2019屆九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 小專題（七）與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明練習(xí) （新版）湘教版.doc

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小專題(七)　與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明 1．如圖，已知Rt△ABC，∠ABC＝90，以直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點(diǎn)D，連接BD.取BC的中點(diǎn)E，連接ED，求證：ED與⊙O相切． 證明：連接OD. ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠BDO. ∵AB是直徑(已知)， ∴∠ADB＝90. ∴∠ADB＝∠BDC＝90. 在Rt△BDC中，E是BC的中點(diǎn)， ∴BE＝CE＝DE.∴∠DBE＝∠BDE. 又∵∠ABC＝∠OBD＋∠DBE＝90， ∴∠ODE＝∠BDO＋∠BDE＝90. ∵OD是⊙O的半徑， ∴ED與⊙O相切． 2．如圖，四邊形ABCD為菱形，△ABD的外接圓⊙O與CD相切于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E. (1)判斷⊙O與BC的位置關(guān)系，并說明理由； (2)若CE＝2，求⊙O的半徑r. 解：(1)⊙O與BC相切． 理由：連接OD，OB， ∵⊙O與CD相切于點(diǎn)D， ∴OD⊥CD，∠ODC＝90. ∵四邊形ABCD為菱形， ∴AD＝CD＝CB. ∵OD＝OB，OC＝OC，CB＝CD. ∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC＝∠ODC＝90. 又∵OB為半徑，∴⊙O與BC相切． (2)∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD. ∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∵∠COD＝∠OAD＋∠ADO， ∴∠COD＝2∠ACD. 又∵∠COD＋∠ACD＝90， ∴∠ACD＝30.∴OD＝OC， 即r＝(r＋2)． ∴r＝2. 3．如圖，已知AB是⊙O的直徑，且AB＝12，AP是半圓的切線，點(diǎn)C是半圓上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，過點(diǎn)C作CD⊥AP于點(diǎn)D，記∠COA＝α. (1)當(dāng)α＝60時(shí)，求CD的長； (2)當(dāng)α為何值時(shí)，CD與⊙O相切？說明理由． 解：(1)過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E. 在Rt△OCE中， OE＝OCcos∠COA ＝6＝3， 則CD＝OA－OE＝6－3＝3. (2)當(dāng)∠α＝90時(shí)，CD與⊙O相切． 理由：∠α＝90，則在四邊形OCDA中， ∠COA＝∠OAD＝∠CDA＝90， ∴∠OCD＝90. ∴OC⊥CD. 又∵OC是⊙O的半徑， ∴CD是⊙O的切線． 4．(xx宿遷)如圖，AB，AC分別是⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點(diǎn)D.過點(diǎn)A作⊙O的切線與OD的延長線交于點(diǎn)P，PC，AB的延長線交于點(diǎn)F. (1)求證：PC是半圓O的切線； (2)若∠ABC＝60，AB＝10，求線段BF的長． 解：(1)證明：連接OC. ∵OD⊥AC，OD經(jīng)過圓心O， ∴AD＝CD.∴PA＝PC. 在△OAP和△OCP中， ∴△OAP≌△OCP(SSS)． ∴∠OAP＝∠OCP. ∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP＝90. ∴∠OCP＝90，即OC⊥PC. 又∵OC是⊙O的半徑， ∴PC是⊙O的切線． (2)∵OB＝OC，∠OBC＝60， ∴△OBC是等邊三角形． ∴∠COB＝60. ∵AB＝10，∴OC＝5. 由(1)知，∠OCF＝90， ∴CF＝OCtan∠COB＝5. 5．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點(diǎn)P，OF∥BC交AC于點(diǎn)E，交PC于點(diǎn)F，連接AF. (1)判斷AF與⊙O的位置關(guān)系并說明理由； (2)若AC＝24，AF＝15，求⊙O的半徑． 解：(1)AF與⊙O相切．理由如下： 連接OC， ∵PC是⊙O的切線，∴OC⊥PC. ∴∠OCF＝90. ∵OF∥BC， ∴∠B＝∠AOF，∠OCB＝∠COF. ∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB. ∴∠AOF＝∠COF. 在△OAF和△OCF中， ∴△OAF≌△OCF(SAS)． ∴∠OAF＝∠OCF＝90. 又∵OA是⊙O的半徑， ∴AF與⊙O相切． (2)∵△OAF≌△OCF，∴∠AOE＝∠COE. ∴OE⊥AC，AE＝AC＝12. ∴EF＝＝9. ∵∠OAF＝90，∴△OAE∽△AFE. ∴＝，即＝， ∴OA＝20，即⊙O的半徑為20. 6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB，DC，DF. (1)求∠CDE的度數(shù)； (2)求證：DF是⊙O的切線； (3)若AC＝2DE，求tan∠ABD的值． 解：(1)∵AC為⊙O的直徑， ∴∠ADC＝90. ∴∠CDE＝90. (2)證明：連接OD. ∵∠CDE＝90，F(xiàn)為CE中點(diǎn)， ∴DF＝CE＝CF. ∴∠FDC＝∠FCD. 又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD. ∴∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD. ∴∠ODF＝∠OCF. ∵EC⊥AC，∴∠OCF＝90. ∴∠ODF＝90. ∵DO是⊙O的半徑， ∴DF為⊙O切線． (3)在△ACD與△ACE中，∠ADC＝∠ACE＝90，∠EAC＝∠CAD，∴△ACD∽△AEC. ∴＝.∴AC2＝ADAE. 又AC＝2DE，∴20DE2＝(AE－DE)AE. ∴(AE－5DE)(AE＋4DE)＝0. ∴AE＝5DE，AD＝4DE. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，∴CD＝2DE. 又∵∠ABD＝∠ACD， ∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2. 7．如圖，已知以Rt△ABC的邊AC為直徑作⊙O交斜邊AB于點(diǎn)E，連接EO并延長交BC的延長線于點(diǎn)D，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF. (1)求證：EF是⊙O的切線； (2)若⊙O的半徑為3，∠EAC＝60，求AD的長． 解：(1)證明：連接FO，易證OF∥AB. ∵AC為⊙O的直徑， ∴CE⊥AE. ∵OF∥AB， ∴OF⊥CE. ∵OE＝OC， ∴OF所在直線垂直平分CE. ∴FC＝FE. ∴∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE. ∵∠ACB＝90， ∴∠OCE＋∠FCE＝90. ∴∠OEC＋∠FEC＝90，即∠FEO＝90. 又∵OE是⊙O的半徑， ∴FE為⊙O的切線． (2)∵⊙O的半徑為3，∴AO＝CO＝EO＝3. ∵∠EAC＝60，OA＝OE，∴∠EOA＝60. ∴∠COD＝∠EOA＝60. ∵在Rt△OCD中，∠COD＝60，OC＝3， ∴CD＝3. ∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90，CD＝3，AC＝6， ∴AD＝＝3.