蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件11.1合情推理與演繹推理.ppt

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理解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用/了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進(jìn)行簡單推理/了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．,第十一知識塊推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第1課時合情推理與演繹推理,合情推理與演繹推理是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是高考重點考查的內(nèi)容之一，幾乎每年都有涉及，主要以填空題的形式出現(xiàn)，考查歸納推理和類比推理的運用以及同學(xué)們的邏輯推理能力．,【命題預(yù)測】,1．在歸納推理中，前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，在前提真實的情況下，結(jié)論未必真．運用歸納推理的一般步驟是：首先，通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律)；然后，把這種相似性推廣為一個明確表述的一般規(guī)律(猜想)；最后，對所得出的一般性命題進(jìn)行檢驗．2．運用類比推理，不僅可以跨越各類事物的界限，進(jìn)行不同事物的對比，而且可以比較事物的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，同時，類比推理比歸納推理更富有想象，因而也更具有創(chuàng)造性．在進(jìn)行類比時要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表現(xiàn)象迷惑，否則，只抓住一點表面的相似甚至假象就去類比，就會犯機(jī)械類比的錯誤．,【應(yīng)試對策】,3．演繹推理是數(shù)學(xué)證明中的基本推理形式，只要前提正確，推理形式正確，得到的結(jié)論就正確．在數(shù)學(xué)中，合情推理為我們猜想、發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律提供依據(jù)和方法，演繹推理用于證明這些猜想、發(fā)現(xiàn)是否為真，但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理，因此，我們不僅要學(xué)會證明，也要學(xué)會猜想．4．在推理論證的過程中，一個稍復(fù)雜的證明題經(jīng)常要由幾個三段論式才能完成，大前提通常省略不寫，或者寫在結(jié)論后面的小括號內(nèi)，小前提有時也可以省去，而采取某種簡明的格式．,合情推理的應(yīng)用合情推理主要包括歸納推理和類比推理．在數(shù)學(xué)研究中，在得到一個新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向．(2)合情推理的過程概括為：,【知識拓展】,,(3)合情推理是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式．在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)表結(jié)論，探索和提供思路的作用．有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)．在能力高考的要求下，推理方法顯得更加重要．在復(fù)習(xí)中要把推理方法形成自己的解決問題的意識，使得問題的解決有章有法，得心應(yīng)手．,[注意](1)歸納推理分為完全歸納和不完全歸納，由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識功能，對科學(xué)的發(fā)現(xiàn)是十分有用的．觀察、實驗，對有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的說法，乃是科學(xué)研究的最基本的方法之一．(2)類比推理是根據(jù)兩個對象有一部分屬性類似，推出這兩個對象的其他屬性亦類似的一種推理方法，例如我們拿分式同分?jǐn)?shù)來類比，平面幾何與立體幾何中的某些對象類比等．我們必須清楚類比并不是論證，它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)真理．,1．歸納推理(1)歸納推理的定義從個別事實中推演出的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理．(2)歸納推理的思維過程大致如圖,一般,2．類比推理(1)根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也具有相同或，這樣的推理稱為類比推理．(2)類比推理的思維過程是：思考：歸納推理和類比推理的特點與區(qū)別是什么？提示：兩種推理的特點與區(qū)別：類比推理和歸納推理的結(jié)論都是有待于證明的．歸納推理是由特殊到一般的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理．,相似的性質(zhì),3．演繹推理(1)演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等)，按照嚴(yán)格的步驟得到的推理過程．(2)主要形式是三段論式推理．(3)三段論的常用格式為M－P(M是P)①,新結(jié)論,②S－P(S是P)③其中，①是，它提供了一個一般性的原理；②是，它指出了一個特殊對象；③是，它是根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷．,,S－M(S是M),大前提,小前提,結(jié)論,1．(江蘇省高考名校聯(lián)考信息優(yōu)化卷)已知如下結(jié)論：“等邊三角形內(nèi)任意一點到各邊的距離之和等于此三角形的高”，將結(jié)論拓展到空間中的正四面體(棱長都相等的三棱錐)，可得出的正確結(jié)論是：________.答案：正四面體內(nèi)任意一點到各個面的距離之和等于此正四面體的高,2．“金導(dǎo)電、銀導(dǎo)電、銅導(dǎo)電、錫導(dǎo)電，所以一切金屬都導(dǎo)電”．此推理方法是________．解析：由特殊到一般的推理．答案：歸納推理,3．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形(如圖)：試求第七個三角形數(shù)是________．解析：第七個三角形數(shù)為：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.答案：28,4．一切奇數(shù)都不能被2整除，2100＋1是奇數(shù)，所以2100＋1不能被2整除，其演繹推理的“三段論”的形式為________．答案：一切奇數(shù)都不能被2整除，……(大前提),2100＋1是奇數(shù)，……(小前提)，∴2100＋1不能被2整除．……(結(jié)論),5．函數(shù)f(x)由下表定義：若a1＝1，a2＝5，an＋2＝f(an)(n∈N＋)，則a2011的值是________．解析：∵a1＝1，a2＝5，an＋2＝f(an)(n∈N＋)，a3＝f(a1)＝f(1)＝3，∴a4＝f(a2)＝f(5)＝1，a5＝f(a3)＝f(3)＝5，由此可知，數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列，∴a2011＝a6703＋1＝a1＝1，故應(yīng)填1.答案：1,1．歸納推理的特點：(1)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍．(2)歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗或試驗的基礎(chǔ)之上的．2．歸納推理的一般步驟：(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì)．(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題．,解：在{an}中，a1＝1，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝，…，所以猜想{an}的通項公式an＝.證明如下：因為a1＝1，an＋1＝，所以，即－，所以是以＝1為首項，公差為的等差數(shù)列，所以，所以通項公式an＝.,【例1】在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N*，猜想這個數(shù)列的通項公式．思路點撥：根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系，先求出數(shù)列的前幾項，然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律，寫出其通項公式．,變式1：(江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷)將正奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，則第21行從左向右的第5個數(shù)為________．,解析：前20行共有正奇數(shù)1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(個)，則第21行從左向右的第5個數(shù)是第405個正奇數(shù)，所以這個數(shù)是2405－1＝809.答案：809,1．類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟是：(1)找出兩類事物之的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)．2．類比是科學(xué)研究最普遍的方法之一．在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開拓新領(lǐng)域和創(chuàng)造新分支的重要手段．類比在數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛．?dāng)?shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、有限與無限之間有不少結(jié)論，都是先用類比法猜想，而后加以證明的．,【例2】已知圓的方程是x2＋y2＝r2(r＞0)，則經(jīng)過圓上一點M(x0，y0)的切線方程為x0 x＋y0y＝r2.類比上述性質(zhì)，可以得到橢圓＋＝1(a＞b＞0)類似的性質(zhì)為________．,思路點撥：由圓的切線方程與圓的方程的對比，猜想橢圓上一點的切線方程．,過橢圓上一點P(x0，y0)的切線方程為＝1.答案：過橢圓＝1(a＞b＞0)上一點P(x0，y0)的切線方程＝1,解析：圓的性質(zhì)中，經(jīng)過圓上一點M(x0，y0)的切線方程就是將圓的方程中的一個x與y分別用M(x0，y0)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)替換．故可得橢圓＝1類似的性質(zhì)為：,M2與點N1、N2，則三角形面積之比為：若從點O所作的不在同一個平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上分別有點P1、P2與點Q1、Q2和R1、R2，則類似的結(jié)論為：________.答案：,變式2：(江蘇靖江調(diào)研)若從點O所作的兩條射線OM、ON上分別有點M1、,,,,,,在數(shù)學(xué)中，合情推理為我們猜想、發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律提供依據(jù)和方法，演繹推理則用于證明這些猜想、發(fā)現(xiàn)是否為真，但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理，因此，我們不僅要學(xué)會證明，而且也要學(xué)會猜想．,【例3】如圖，已知O是△ABC內(nèi)任意一點，連接AO，BO，CO，并延長交對邊于A′，B′，C′，則.這是平面幾何中的一個結(jié)論，其證明常采用“面積法”：.運用類比推理猜想，對于空間中的四面體V—BCD，存在什么類似的結(jié)論，并用“體積法”證明．,思路點撥：將邊長擴(kuò)展為面積，將面積擴(kuò)展為體積，即可得到一個類似的結(jié)論和證法．,解：如圖，設(shè)O為四面體V—BCD內(nèi)任意一點，連接VO，BO，CO，DO，并延長交對面于V′，B′，C′，D′.類比關(guān)系為.類比平面幾何中的“面積法”，可用“體積法”來證明．(其中h′，h為兩個四面體的高)，同理，,變式3：在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：，那么在四面體A－BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由．,證明：圖(1)如圖(1)所示，由射影定理AD2＝BDDC，AB2＝BDBC，AC2＝BCDC，∴又BC2＝AB2＋AC2，所以,猜想：類比AB⊥AC，AD⊥BC猜想四面體A－BCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則＝,如圖(2)，連接BE交CD于F，連接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF?面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴.∴故猜想正確．,1．合情推理主要包括歸納推理和類比推理．?dāng)?shù)學(xué)研究中，在得到一個新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向．2．合情推理的過程概括為：,【規(guī)律方法總結(jié)】,3．演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論．?dāng)?shù)學(xué)問題的證明主要通過演繹推理來進(jìn)行．4．合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定真．但合情推理常常幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，為我們提供證明的思路和方法．而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下)；5．在數(shù)學(xué)中，證明命題的正確性都是使用演繹推理，而合情推理不能用作證明.,【例4】在平面上，設(shè)ha，hb，hc是三角形ABC三條邊上的高，P為三角形內(nèi)任一點，P到相應(yīng)三邊的距離分別為Pa，Pb，Pc，我們可以得到結(jié)論：把它類比到空間，寫出三棱錐中的類似結(jié)論________．,【錯因分析】,從平面到空間的類比時缺乏對應(yīng)特點的分析，在三角形中是其內(nèi)一點到各邊的距離與該邊上的高的比值之和等于1，類比到空間就應(yīng)該是三棱錐內(nèi)一點到各個面的距離與該面上高的比值之和等于1.本題如果不考慮比值的特點，就可能誤以為類比到空間后是面積之比等，從而得到一些錯誤的類比結(jié)論．,【答題模板】,解：設(shè)ha，hb，hc，hd分別是三棱錐A—BCD四個面上的高，P為三棱錐A—BCD內(nèi)任一點，P到相應(yīng)四個面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd，于是我們可以得到結(jié)論：,【狀元筆記】,類比推理是一種由此及彼的合情推理，“合乎情理”是這種推理的特征，一般的解答思路是進(jìn)行對應(yīng)的類比，如平面上的三角形對應(yīng)空間的三棱錐(四面體)，平面上的面積對應(yīng)于空間的體積等．類比推理得到的結(jié)論不一定正確，故這類題目在得到類比的結(jié)論后，還要對類比結(jié)論的正確性作出證明，例如本題中在三角形中的結(jié)論是采用等面積法得到的，在三棱錐中就可以根據(jù)等體積法得到，這樣不但寫出了類比的結(jié)論，并且這個結(jié)論還是一個正確的結(jié)論.,1．若記號“”表示兩個實數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)的運算，即則兩邊均含有運算符號“”和“＋”，且對于任意三個實數(shù)a，b，c都能成立的一個等式可以是________．,分析：由于本題是探索性和開放性問題，問題的解決需要經(jīng)過一定的探索過程，并且答案不唯一．,2．指出下列推理的兩個步驟分別遵循哪種推理規(guī)則：如右圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，BC＝AD.又∵△ABC和△CDA的三邊對應(yīng)相等，∴△ABC≌△CDA.分析：在推理論證的過程中，一個稍復(fù)雜的證明題經(jīng)常要由幾個三段論式才能完成，大前提通常省略不寫，或者寫在結(jié)論后面的括號內(nèi)，小前提有時也可以省去，而采用某種簡明的推理格式．,解：這個證明過程包含著兩個三段論推理，在第一個推理中，暗示著一個一般性原理“平行四邊形的對邊相等”，這個已被證明了的一般定理是大前提，“四邊形ABCD是平行四邊形”是小前提，把一般性原理用于前面的具體情況，于是得到結(jié)論“AB＝CD，BC＝AD”；在第二個推理中，大前提是已被證明了的一般定理“有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等”，小前提是AB＝CD，BC＝AD，AC＝CA，結(jié)論是△ABC≌△CDA.,