七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 培優(yōu)新幫手 專題21 從不同的方向看試題 （新版）新人教版.doc

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21　從不同的方向看 閱讀與思考 20世紀(jì)初，偉大的法國(guó)建筑家列柯?tīng)柌R曾說(shuō)：“我想，到目前為止，我們從沒(méi)有生活在這樣的幾何時(shí)期，周圍的一切都是幾何學(xué)．” 生活中蘊(yùn)含著豐富的幾何圖形，圓的月亮，平的湖面，直的樹(shù)干，造型奇特的建筑，不斷移動(dòng)、反轉(zhuǎn)、放大縮小的電視畫面……圖形有的是立體的，有的是平面的，立體圖形與平面圖形之間的聯(lián)系，從以下方面得以體現(xiàn)： 1．立體圖形的展開(kāi)與折疊； 2．從各個(gè)角度觀察立體圖形； 3．用平面去截立體圖形． 觀察歸納、操作實(shí)驗(yàn)、展開(kāi)想象、推理論證是探索圖形世界的基本方法． 例題與求解 【例1】如圖是一個(gè)正方體表面展開(kāi)圖，如果正方體相對(duì)的面上標(biāo)注的值相等，那么＝＿＿＿＿． （四川省中考試題） 解題思路：展開(kāi)與折疊是兩個(gè)步驟相反的過(guò)程，從折疊還原成正方體入手． 【例2】如圖，是由一些完全相同的小立方塊搭成的幾何體的三種視圖，那么搭成這個(gè)幾何體所用的小立方塊的個(gè)數(shù)是（　?。? 主視圖 左視圖 俯視圖 A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè) （四川省成都中考試題） 解題思路：根據(jù)三視圖和幾何體的關(guān)系，分別確定該幾何體的列數(shù)和每一列的層數(shù)． 【例3】由一些大小相同的小正方體組成的簡(jiǎn)單幾何體的主視圖和俯視圖如圖． （1）請(qǐng)你畫出這個(gè)幾何體的一種左視圖； （2）若組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為，求的值． 俯視圖 主視圖 （貴州省貴陽(yáng)市課改實(shí)驗(yàn)區(qū)中考試題） 解題思路：本例可以在“腦子”中想象完成，也可以用實(shí)物擺一擺．從操作實(shí)驗(yàn)入手，從俯視圖可推斷左視圖只能有兩列，由主視圖分析出俯視圖每一列小正方形的塊數(shù)情況是解本例的關(guān)鍵，而有序思考、分類討論，則可避免重復(fù)與遺漏． 【例4】如圖是由若干個(gè)正方體形狀木塊堆成的，平放于桌面上．其中，上面正方體的下底面四個(gè)頂點(diǎn)恰是下面相鄰正方體的上底面各邊的中點(diǎn)，如果最下面的正方體的棱長(zhǎng)為1，且這些正方體露在外面的面積和超過(guò)8，那么正方體的個(gè)數(shù)至少是多少？按此規(guī)律堆下去，這些正方體露在外面的面積和的最大值是多少？ （江蘇省常州市中考試題） 解題思路：所有正方體側(cè)面面積和再加上所有正方體上面露出的面積和，就是所求的面積．從簡(jiǎn)單入手，歸納規(guī)律． 【例5】把一個(gè)正方體分割成49個(gè)小正方體（小正方體大小可以不等），請(qǐng)畫圖表示． （江城國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 解題思路：本例是一道圖形分割問(wèn)題，解答本例需要較強(qiáng)的空間想象能力和推理論證能力，需要把圖形性質(zhì)與計(jì)算恰當(dāng)結(jié)合． 【例6】建立模型　18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式．請(qǐng)你觀察下列幾種簡(jiǎn)單多面體模型，解答下列問(wèn)題． （1）根據(jù)上面的多面體模型，完成表格中的空格： 多面體 頂點(diǎn)數(shù)（V） 面數(shù)（F） 棱數(shù)（E） 四面體 4 4 長(zhǎng)方體 8 6 12 正八面體 8 12 正十二面體 20 12 30 你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是＿＿＿＿． （2）—個(gè)多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大8，且有30條棱，則這個(gè)多面體的面數(shù)是＿＿＿． （3）某個(gè)玻璃飾品的外形是簡(jiǎn)單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱．設(shè)該多面體外表面三角形的個(gè)數(shù)為個(gè)，八邊形的個(gè)數(shù)為個(gè)，求的值． 解題思路：對(duì)于（1），通過(guò)觀察、歸納發(fā)現(xiàn)V，F(xiàn)，E之間的關(guān)系，并遷移應(yīng)用于解決（2），（3）． 模型應(yīng)用 如圖，有一種足球是由數(shù)塊黑白相間的牛皮縫制而成，黑皮為正五邊形，白皮為正六邊形，且邊長(zhǎng)都相等，求正五邊形、正六邊形個(gè)數(shù)． （浙江省寧波市中考試題改編） 能力訓(xùn)練 A級(jí) 1．如圖是正方體的展開(kāi)圖，則原正方體相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)字之和的最小值是＿＿＿． （山東省菏澤市中考試題） 第1題 主視圖 左視圖 俯視圖 第2題 左視圖 左視圖 第3題圖 2．由幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的視圖如圖所示，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是＿＿＿＿． （湖北省武漢市中考試題） 3．—個(gè)長(zhǎng)方體的左視圖、俯視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則其主視圖的面積為＿＿＿＿． （山東省煙臺(tái)市中考試題） 4．如圖，下列幾何體是由棱長(zhǎng)為1的小立方體按一定規(guī)律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上顏色（底面不涂色），則第個(gè)幾何體中只有兩個(gè)面涂色的小立方體共有＿＿ 圖① 圖② 圖③ （山東省青島市中考試題） 5．一個(gè)畫家有14個(gè)邊長(zhǎng)為1m的正方體，他在地面上把它們擺成如圖的形式，然后他把露出的表面都涂上顏色，那么被涂顏色的總面積為（　?。? A．19m2 B．41m2 C．33m2 D．34m2 （山東省煙臺(tái)市中考試題） 6．一個(gè)幾何體由一些大小相同的小正方體組成，如圖是它的主視圖和俯視圖，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少為（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 主視圖 俯視圖 （河北省中考試題） 7．從棱長(zhǎng)為2的正方體毛坯的一角，挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體，得到一個(gè)如圖所示的零件，則這個(gè)零件的表面積是（　?。? A．20 B．22 C．24 D．26 （河北省中考試題） 8．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的計(jì)算方法．“牟合方蓋”是由兩個(gè)圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾何體．圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它的主視圖是（　　） 牟合方蓋 甲 主視方向 乙 （xx年溫州市中考試題） 9．5個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體組成如圖的幾何體． （1）該幾何體的體積是＿＿＿＿（立方單位），表面積是＿＿＿＿（平方單位）； （2）畫出該幾何體的主視圖和左視圖． 正面 （廣州市中考試題） 10．用同樣大小的正方體木塊搭建的幾何體，從正面看到的平面圖形如圖①所示，從上面看到的平面圖形如圖②所示． （1）如果搭建的幾何體由9個(gè)小正方體木塊構(gòu)成，試畫出從左面看這個(gè)幾何體所得到的所有可能的平面圖形． （2）這樣的幾何體最多可由幾塊小正方體構(gòu)成？并在所用木塊最多的情況下，畫出從左面看到的所有可能的平面圖形． 圖① 圖② （“創(chuàng)新杯”邀請(qǐng)賽試題） B級(jí) 1．如圖，是一個(gè)正方體表面展開(kāi)圖，請(qǐng)?jiān)趫D中空格內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使這個(gè)正方體相對(duì)兩個(gè)面上標(biāo)注的數(shù)值相等． （《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題） 2．如圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡(jiǎn)單幾何體的主視圖和俯視圖，若組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為，則的所有可能的取值之和為＿＿＿＿． 主視圖 俯視圖 （江蘇省江陰市中考試題） 3．如圖是一個(gè)立方體的主視圖、左視圖和俯視圖，圖中單位為厘米，則立體圖形的體積為＿＿＿＿立方厘米． 主視圖 左視圖 左視圖 （“華羅庚金杯賽”試題） 4．若干個(gè)正方體形狀的積木擺成如圖所示的塔形，平放于桌面上，上面正方體的下底四個(gè)頂點(diǎn)是下面相鄰正方體的上底各邊中點(diǎn)，最下面的正方體棱長(zhǎng)為1，如果塔形露在外面的面積超過(guò)7，則正方體的個(gè)數(shù)至少是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 （江蘇省常州市中考試題） 5．由若干個(gè)單位立方體組成一個(gè)較大的立方體，然后把這個(gè)大立方體的某些面涂上油漆，油漆干后，把大立方體拆開(kāi)成單位立方體，發(fā)現(xiàn)有45個(gè)單位立方體上任何一面都沒(méi)有漆，那么大立方體被涂過(guò)油漆的面數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 （“創(chuàng)新杯”邀請(qǐng)賽試題） 6．小明把棱長(zhǎng)為4的正方體分割成了29個(gè)棱長(zhǎng)為整數(shù)的小正方體，則其中棱長(zhǎng)為1的小正方體的個(gè)數(shù)是（　?。? A．22 B．23 C．24 D．25 （浙江省競(jìng)賽試題） 7．墻角處有若干大小相同的小正方體堆成如圖所示的立體圖形，如果你打算搬走其中部分小正方體（不考慮操作技術(shù)的限制），但希望搬完后從正面、從上面、從右面用平行光線照射時(shí)，在墻面及地面上的影子不變，那么你最多可以搬走多少個(gè)小正方體？ 上面 右面 （水平線） 正面 （江蘇省競(jìng)賽試題） 8．一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的長(zhǎng)、寬、高分別是，，（＞＞）厘米．如圖，將它展開(kāi)成平面圖，那么這個(gè)平面圖的周長(zhǎng)最小是多少厘米？最大是多少厘米？ ① ② ⑦ ⑥ ④ ⑤ ③ （江蘇省競(jìng)賽試題） 9．王老師將底面半徑為20厘米、高為35厘米的圓柱形容器中的果汁全部倒入如圖所示的杯子中，若杯口直徑為20厘米，杯底直徑為10厘米，杯高為12厘米，杯身長(zhǎng)13厘米，問(wèn)果汁可以倒?jié)M多少杯？ （世界數(shù)學(xué)團(tuán)體錦標(biāo)賽試題） 10．一個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米的正方體，它是由125個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方體組成的．.P為上底面ABCD的中心，如果挖去（如圖）的陰影部分為四棱錐，剩下的部分還包括多少個(gè)完整的棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體？ （深圳市“啟智杯”數(shù)學(xué)思維能力競(jìng)賽試題） 專題21 從不同的方向看 例1　14　提示：2x＝8，y＝10，x＋y＝14． 例2　D 例3 (1)左視圖有以下5種情形： (2)n＝8，9，10，11． 例4正方體個(gè)數(shù)至少為4個(gè)．正方體露在外面的面積和的最大值為9． 提示:最下面正方體1個(gè)面的面積是1，側(cè)面露出的面積和是4，每相鄰兩個(gè)正方體中上面的1個(gè)正方體每個(gè)面的面積都正好是其下面正方體1個(gè)面面積的，所有正方體側(cè)面面積之和加上所有正方體的上面露出的面積和(正好是最下面正方體上底面的面積1)即是這些正方體露在外面的面積和．如：2個(gè)正方體露出的面積和是4＋＋1＝7，3個(gè)正方體露出的面積和是4＋＋＋1＝8，4個(gè)正方體露出的面積和是4＋＋＋＋1＝8，5個(gè)正方體露出的面積和是4＋＋＋＋＋1＝8，6個(gè)正方體露出的面積和是4＋＋＋＋＋＋1＝8，…… 故隨著小正方體木塊的增加，其外露的面積之和都不會(huì)超過(guò)9． 例5為方便起見(jiàn)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為6個(gè)單位，首先不能切出棱長(zhǎng)為5的立方體，否則不可能分割成49個(gè)小正方體． 設(shè)切出棱長(zhǎng)為1的正方體有a個(gè)，棱長(zhǎng)為2的正方體有b個(gè)，如果能切出1個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體，則有，解之得b＝14．不合題意，所以切不出棱長(zhǎng)為4的正方體． 設(shè)切出棱長(zhǎng)為1的正方體有a個(gè)，棱長(zhǎng)為2的正方體有b個(gè)，棱長(zhǎng)為3的正方體有c個(gè)， 則，解得a＝36，b＝9，c＝4， 故可分割棱長(zhǎng)分別為1，2，3的正方體各有36個(gè)，9個(gè)，4個(gè)，分法如圖所示． 例6(1)6 6 V＋F－E＝2 (2)20 (3)這個(gè)多面體的面數(shù)為x＋y，棱數(shù)為＝36條．根據(jù)V＋F－E＝2，可得24＋(x＋y)－36＝2，∴x＋y＝24． 模型應(yīng)用 設(shè)足球表面的正五邊形有x個(gè)，正六邊形有y個(gè)，總面數(shù)F為x＋y個(gè)．因?yàn)橐粭l棱連著兩個(gè)面，所以球表面的棱數(shù)E為(5x＋6y)，又因?yàn)橐粋€(gè)頂點(diǎn)上有三條棱，一條棱上有兩個(gè)頂點(diǎn)，所以頂點(diǎn)數(shù)V＝(5x＋6y)＝(5x＋6y)． 由歐拉公式V＋F－E＝2得(x＋y)＋(5x＋6y)－(5x＋6y)＝2,解得x＝12． 所以正五邊形只要12個(gè)． 又根據(jù)每個(gè)正五邊形周圍連著5個(gè)正六邊形，每個(gè)正六邊形又連著3個(gè)正五邊形，所以六邊形個(gè)數(shù)＝20，即需20個(gè)正六邊形． A級(jí) 1．6 2．5 3．8 4．4(2n－1) 5．C 6．B 7．C 8．B 9(1)5 22 (2)略 10．(1) (2)11塊． B級(jí) 1．上空格填，下空格填2 2．38 3．2π 4．B 5．D提示:設(shè)大立方體的棱長(zhǎng)為n，n>3，若n＝6，即使6個(gè)面都油漆過(guò)，未油漆的單位立方體也有43＝64個(gè)>45，故n＝4或5．除掉已漆的單位立方體后，剩下未漆的構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方體，設(shè)其長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，abc＝45，只能是335＝45，故n＝5． 6．C提示:若分割出棱長(zhǎng)為3的正方體，則棱長(zhǎng)為3的正方體只能有1個(gè)，余下的均是棱長(zhǎng)為1的正方體，共37個(gè)不滿足要求．設(shè)棱長(zhǎng)為2的正方體有x個(gè)，棱長(zhǎng)為1的正方體有y個(gè)，則，得． 7．有不同的搬法．為保證“影子不變”，可依如下原則操作：在每一行和每一列中，除保留一摞最高的不動(dòng)以外，該行(列)的其余各摞都搬成只剩最下面的一個(gè)小正方體．如圖所示，20個(gè)方格中的數(shù)字，表示5行6列共20摞中在搬完以后最終留下的正方體個(gè)數(shù)．照這樣，各行可搬個(gè)數(shù)累計(jì)為27，即最多可搬走27個(gè)小正方體． 8．要使平面展開(kāi)圖的周長(zhǎng)最小，剪開(kāi)的七條棱長(zhǎng)就要盡量小，因此要先剪開(kāi)四條髙(因?yàn)閏最小)，再剪開(kāi)一條長(zhǎng)a厘米的棱(否則，不能展開(kāi)成平面圖)，最后再剪開(kāi)兩條寬b厘米的棱(如圖中所表示的①?⑦這七條棱)．由此可得圖甲，這時(shí)最小周長(zhǎng)是c8＋b4＋a2＝2a＋4b＋8c厘米． 圖甲 圖乙 要使平面展開(kāi)圖的周長(zhǎng)最大，剪開(kāi)的七條棱長(zhǎng)就要盡量大，因此要先剪開(kāi)四條最長(zhǎng)的棱(長(zhǎng)a)，再剪開(kāi)兩條次長(zhǎng)的棱(寬b)，最后剪開(kāi)一條最短的棱(高c)，即得圖乙，這時(shí)最大周長(zhǎng)是a8＋b4＋c2＝8a＋4b＋2c厘米． 9．如圖，由題意知AB＝12，CD＝13，AC＝12，BD＝13，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于AB于點(diǎn)E，則DE＝12，于是Rt△BDE中BE＝5． 延長(zhǎng)AC，BD交于F，則由CD:AB＝5:10＝1:2知CF=12，AF=24 于是一個(gè)杯子的容積等于兩個(gè)圓錐的體積之差，即 而大容器內(nèi)果汁的體積是所以果汁可以倒?jié)M杯。 10． 剩下的部分：從上往下，第一層有個(gè)；第二層有個(gè)；第三層有個(gè)；第四層、第五層有0個(gè)，故共有56個(gè)完整的棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體。