紙片展開，求證：. ②不借助工具，利用圖④探索一種新的折疊方法，找出與圖③中位置相同的點(diǎn)，要求只有一條折痕，且點(diǎn)在折痕上，請簡要說明折疊方法.(不需說明理由) . 【思路分析】(1)由折疊得△BCE是等腰直角三角形，所以CE=CD=BC=AD，得解；(2)①先證△AEH是等腰直角三角形，設(shè)BC