如何建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型.ppt
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一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建模過程主要由三部分組成:1、用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行描述2、采取各種數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)手段求解模型3、從實(shí)際的角度分析模型的結(jié)果,考察其是否合理、是否具有實(shí)際意義?,如何建立一個(gè)完整的數(shù)學(xué)模型仇秋生數(shù)理信息工程學(xué)院,一、模型準(zhǔn)備,了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征,,,形成一個(gè)比較清晰的“問題”,拿到需要解決的問題之后,首先應(yīng)該做的事情是:了解有關(guān)背景知識(shí),查閱前人在這方面的工作,并在此基礎(chǔ)上探討解決問題的方法。,例1.1CMCM-96B題:節(jié)水洗衣機(jī),由于淡水資源的短缺以及洗衣機(jī)的廣為普及,節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要。假設(shè)放入衣物和洗滌后洗衣機(jī)的運(yùn)行程序?yàn)椋杭铀黄匆幻撍患铀黄匆幻撍唬?稱“加水一漂水一脫水”為一輪。)現(xiàn)為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序(包括運(yùn)行多少輪、每輪加水量等),使得在滿足一定洗滌效果的條件下,總用水量最少,選用合理數(shù)據(jù)計(jì)算。,洗衣的基本原理,洗衣的基本原理就是將吸附在衣物上的污物溶于水中,通過脫去污水而帶走污物。無論是如何精心設(shè)計(jì)的洗衣方式和程序都是以此為基礎(chǔ)的。洗衣的過程就是通過加水來實(shí)現(xiàn)上述“溶污物一脫污水”動(dòng)作的反復(fù)執(zhí)行,使得殘留在衣物上的污物越來越少,直到滿意的程度.通常洗衣要加入洗滌劑,它幫助衣物上原有的污物溶解.洗滌劑本身也是不希望留在衣物上的東西.因此“污物”應(yīng)是衣物上原有污物與洗滌劑的總和.,例1.2:CMCM-92B題。,組成生命蛋白質(zhì)的若干種氨基酸可以形成不同的組合。通過質(zhì)譜實(shí)驗(yàn)測(cè)定分子量來分析蛋白質(zhì)分子的組成時(shí),遇到的首要問題是如何將它的分子量X分解為幾個(gè)氨基酸的已知分子量之和。,,,分析:題目要求根據(jù)蛋白質(zhì)的分子量給出所有的氨基酸組合方式。,令M為蛋白質(zhì)的分子量,表示第i種氨基酸的分子量,ai表示第i種氨基酸的數(shù)目,問題歸結(jié)為求解下列不定方程,計(jì)算結(jié)果表明,當(dāng)?shù)鞍踪|(zhì)的分子量為1000時(shí),解的個(gè)數(shù)已達(dá)到28268個(gè),這樣的模型對(duì)于實(shí)際的工作而言并無多大的意義。,要想建立一個(gè)合理的有用的模型,首先應(yīng)該了解生物學(xué)中關(guān)于蛋白質(zhì)組成以及化學(xué)中關(guān)于分子結(jié)構(gòu)測(cè)試方面的知識(shí),例如原題中提到了質(zhì)譜儀的使用,質(zhì)譜儀可以精確測(cè)定分子量和分子式,即可以知道蛋白質(zhì)分子中包含的C、N、O、H、S每一種原子的數(shù)目,利用這些信息,不僅可以大減少解的數(shù)目和計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間,而且便模型更具有實(shí)用性。,有些問題可能是某一領(lǐng)域中早已存在的問題,專家們已經(jīng)有過許多研究,充分利用他們的研究結(jié)果,對(duì)于建模有很大的幫助.例如:,CMCM-91B題(施肥效果分析),農(nóng)學(xué)家已經(jīng)總結(jié)出肥料對(duì)作物生長(zhǎng)作用的一些規(guī)律,如米采利希學(xué)說:只增加某種養(yǎng)分x時(shí),引起產(chǎn)量的增加與該種養(yǎng)分供應(yīng)充足時(shí)達(dá)到的最高產(chǎn)量A與現(xiàn)有產(chǎn)量W的差成正比:,其中C為常數(shù),綜合運(yùn)用這些農(nóng)學(xué)家的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律,結(jié)合所給實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),就容易建立施肥量與產(chǎn)量關(guān)系的模型。,例1.3CMCM-92A題(施肥效果分析),總之,抓住了本質(zhì)的東西,建立的模型才是有合理性,一個(gè)模型的優(yōu)與劣,最根本的是在于是否采用恰當(dāng)?shù)姆椒?,合理地描述了?shí)際問題,而不是取決于是否用到了高深的數(shù)學(xué)知識(shí)。,二、模型假設(shè),,1、假設(shè)的依據(jù):(1)、對(duì)問題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)。(2)、對(duì)數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析。,針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的,作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)設(shè),在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中,2、基本原則:(1)多數(shù)的原則。如曲線擬合時(shí),可根據(jù)多數(shù)點(diǎn)的分布趨勢(shì)來確定曲線,經(jīng)驗(yàn)證后,選擇誤差少的曲線。(2)發(fā)展的原則。觀察事物的發(fā)展方向。(3)主導(dǎo)性的原則。分析何種因素起主導(dǎo)作用。如修盤山公路,主導(dǎo)性因素是公路坡度在一個(gè)合理范圍內(nèi)。(4)相對(duì)性的原則。,,,例2.1:AMCM-92B題,在應(yīng)急系統(tǒng)的研制過程中,優(yōu)秀論文作者作了如下假定:,(1)、從派遣中心到事故發(fā)生地點(diǎn)的距離以兩地橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值之和度量(2)、修理隊(duì)總以30里/小時(shí)的平均速度行駛(3)、在緊急情況下,修理隊(duì)隨時(shí)可供派遣(4)、修理隊(duì)的車輛無損壞情況……這些假設(shè)給應(yīng)急系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來了方便,,,3、假設(shè)的分類:(1)簡(jiǎn)化問題的假設(shè)。(2)對(duì)所研究對(duì)象進(jìn)行近似,使之滿足建模所用數(shù)學(xué)方法必需的前提條件。,例2.2:椅子能否在不平的地面放穩(wěn)?,,第二條假設(shè)為我們利用連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理奠定了基礎(chǔ)。,模型假設(shè),四條腿一樣長(zhǎng),椅腳與地面點(diǎn)接觸,四腳連線呈正方形;,地面高度連續(xù)變化,可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;,地面相對(duì)平坦,使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。,建立數(shù)學(xué)模型就是采用或建立某種數(shù)學(xué)方法來解決具體的問題,而每種理論的應(yīng)用都必須滿足一定的理想化條件,因此能否應(yīng)用某種數(shù)學(xué)方法的關(guān)鍵在于所研究對(duì)象是否近似滿足理想化條件。必須著重指出的是,對(duì)于一個(gè)假設(shè),最重要的是它是否符合實(shí)際情況,而不是為了解決問題的方便,即假設(shè)必須合理。,例2.3:雙層玻璃窗的功效北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的,如圖所示:兩層厚度為的玻璃夾著一層厚度為的空氣,試建立一個(gè)模型描述熱量通過窗戶的傳導(dǎo)(即流失)過程。,以上假設(shè)為我們利用熱傳導(dǎo)定理奠定了基礎(chǔ)。,假設(shè),1、熱量傳播只有傳導(dǎo),沒有對(duì)流,2、T1,T2不變,熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài),3、材料均勻,熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù),例2.4:AMCM-89A題要求對(duì)蠓蟲加以分類。在采用概率判別方法建模之前,作了如下假設(shè):,1、兩類蠓蟲的觸角與翅膀長(zhǎng)度的總體均值、標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)與學(xué)習(xí)樣本所能反映的值是相符的,2、觸角長(zhǎng)度x和y服從二維正態(tài)分布,這兩條假設(shè)為從概率論的角度對(duì)蠓蟲進(jìn)行分類提供了根據(jù),由于統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用必須建立在對(duì)大量樣本進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上,而我們面臨的問題是,題中所給的數(shù)據(jù)(15個(gè)學(xué)習(xí)樣本)太少,因此優(yōu)秀論文作者清醒指出,這些假設(shè)未必一定可靠,這顯示了他們對(duì)實(shí)際問題及所用方法的深刻見解,,例2.5:AMCM-86A題—水道測(cè)量數(shù)據(jù)。對(duì)海底地形圖的插值擬合,其成立的條件是曲面必須光滑,因此有必要假設(shè),海底地形無陡峭形狀,可當(dāng)作光滑曲面處理,在實(shí)際中,由于海水的不斷沖蝕,這個(gè)假設(shè)是近似成立的,這樣就為模型的合理性提供了依據(jù)。,三、模型的建立,1、分析問題,闡明建模的依據(jù)。不同性質(zhì)的問題需要采用不同的數(shù)學(xué)方法加以解決,建立什么樣的模型是由問題的本質(zhì)決定的。,例3.1、Logistic模型。資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大,即增長(zhǎng)率是人口數(shù)的減函數(shù)。最簡(jiǎn)單的假設(shè)是,例3.2CMCM-04B電力市場(chǎng)輸電阻塞模型關(guān)于有功潮流近似表達(dá)的確定,有一篇優(yōu)秀論文是怎樣分析的:根據(jù)功率疊加原理,我們認(rèn)為各線路上的有功潮流應(yīng)為各發(fā)電機(jī)組出力的線性組合。,隨機(jī)抽取兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。如線路1受機(jī)組1的影響,線路3受機(jī)組4的影響,可以發(fā)現(xiàn),有功潮流受到各機(jī)組的影響近似成線性關(guān)系。因此假設(shè)有功潮流關(guān)于各個(gè)機(jī)組出力的函數(shù)關(guān)系為,2.采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法建立模型主要有以下幾種類型(1)優(yōu)化模型根據(jù)已知信息,對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化,如費(fèi)用最小,時(shí)間最短等。如AMCM89B設(shè)計(jì)飛機(jī)排隊(duì)起飛的系統(tǒng),CMCM-96B節(jié)水洗衣機(jī),CMCM-010B鋼管訂購(gòu)和運(yùn)輸,等等。,一般分三種情況。1)給出了明確的優(yōu)化目標(biāo)2)有些問題本身的性質(zhì)(如圖與網(wǎng)絡(luò)中的NPC問題)決定了無法找到最優(yōu)解。應(yīng)從實(shí)際出發(fā),設(shè)計(jì)近似算法,使目標(biāo)盡可能優(yōu)化。3)沒有提出明確的優(yōu)化目標(biāo),應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要,提出合理的優(yōu)化目標(biāo)。,(2)微分方程模型所研究對(duì)象與已知因素之間的關(guān)系可以用微分方程的形式加以表示。如AMCM-85A動(dòng)物群體的增長(zhǎng)。CMCM-96A最優(yōu)捕魚策略等。這類模型的求解主要是利用所給數(shù)據(jù)確定模型參數(shù)。,(3)統(tǒng)計(jì)分析模型如AMCM-89A可以用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的Fisher判別法對(duì)蠓蟲加以分類。,(4)插值與擬合模型這是離散數(shù)據(jù)連續(xù)化處理時(shí)常用的方法。如AMCM-86A題海底地形的描繪,AMCM-91A水塔水流量的估計(jì)等。,(5)其它。如計(jì)算機(jī)模擬,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。,,大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題解題方法總結(jié),方法總結(jié):,用的最多的方法是:微分方程、優(yōu)化化方法和概率統(tǒng)計(jì)的方法.插值與擬合,隨機(jī)模擬在數(shù)據(jù)處理時(shí)很有必要?;疑到y(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊數(shù)學(xué)經(jīng)常被亂用。層次分析只能做半定量分析,3.創(chuàng)造性地改造已有模型。數(shù)學(xué)建模的問題一般來自解決的實(shí)際問題,沒有現(xiàn)成的模型可直接套,能否提出自己見解是評(píng)價(jià)一個(gè)數(shù)學(xué)模型優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)。因?yàn)闀r(shí)間和知識(shí)水平的限制,一般在現(xiàn)有的模型上對(duì)已有的模型進(jìn)行必要的修正,或者創(chuàng)造條件而使用這些模型。,例3.3:AMCM-96A,北卡羅米納隊(duì)利用等高線圖確定目標(biāo)的方法很有創(chuàng)造性,盡管有其他不足,仍被評(píng)為特獎(jiǎng)。,例3.5:CMCM-00A題DNA序列分類問題,需要做的是提DNA序列的分類特征。,例3.5減肥問題,在以下假設(shè)下:1、體重增加正比于吸收的熱量;2、代謝引起的體重減少正比于體重;3、運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重,且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)。得到下面的基本模型:,四、模型簡(jiǎn)化,根據(jù)賽題的實(shí)際情況,對(duì)建立的模型作出合理的簡(jiǎn)化是解決問題的關(guān)鍵。,例4.1CMCM-98B,,,根據(jù)題意,得到購(gòu)買Si的金額為xi的交易費(fèi)為,但因M相當(dāng)大,Si若被選中,其投資額xi一般都超過ui,交易費(fèi)可簡(jiǎn)化為,數(shù)學(xué)模型的建立是一個(gè)從實(shí)際——數(shù)學(xué)——實(shí)際的過程,用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象化描述后,可編寫計(jì)算機(jī)程序或運(yùn)用各種軟件包(Matlab,Mathematica,Lingo等是非常有用的數(shù)學(xué)軟件包)對(duì)模型進(jìn)行求解,得到數(shù)學(xué)結(jié)果之后,問題并未完全解決,前已述及,我們?cè)诮?shù)學(xué)模型的過程中,作了各種近似和簡(jiǎn)化,而且更重要的是,我們建立的數(shù)學(xué)模型僅用到了題中給出的數(shù)據(jù),因此,模型的結(jié)果是否具有實(shí)際意義或滿足實(shí)際要求,有待于細(xì)致的分析。,五、模型求解及結(jié)果的分析,一個(gè)最典型的例子是:AMCM-92A題——控制空中交通雷達(dá)發(fā)射功率的計(jì)算。,按照原題中給出的關(guān)于接收線路的靈敏度即對(duì)10微瓦的信號(hào)會(huì)作出反應(yīng),通過模型計(jì)算,對(duì)于大飛機(jī)(保證雷達(dá)反射截面大于75米2)而言,雷達(dá)發(fā)射功率為7.3106瓦,雖然很大,但還是可以達(dá)到。要控測(cè)到小飛機(jī)(雷達(dá)反射截面約為2米2),雷達(dá)需要的發(fā)射功率為2.61013瓦!這顯然是不合理的。,優(yōu)秀論文作者通過查閱資料,由1944年某雷達(dá)天線信噪比的數(shù)據(jù)算出,該雷達(dá)可以對(duì)瓦的信號(hào)作出反應(yīng),相比之下,本題所給的雷達(dá)的靈敏度就太差了,按照瓦的靈敏度重新計(jì)算,得到雷達(dá)的發(fā)射功率只需大于36千瓦即可,這就比較符合實(shí)際了,六、模型的檢驗(yàn),完成模型的設(shè)計(jì)及求解之后,我們還需要對(duì)模型的各種性能作出評(píng)價(jià),這就是模型的檢驗(yàn),它一般包括以下幾個(gè)方面:,1、穩(wěn)定性和敏感性分析數(shù)學(xué)模型它的價(jià)值在于能夠從已知的信息預(yù)測(cè)未知的東西,因此,一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型的結(jié)果對(duì)模型所依賴的數(shù)據(jù)有較好的穩(wěn)定性,這是其廣泛適用性的保證,以足球賽排名為例,用特征向量法求出排名結(jié)果后,隨意改變一兩場(chǎng)比賽結(jié)果,觀察排名結(jié)果的變動(dòng),發(fā)現(xiàn)變動(dòng)很小,說明該模型對(duì)原如數(shù)據(jù)有較好的穩(wěn)定性。,作為實(shí)際問題的一個(gè)近似描述,數(shù)學(xué)模型所預(yù)測(cè)的結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)總存在或多或少的偏差,這種偏差是來源于實(shí)驗(yàn)觀測(cè),還是由于模型的不完善造成的?為回答這個(gè)問題,應(yīng)該對(duì)殘差(模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差)的分布作統(tǒng)計(jì)分析。,如果殘差服從均值為0,且方差很小的正態(tài)分布,表示模型很好地反映了實(shí)際情況;如果殘差分布的均值不為0,則表明模型可能還需要進(jìn)一點(diǎn)修正。,2、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和誤差分析,以AMCM-90A題大腦藥物分布為例,優(yōu)秀論文作者先假設(shè)殘差服從正態(tài)分布,然后用顯著性水平a=0.01進(jìn)行檢驗(yàn),發(fā)現(xiàn)不能通過原假設(shè),隨后,又對(duì)對(duì)數(shù)殘差分別表示多巴胺濃度的觀測(cè)值和計(jì)算結(jié)果)進(jìn)行檢驗(yàn),結(jié)果表明模型預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在數(shù)量級(jí)上是保持一致的。,另一個(gè)重要的方面是,數(shù)據(jù)的測(cè)量中不可避免地存在的誤差,由于誤差的傳遞,模型結(jié)果(依賴于原始數(shù)據(jù))必然有一定的不準(zhǔn)確度,因此,估計(jì)結(jié)果的誤差范圍是必要的,這可以利用一般的誤差傳遞公式來計(jì)算,s為結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差,Si(i=1,2,…)是每個(gè)觀測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差,如AMCM-91A題對(duì)于水塔水流量的估計(jì),用上述方法很容易計(jì)算出用水量總標(biāo)準(zhǔn)偏差為7.3%,大約相當(dāng)于水塔容量的2.1%,數(shù)學(xué)建模即根據(jù)對(duì)實(shí)際問題的分析,提出新的模型或在原有一般模型的基礎(chǔ)上加以改進(jìn),將新建的模型與原來的模型進(jìn)行比較,可以判斷新模型是否具有更大的合理性和優(yōu)越性,,以CMCM-93B題(足球比賽的排名問題)為例,優(yōu)秀論文用計(jì)算機(jī)模擬的方法對(duì)積分法和特征向量法的排名結(jié)果與各隊(duì)強(qiáng)弱順序(事先設(shè)定)進(jìn)行比較,100次模擬的結(jié)果表明,特征向量法給出的結(jié)果的偏差明顯小于積分法的情況,顯示了所建模型的合理性的優(yōu)越性。,3、新舊模型的對(duì)比,MCM中的優(yōu)化模型常常是對(duì)一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),使之盡可能滿足實(shí)際要求,如AMCM-89B題緊急修復(fù)系統(tǒng)的研制都屬于這種類型,在完成系統(tǒng)的設(shè)計(jì)之后,最重要的事情是檢驗(yàn)?zāi)P驮趯?shí)際中的可行性和有效性,只有做到這一點(diǎn),才是一個(gè)運(yùn)籌學(xué)模型的真正完成,以飛機(jī)排隊(duì)模型為例,優(yōu)秀論文用線性規(guī)劃方法設(shè)計(jì)飛機(jī)排隊(duì)系統(tǒng)之后,為了解模型運(yùn)行的良好性,用計(jì)算機(jī)模擬的方法,產(chǎn)生各種情形,根據(jù)優(yōu)先排隊(duì)模型確定起飛次序,并觀察結(jié)果的合理性。,4、實(shí)際可行性檢驗(yàn),七、模型的改進(jìn)、推廣及優(yōu)缺點(diǎn)分析,在建立數(shù)學(xué)模型時(shí),一般先考慮主要因素建立模型,忽略一些次要因素以簡(jiǎn)化問題。,如AMCM-92A題,優(yōu)秀論文在設(shè)計(jì)雷達(dá)發(fā)射功率時(shí),進(jìn)一步考慮了出現(xiàn)雷雨天氣時(shí),雨滴對(duì)雷達(dá)所發(fā)射電磁波信號(hào)的消弱,從而得到更適用的雷達(dá)發(fā)射功率,又如對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),也應(yīng)考慮各種偶然事故或極端情況的出現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的影響,這樣既使模型更符合實(shí)際要求,也增加了模型的穩(wěn)定性。,模型的推廣是針對(duì)模型的適用性而言的,一個(gè)好的模型不應(yīng)該對(duì)題中所給數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)有過多的依賴性,正如一個(gè)好的程序總是將算法獨(dú)立于數(shù)據(jù)之外一樣,數(shù)學(xué)模型應(yīng)是對(duì)問題本質(zhì)的描述,另一方面,數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值取決于它的廣泛適用性,因此推廣所建立的模型是擴(kuò)大模型的應(yīng)用范圍,從而提高其使用價(jià)值,一般來說,可將模型中某些固定量改為可調(diào)性參數(shù)以擴(kuò)大其適用范圍,如CMCM-93B題足球賽排名,可將排名算法推廣到任意隊(duì)數(shù)、任意比賽數(shù)據(jù)的情形,這樣就大大提高了模型的應(yīng)用價(jià)值。,模型的推廣,模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析是對(duì)所建立模型特性和本質(zhì)的更深刻的認(rèn)識(shí),有的人將其誤認(rèn)為是對(duì)文章的自夸或自貶,這種觀點(diǎn)是不對(duì)的,一般而言,可以從模型精確性,實(shí)用性,對(duì)各種實(shí)際因素的考慮等方面對(duì)自己的模型進(jìn)行評(píng)價(jià)。值得指出的是,現(xiàn)有的模型僅依賴于題中信息,不合理性一般是難以避免的,闡明這些不合理之處,正是表明對(duì)問題本質(zhì)有著清醒的認(rèn)識(shí)。,模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析,- 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- 如何 建立 一個(gè) 數(shù)學(xué)模型
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