2019-2020年人教A版高中數學 高三一輪 三角函數與解三角形 3-1任意角、弧度制與任意角的三角函數《教案》.doc

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2019-2020年人教A版高中數學 高三一輪 三角函數與解三角形 3-1任意角、弧度制與任意角的三角函數《教案》 【教學目標】 1.了解任意角的概念； 2．了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化； 3．理解任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義。 【重點難點】 1.教學重點：任意角,弧度制和任意角三角函數的概念； 2.教學難點：學會對知識進行整理達到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力； 【教學策略與方法】 自主學習、小組討論法、師生互動法 【教學過程】 教學流程 教師活動 學生活動 設計意圖 考綱再現(xiàn): 考試內容 要求層次 了解 理解 掌握 任意角的概念和弧度制 √ 弧度與角度的互化 √ 任意角的正弦、余弦、正切定義 √ 用單位圓中的三角函數線表示正弦、余弦和正切 √ [考綱傳真]1.了解任意角的概念 2．了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化 3．理解任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義 從近五年高考情況來看，本課時在高考中一般不直接考查， 常與三角恒等變形進行綜合考查，但本講是學習后邊內容的基礎，是學好三角函數必須要掌握的基本內容. 真題再現(xiàn) 1. 【xx福建高考】若 ， 且 為第四象限角，則 的值等于（ ） 2.【xx課標卷Ⅰ】如圖所示，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點．角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M，將點M到直線OP的距離表示成x的函數f(x)，則y＝f(x)在[0，π]的圖象大致為(　　) 解析:以O為坐標原點，射線OA為x軸的正方向，坐系．則P(cosx，sinx)，M(cosx,0)，故M到直O(jiān)P的距離為f(x)＝|sinxcosx|＝|sin2x|，x∈[0，π]，故選B. 。 學生通過對高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學生通過對高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 通過對考綱的解讀和分析。讓學生明確考試要求，做到有的放矢 環(huán)節(jié)二： 知識梳理： 知識點1　角的有關概念 1．從運動的角度看，可分為正角、_____和______． 2．從終邊位置來看，可分為_______和軸線角． 3．若α與β角的終邊相同，則β用α表示為β＝α＋2kπ(k∈Z)． 知識點2　弧度的定義和公式 1．定義:長度等于_______的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad. 2.換算關系與相關公式 角α的弧度數公式 |α|＝(弧長用l表示) 角度與弧度的換算 1＝rad；1 rad＝ 弧長公式 弧長l＝|α|r 扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2 知識點3　任意角的三角函數 1).任意角的三角函數定義： 任意角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)時，sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x≠0). 2）.三角函數線 如下圖，設角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A(1,0)作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T. 名師點睛： 1．必會結論(1)象限角與軸線角 ①象限角： ②軸線角： (2)任意角三角函數的定義 設P(x，y)是角α終邊上異于頂點的任一點，其到原點O的距離為r，則sin α＝，cos α＝，tan α＝. 2．必清誤區(qū) (1)第一象限角、銳角、小于90的角是三個不同的概念，前者是象限角，后兩者是區(qū)間角． (2)角度制與弧度制可利用180＝π rad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用． 考點分項突破 考點一： 角的概念及其集合表示 1．終邊在直線y＝x上的角的集合是________． 【解析】　在(0，π)內終邊在直線y＝x上的角為， ∴終邊在直線y＝x上的角的集合為 2．若角θ的終邊與角的終邊相同，則在[0,2π]內終邊與角的終邊相同的角的個數為________． 【解析】　∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)， 依題意0≤＋≤2π，∴－≤k≤，∴k＝0,1,2，即在[0,2π]內與終邊相同的角為，，共三個． 跟蹤訓練1： 1.若角α的終邊和函數y＝－|x|的圖象重合，試寫出角的集合； 2.若θ角的終邊與168角的終邊相同，求在[0，360)內終邊與角的終邊相同的角 解析：1.由于y＝－|x|的圖象是三、四象限的角平分線， 故在0～360間所對應的兩個角分別為225及315，從而角α的集合為 S＝{α|α＝k?360＋225或α＝k?360＋315，k∈Z}． 解析2.:θ＝k360＋168，k∈Z，＝k120＋56，k∈Z.依題意得0≤k120＋56＜360，當k＝0,1,2時， k120＋56在[0，360)內，所以＝56，176，296. 歸納：1．終邊在某直線上角的求法步驟 (1)數形結合，在平面直角坐標系中畫出該直線． (2)按逆時針方向寫出[0,2π]內的角． (3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合．(4)求并集化簡集合． 2．確定kα，(k∈N*)的終邊位置的方法 先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍，再寫出kα或的范圍，然后根據k的可能取值討論確定kα或的終邊所在位置． 考點二: 扇形的弧長、面積公式 (1)若圓弧長度等于該圓內接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數是________． (2)已知扇形的圓心角是α，半徑是r，弧長為l， ①若α＝100，r＝2，求扇形的面積； ②若扇形的周長為20，求扇形面積的最大值，并求此時扇形圓心 【解析】　(1)設圓半徑為r，則圓內接正方形的對角線長為2r，∴正方形邊長為r，∴圓心角的弧度數是＝.角的弧度數． (2)①S＝lr＝αr2＝π4＝π， ②由題意知l＋2r＝20，即l＝20－2r，S＝lr＝(20－2r)r＝－(r－5)2＋25，當r＝5時，S的最大值為25. 當r＝5時，l＝20－25＝10，α＝＝2(rad)． 即扇形的面積最大值為25，此時扇形圓心角的弧度數為2 rad. 跟蹤訓練2： 1.　已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l. (1)若α＝60，R＝10 cm，求扇形的弧長l； (2)已知扇形的周長為10 cm，面積是4 cm2，求扇形的圓心角： (3)若扇形周長為20 cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個 扇形的面積最大？ 解　由已知得，l＋2R＝20. 當R＝5時，S取得最大值25，此時l＝10，α＝2. 2　已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對弧長是(　　) A．2　　　 B．sin2　　　 C.　　　 D．2sin1 解析：如圖，∠AOB＝2弧度，過O點作OC⊥AB于C，并延長OC交于D.∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且 AC＝AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝＝， 從而弧AB的長為l＝|α|R＝.故選C. 歸納：弧度制下有關弧長、扇形面積問題的解題策略 1．明確弧度制下弧長公式l＝αr，扇形的面積公式是S＝lr＝αr2(其中l(wèi)是扇形的弧長，α是扇形的圓心角)． 2．求扇形面積的關鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量． 考點三：三角函數的定義 ●命題角度1　利用三角函數的定義求三角函數值 1．已知角α的終邊經過點(－4,3)，則cos α＝(　　) A.　　　 B.　　　C．－　　 D．－ 【解析】　因為角α的終邊經過點(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cos α＝＝－. 2．若角θ的終邊經過點P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，則cos θ的值為________． 【解析】　由題意知r＝，∴sin θ＝＝m，∵m≠0，∴m＝，∴r＝＝2， ∴cos θ＝＝. ●命題角度2　利用三角函數的定義求點的坐標 3．點P從(0,1)出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q點的坐標為________． 【解析】　由三角函數定義可知Q點的坐標(x，y)滿足x＝cos π＝－，y＝sin π＝－，∴Q. 4．已知角α的始邊與x軸的正半軸重合，頂點在坐標原點，角α終邊上的一點P到原點的距離為，若α＝，則點P的坐標為________． 【解析】　設P點坐標為(x，y)，由題意知x＝cos，y＝sin，∴P點坐標為(1,1)． ●命題角度3　利用三角函數線解三角不等式 5.在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍， 并由此寫出角α的集合：sinα≥ 解析：作直線y＝交單位圓于A、B兩點，連結OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域即為角α的終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋π，k∈Z}． 跟蹤訓練3： 1. 設90＜α＜180，角α的終邊上一點為P(x，)， 且cosα＝x，求sinα與tanα的值； 解析：∵r＝，∴cosα＝， 從而x＝，解得x＝0或x＝. ∵90＜α＜180，∴x＜0，因此x＝－. 故r＝2，sinα＝＝，tanα＝＝－. 2．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點A，點A的縱坐標為，則cosα＝______. 解析：由題意可得，點A的橫坐標為 －，由三角函數的定義得cosα＝－. 3. 如果點P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是(　　) A． 第一象限　　 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 解析：3. 因為點P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限， 所以sinθcosθ＜0,2cosθ＜0，即所以θ為第二象限角，選B. 4.在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍， 并由此寫出角α的 解：作直線x＝－交單位圓于C、D兩點，連結OC,OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合{α|2kπ＋π≤α≤2kπ＋π，k∈Z}． 集合：cosα≤－. 歸納：三角函數定義的應用方法 1．已知角α終邊上一點P的坐標，可求角α的三角函數值．先求P到原點的距離，再用三角函數的定義求解． 2．已知角α的某三角函數值，可求角α終邊上一點P的坐標中的參數值，可根據定義中的兩個量列方程求參數值． 3．已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據三角函數的定義可求角α終邊上某特定點的坐標． 4. 單位圓及三角函數線,體現(xiàn)了數形結合的數學思想方法． 引導學生通過對基礎知識的逐點掃描，來澄清概念，加強理解。從而為后面的練習奠定基礎. 在解題中注意引導學生自主分析和解決問題，教師及時點撥從而提高學生的解題能力和興趣。 教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構。 通過跟蹤訓練，來鍛煉學生獨立解決問題的能力，到底知識和能力的內化。 教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構。 教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構。 通過跟蹤訓練，來鍛煉學生獨立解決問題的能力，到底知識和能力的內化。 教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構。 由常見問題的解決和總結，使學生形成解題模塊，提高模式識別能力和解題效率。 教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構。 引導學生對所學的知識進行小結，由利于學生對已有的知識結構進行編碼處理，加強理解記憶，提高解題技能。 環(huán)節(jié)三： 課堂小結： 1．認真分析題意，合理選擇數學模型是解決應用問題的基礎； 2．實際問題中往往解決一些最值問題，我們可以利用二次函數的最值、函數的單調性、基本不等式、導數等求得最值． 3．函數模型應用不當是常見的解題錯誤．所以，正確理解題意，選擇適當的函數模型是正確解決這類問題的前提和基礎． 4．要特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數的定義域． 5．注意問題反饋．在解決函數模型后，必須驗證這個數學結果對實際問題的合理性． 學生回顧，總結. 引導學生對學習過程進行反思，為在今后的學習中，進行有效調控打下良好的基礎。 環(huán)節(jié)四： 課后作業(yè)：學生版練與測 學生通過作業(yè)進行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學的知識。