空間幾何體的表面積與體積2013屆高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)回歸總復(fù)習(xí).ppt
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第四十四講空間幾何體的表面積與體積,回歸課本,1.柱體、錐體、臺體的側(cè)面積,就是各側(cè)面面積之和,表面積是各個(gè)面的面積之和,即側(cè)面積與底面積之和.2.把柱體、錐體、臺體的面展開成一個(gè)平面圖形,稱為它的展開圖,它的表面積就是展開圖的面積.,3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積及表面積S圓柱側(cè)=2πrl,S柱=2πr(r+l);S圓錐側(cè)=πrl,S錐=πr(r+l);S圓臺側(cè)=π(r′+r)l,S臺=π(r′2+r2+r′l+rl).,4.柱、錐、臺體的體積V長方體=abc,V正方體=a3,V柱=Sh,V錐=,V臺=(S′+S+)h.這是柱體?錐體?臺體統(tǒng)一計(jì)算公式,特別的圓柱?圓錐?圓臺還可以分別寫成:V圓柱=πr2h,V圓錐=πr2h,V圓臺=πh(r′2+r′r+r2).,5.球的體積及球的表面積設(shè)球的半徑為R,V球=πR3,S球=4πR2.,考點(diǎn)陪練,答案:D,2.圓臺上、下底面面積分別是π、4π,側(cè)面積是6π,這個(gè)圓臺的體積是(),答案:D,3.用與球心距離為1的平面去截球,所得的截面面積為π,則球的體積為(),答案:B,4.(2010廣州一模)如果一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示(單位長度:cm),則此幾何體的表面積是()A.(80+16)cm2B.96cm2C.(96+16)cm2D.112cm2,解析:將幾何體還原,如圖:該幾何體是由邊長為4的正方體和一個(gè)底面邊長為4高為2的正四棱錐構(gòu)成的,在正四棱錐中,可得,四棱錐的表面積為S1=44正方體除去一個(gè)面的表面積為S2=542=80,所以此幾何體的表面積答案:A,5.(2010山東臨沂二模)有一個(gè)正三棱柱,其三視圖如圖,則其體積等于(),解析:由圖知該幾何體為底面為正三角形的三棱柱,底面三角形高為2,三棱柱的高為故體積為答案:D,類型一棱柱?棱錐?棱臺的表面積?體積解題準(zhǔn)備:求解有關(guān)多面體表面積問題的關(guān)鍵是利用幾何圖形的性質(zhì)找到其特征幾何圖形,從而體現(xiàn)出高、斜高、邊長等幾何元素間的關(guān)系,如棱柱的矩形、棱錐中的直角三角形、棱臺中的直角梯形等.,1.柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系,可表示為,2.解決不規(guī)則幾何體的問題應(yīng)注意應(yīng)用以下方法:(1)幾何體的“分割”依據(jù)已知幾何體的特征,將其分割成若干個(gè)易于求體積的幾何體,進(jìn)而求解.(2)幾何體的“補(bǔ)形”有時(shí)為了計(jì)算方便,可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體,如長方體、正方體等.,【典例1】如圖,三棱柱ABC—A1B1C1中,若E?F分別為AB?AC的中點(diǎn),平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1?V2的兩部分,那么V1：V2=________.,[解析]設(shè)三棱柱的高為h,上下底的面積為S,體積為V,則V=V1+V2=Sh.∵E?F分別為AB?AC的中點(diǎn),,[答案]7：5.,類型二圓柱、圓錐、圓臺的表面積、體積解題準(zhǔn)備:1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的面積,因此弄清側(cè)面展開圖的形狀及側(cè)面展開圖中各線段與原幾何體的關(guān)系是掌握它們的面積公式及解決相關(guān)問題的關(guān)鍵.,2.計(jì)算柱體、錐體、臺體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高,要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.,【典例2】已知底面半徑為,母線長為的圓柱,挖去一個(gè)以圓柱上底面圓心為頂點(diǎn),下底面為底面的圓錐,求所得幾何體的表面積和體積.,[解]如圖,圓柱一個(gè)底面的面積為S底=πr2=π?()2=3π(cm3).圓柱側(cè)面面積為:S柱側(cè)=2ππ(cm2).所挖圓錐的母線長為=3(cm).,類型三球的表面積、體積解題準(zhǔn)備:球的表面積與體積都只與半徑R有關(guān),是以R為自變量的函數(shù),一個(gè)球的半徑給定,它的表面積、體積隨之確定,反過來,給定一個(gè)球的表面積或體積,這個(gè)球的半徑也就確定了.,【典例3】如圖,正三棱錐的高為1,底面邊長為內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切.求:(1)棱錐的全面積;(2)內(nèi)切球的表面積與體積.,(2)設(shè)正三棱錐P—ABC的內(nèi)切球球心為O,連接OP?OA?OB?OC,而O點(diǎn)到三棱錐的四個(gè)面的距離都為球的半徑r.∴VP—ABC=VO—PAB+VO—PBC+VO—PAC+VO—ABC,類型四由幾何體的三視圖求幾何體的表面積與體積解題準(zhǔn)備:已知空間幾何體的三視圖求表面積?體積是高考考查的熱點(diǎn),對三視圖的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面的應(yīng)用:一是數(shù)據(jù)的給出,通過三視圖的長?寬?高對應(yīng)出空間幾何體的相關(guān)長?寬?高,從而求表面積和體積,但是要注意三視圖中的數(shù)據(jù)與原幾何體中的數(shù)據(jù)不一定一一對應(yīng),識圖時(shí)注意甄別.二是揭示空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征.包括幾何體的形狀,平行垂直等結(jié)構(gòu)特征,這些正是數(shù)據(jù)運(yùn)算的依據(jù).,【典例4】一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位:m):(1)試畫出它的直觀圖;(2)求它的表面積和體積.,[分析]由三視圖,正確的畫出幾何體的直觀圖,確定幾何體中線段的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.,[解](1)直觀圖如圖所示.,(2)解法一:由三視圖可知該幾何體是長方體被截去一個(gè)角,且該幾何體的體積是以A1A,A1D1,A1B1為棱的長方體的體積的在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1,則AA1EB是正方形,∴AA1=BE=1在Rt△BEB1中,BE=1,EB1=1∴BB1=,∴幾何體的表面積S=S正方形AA1D1D+2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方形ABCD+S矩形A1B1C1D1=1+2(1+2)1+1+1+12=7+(m2).∴幾何體的體積V=121=(m3),∴該幾何體的表面積為(7+)m2,體積為m3.,解法二:幾何體也可以看作是以AA1B1B為底面的直四棱柱,其表面積求法同解法一,V直四棱柱D1C1CD—A1B1BA=Sh=(1+2)11=(m2).∴幾何體的表面積為(7+)m2,體積為m3.,[反思感悟](1)由三視圖畫幾何體的直觀圖,掌握“長對正、寬相等,高平齊”的規(guī)則,是確定幾何體特征的關(guān)鍵.(2)把不規(guī)則幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則幾何體或者是補(bǔ)上一部分使之成為規(guī)則幾何體,是求不規(guī)則幾何體常用方法.,錯(cuò)源一問題考慮不全【典例1】是否存在這樣的球,在該球內(nèi)有距離為3的兩個(gè)平行截面且截面的面積分別為5π和8π?若存在,求出球面的表面積;若不存在,請說明理由.,[錯(cuò)解]假設(shè)存在滿足題意的球,過圓心與截面的圓心作球的軸截面,如圖.圓O是球的大圓,A1B1,A2B2分別是兩個(gè)平行截面圓的直徑,C1,C2分別是兩個(gè)截面圓的圓心,設(shè)兩截面圓的半徑分別為r1,r2,(r1>r2),由題意可得又此方程無解,所以滿足題意的球不存在.,[剖析]錯(cuò)解只考慮了兩個(gè)平行截面都在球心同一側(cè)的情形,事實(shí)上兩個(gè)平行截面不一定都在球心的同一側(cè).,[正解]假設(shè)存在滿足題意的球.,(1)如果兩個(gè)平行截面都在球心的同一側(cè),則解法同錯(cuò)解.(2)如果兩個(gè)平行截面在球心兩側(cè),過圓心與截面的圓心作球的軸截面,如圖.圓O是球的大圓,A1B1,A2B2分別是兩個(gè)平行截面圓的直徑,C1,C2分別是兩個(gè)截面圓的圓心,設(shè)兩截面圓的半徑分別為r1,r2(r1下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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