七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 培優(yōu)新幫手 專題05 數(shù)與形的第一次聯(lián)姻試題 （新版）新人教版.doc

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5 數(shù)與形的第一次聯(lián)姻 閱讀與思考 數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的學(xué)科，在數(shù)學(xué)里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的，我們常用代數(shù)的方法來(lái)處理幾何問(wèn)題；反過(guò)來(lái)，也借助與幾何圖形來(lái)處理代數(shù)問(wèn)題，尋找解題思路，這種數(shù)與形之間的相互作用叫數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學(xué)思想． 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具，主要體現(xiàn)在一下幾個(gè)方面： 1．利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)； 2．利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)； 3．利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小； 4．利用數(shù)軸解決與絕對(duì)值相關(guān)的問(wèn)題． 例題與求解 【例1】 已知數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，A，B之間的距離為1，點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3，那么所有滿足條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)O的距離之和等于_____________． （北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題） 解題思路：確定A，B在數(shù)軸上的位置，求出A，B兩點(diǎn)所表示的有理數(shù)． 【例2】 在數(shù)軸上和有理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示．有下面四個(gè)結(jié)論： ①，②，③，④，其中，正確的結(jié)論有（ ）個(gè)． A．4 B．3 C．2 D．1 （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 解題思路：從數(shù)軸上得到，再對(duì)代數(shù)式進(jìn)行逐以一判斷． 【例3】 如圖所示，已知數(shù)軸上點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)都不為0，且是的中點(diǎn)．如果，試確定原點(diǎn)的大致位置． 解題思路：從化簡(jiǎn)等式入手，而是解題的關(guān)鍵． 【例4】 （1）閱讀下面材料： 點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)兩點(diǎn)之間的距離表示為．當(dāng)兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)， 當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)， ①如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|； ②如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如圖4，點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|； 綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離|AB|＝|a－b|． （2）回答下列問(wèn)題： ①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是_________，數(shù)軸上表示－2和－5的兩點(diǎn)之間的距離是______________，數(shù)軸上表示1和－3的兩點(diǎn)之間的距離是________________； ②數(shù)軸上表示x和－1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是______________，如果|AB|＝2，那么x為_(kāi)________； ③當(dāng)代數(shù)式|x＋1|十|x－2|取最小值時(shí)________，相應(yīng)的x的取值范圍是___________． ④求的最小值． （江蘇省南京市中考試題） 解題思路：通過(guò)觀察圖形，閱讀理解代數(shù)式所表示的意義，來(lái)回答所提出的具體問(wèn)題． 【例5】 某城市沿環(huán)形路有五所小學(xué)，依次為一小、二小、三小、四小、五小，它們分別有電腦15，7，11，3，14臺(tái)，現(xiàn)在為使各校電腦臺(tái)數(shù)相等，各調(diào)幾臺(tái)給鄰校，現(xiàn)規(guī)定一小給二小，二小給三小，三小給四小，四小給五小，五小給一小，要使電腦調(diào)動(dòng)臺(tái)數(shù)最小，應(yīng)該做怎樣的安排？ （湖北省荊州市競(jìng)賽試題） 解題思路：通過(guò)設(shè)未知數(shù)，把調(diào)動(dòng)的電腦臺(tái)數(shù)用相關(guān)代數(shù)式表示出來(lái)．解題的關(guān)鍵是怎樣將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值． 【例6】 如圖，是數(shù)軸上表示－30的點(diǎn)，是數(shù)軸上表示10的點(diǎn)，是數(shù)軸上表示18的點(diǎn)，點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是6個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，點(diǎn)和點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒．設(shè)三個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）． （1）當(dāng)t為何值時(shí)，線段AC＝6（單位長(zhǎng)度）？ （2）t≠5時(shí)，設(shè)線段OA的中點(diǎn)為P，線段OB的中點(diǎn)為M，線段OC的中點(diǎn)為N，求2PM－PN＝2時(shí)t的值． （湖北省荊州市競(jìng)賽試題） 解題思路：（1）三點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)，分別當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況來(lái)分析求解． （2）先將三個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別寫(xiě)出來(lái)，因點(diǎn)M始終在點(diǎn)左側(cè)，則分為“點(diǎn)在左邊”，“點(diǎn)在之間”，“點(diǎn)在右邊”三種情況來(lái)求解． 能力訓(xùn)練 A級(jí) 1．已知數(shù)軸上表示負(fù)數(shù)有理數(shù)的點(diǎn)是點(diǎn)，那么在數(shù)軸上與點(diǎn)相距個(gè)單位的點(diǎn)中，與原點(diǎn)距離較遠(yuǎn)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是______________． （江蘇省競(jìng)賽試題） 2．如果數(shù)軸上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5，那么兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_____________． 3．點(diǎn)分別是數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，使線段沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)到的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)3，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是________________，點(diǎn)移動(dòng)的距離是____________． （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 4．已知，且，那么有理數(shù)的大小關(guān)系是_________________________．（用“＜”號(hào)連接） （北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題） 5．在數(shù)軸上任取一條長(zhǎng)度為的線段，則此線段在數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）． A．1998 B．1999 C．2000 D．2001 （重慶市競(jìng)賽試題） 6．如圖，為數(shù)軸上的兩點(diǎn)表示的有理數(shù)，在中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 （“祖沖之”邀請(qǐng)賽試題） 7．有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子化簡(jiǎn)結(jié)果為（ ）． A． B． C． D． 8．如圖所示，在數(shù)軸上有六個(gè)，且，則與點(diǎn)所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是（ ）． A．－1 B．0 C．1 D．2 （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 9．已知為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示： 且，求的值． 10．電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)，第一步從向左挑一個(gè)單位到，第二步由向右跳2個(gè)單位到，第三步由向左跳3個(gè)單位到，第四步由向右跳4個(gè)單位到，…，按以上規(guī)律跳了100步時(shí)，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)恰是19.94．則電子跳蚤的初始位置點(diǎn)所表示的數(shù)是_________________． 11．如圖，已知分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為－20，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100． （1）求過(guò)中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)． （2）現(xiàn)有一只電子螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻恰好從點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)相遇，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)． （3）若當(dāng)電子螞蟻從點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻恰好從點(diǎn)出發(fā)，以4單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)相遇，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)． B 級(jí) 1．有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示： 則化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)____________________． 2．電影＜＜哈利波特＞＞中小哈利波特穿墻進(jìn)入“”的鏡頭（如示意圖中站臺(tái)），構(gòu)思奇妙，給觀眾留下深刻的印象．若站臺(tái)分別位于－2，－1處，，則站臺(tái)用類似電影里的方法稱為“_________________站臺(tái)” （《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題） 3．在數(shù)軸上，若點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是點(diǎn)與三〇若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離的4倍，則點(diǎn)表示的數(shù)是_________________． （河南省競(jìng)賽試題） 4．若，則使成立的的取值范圍是__________________． （武漢市選拔賽試題） 5．如圖，直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，且，那么，到三點(diǎn)距離的和最小的點(diǎn)為（ ）． A． 點(diǎn)外 B．線段的中點(diǎn) C．線段外一點(diǎn) D． 無(wú)窮多個(gè) （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 6．點(diǎn)都在數(shù)軸上，點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，且，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，且，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，且，，依照上述規(guī)律，點(diǎn)所表示的數(shù)分別為（ ） ． A．xx，－xx B．－xx，2009 C．1004，－1005 D．1004，－1004 （福建省泉州市中考試題） 7．設(shè)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）． A．沒(méi)有最小值 B．只有一個(gè)使去最小值 C．有限個(gè)（不止一個(gè)）使去最小值 D．有無(wú)窮多個(gè)使取最小值 （全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題） 8．如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩個(gè)點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)，且，那么數(shù)軸的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是（ ）． A． B． C． D． （“新世紀(jì)杯”廣西初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 9．已知，求的最大值和最小值． （江蘇省競(jìng)賽試題） 10．如圖，在環(huán)形運(yùn)輸線路上有六個(gè)倉(cāng)庫(kù)，現(xiàn)有某種貨物的庫(kù)存量分別是50噸、84噸、80噸、70噸、55噸和45噸．要對(duì)各倉(cāng)庫(kù)的存貨進(jìn)行調(diào)整，使得每個(gè)倉(cāng)庫(kù)的存貨量相等，但每個(gè)倉(cāng)庫(kù)只能相相鄰的倉(cāng)庫(kù)調(diào)運(yùn)，并使調(diào)運(yùn)的總量最?。蟾鱾}(cāng)庫(kù)向其他倉(cāng)庫(kù)的調(diào)運(yùn)量． 11．如圖，數(shù)軸上標(biāo)有個(gè)點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的整數(shù)是．為了確保從這些點(diǎn)中可以取出xx個(gè)，使任何兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都不等于4．求的最小值． （“華羅庚金杯”少年邀請(qǐng)賽試題） 專題05 數(shù)與形的第一次聯(lián)姻 例1 12 提示：點(diǎn)A表示數(shù)為3或－3，滿足條件的點(diǎn)B共有4個(gè)． 例2 B 提示：由數(shù)軸知a＜－1＜0＜b＜c＜1． ∴abc＜0，故①正確；由絕對(duì)值的幾何意義知②正確；a－b＜0，b－c＜0，c－a＞0，故（a－b）（b－c）(c－a）＞0，③正確；|a|＞1，1－bc＜1，|a|＞1－bc，④不正確． 例3 原點(diǎn)O在線段AC上． 例4 ①3，3，4 ②|x＋1| 1或－3 ③－1≤x≤2 ④997 002 例5 如圖，用A，B，C，D，E點(diǎn)順時(shí)針排列依次表示一至五所小學(xué)，且順次向鄰校調(diào)給，，，，臺(tái)電腦．依題意得：7＋－＝11＋－＝3＋－＝14＋－＝15＋－＝10．得＝－3，＝－2，＝－9，＝－5．本題要求y＝||＋||＋||＋||＋||的最小值，依次代入，可得y＝||＋|－3|＋|－2|＋|－9|＋|－5|． 由絕對(duì)值幾何意義可知，當(dāng)＝3時(shí)，y有最小值12．此時(shí)有＝0，＝1，＝－6，＝－2． 所以，一小向二小調(diào)出3臺(tái)，三小向四小調(diào)出1臺(tái)，五小向四小調(diào)出6臺(tái)，一小向五小調(diào)出2臺(tái)，這樣調(diào)動(dòng)的電腦總臺(tái)數(shù)最小為12臺(tái)． 例6 （1）A，B，C三點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)． 當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C左側(cè)時(shí)， ∵線段AC＝6，∴6＋6t＝30＋18＋3t，解得t＝14． 當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C右側(cè)時(shí)， ∵線段AC－6，∴6t－6＝30＋18＋3t，解得t＝18． 綜上可知，t為14或18時(shí)，線段AC＝6． （2） 當(dāng)點(diǎn)A，B，C三個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)t秒后，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為：6t－30，10＋3t，18＋3t． （3） ∵P，M，N分別為OA，OB，OC的中點(diǎn)． ∴P，M，N三個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為：，，．且點(diǎn)M始終在點(diǎn)N左側(cè)． ①若點(diǎn)P在M，N左邊，則PM＝－＝20－1．5t，PN＝－＝24－1．5t． ∵2PM－PN＝2，∴2（20－1．5t）－（24－1．5t）＝2， ∴t＝． ②若點(diǎn)P在M，N之間，則PM＝－＝－20＋1．5t， PN＝－＝24－1．5t． ∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（24－1．5t）＝2， ∴t＝． ③若點(diǎn)P在M，N右邊，則PM＝－＝－20＋1．5t，PN＝－＝－24＋1．5t． ∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（－24＋1．5t）＝2， ∴t＝12． 但此時(shí)PM＝－20＋1．5t＜0，所以此情況不成立 ． 綜上可知，t＝或時(shí)符合題意． A級(jí) 1．2m 2．2或8 3. ， 提示：AB的長(zhǎng)為＝，對(duì)應(yīng)的數(shù)為3－＝，點(diǎn)A移動(dòng)的距離為－（－3）＝． 4．b＜－a＜a＜|b| 5．C 6．B 7．C 8．C 9． 5 10．－30．06 提示：設(shè)點(diǎn)表示的有理數(shù)為x，則，，…，點(diǎn)所表示的有理數(shù)分別為x－1，x－1＋2，x－1＋2－3，…，x－1＋2－3＋4－…－99＋100．由題意得x－1＋2－3＋4－…－99＋100＝19．94． 11．（1）M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為＝40． （2）相遇時(shí)間為＝12秒，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100－126＝28． （3）追擊時(shí)間為60秒，D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為－260． B級(jí) 1．－2 2． 3．24或40． 提示：設(shè)N點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知|x|＝4|x－30|．對(duì)x分情況討論得出x＝24或x＝40． 4. b≤x≤a 5．A 6．C 7．D 8．C 9．原式化為|x＋2|＋|1－x|＋|y－5|＋|1＋y|＝9． ∵|x＋2|＋|1－x|≥3，當(dāng)－2≤x≤1時(shí)等號(hào)成立； |y－5|＋|1＋y|≥6，當(dāng)－1≤y≤5時(shí)等號(hào)成立． ∴x＋y的最大值＝1＋5＝6；x＋y的最小值＝－2－1＝－3． 10．調(diào)運(yùn)后各倉(cāng)庫(kù)的存貨量都相等，應(yīng)為（50＋84＋80＋70＋55＋45）＝64噸． 設(shè)A庫(kù)運(yùn)往B庫(kù)噸，B庫(kù)運(yùn)往C庫(kù)噸，C庫(kù)運(yùn)往D庫(kù)噸，D庫(kù)運(yùn)往E庫(kù)噸，E庫(kù)運(yùn)往F庫(kù)噸，F(xiàn)庫(kù)運(yùn)往A庫(kù)噸，故有:50＋－＝84＋－＝80＋－＝70＋－＝55＋－＝45＋－＝64． 所以，＝－14，＝＋20＝＋6，＝＋16＝＋22，＝＋6＝＋28，＝－9＝＋19． 若使調(diào)運(yùn)量最小，則有y＝||＋||＋||＋||＋||＋|| ＝||＋|－14|＋|＋6|＋|＋22|＋|＋28|＋|＋19|取最小值． 而－28＜－22＜－19＜－6＜0＜14，所以，當(dāng)－19≤-6時(shí)，y有最小值，此時(shí)，-33-20，-130，316，922，013. 當(dāng)=-19時(shí)，=-33, =-13，=3, =9, =0.即A庫(kù)運(yùn)往B庫(kù)-33噸，亦即B庫(kù)運(yùn)往A庫(kù)33噸.B庫(kù)運(yùn)往C庫(kù)-13噸，亦即C庫(kù)運(yùn)往B庫(kù)13噸.C庫(kù)運(yùn)往D庫(kù)3噸，D庫(kù)運(yùn)往E庫(kù)9噸，E庫(kù)運(yùn)往F庫(kù)0噸，F(xiàn)庫(kù)運(yùn)往A庫(kù)19噸，總調(diào)運(yùn)量為77噸. 11.首先注意8個(gè)連續(xù)的點(diǎn)，例如0，1，2，3，4，5，6，7.從中可取前4個(gè)點(diǎn)0，1，2，3，其中任何兩個(gè)點(diǎn)的距離為4：（0，4），（1，5），（2，6），（3，7），所以每一組只能選一個(gè)點(diǎn)，8個(gè)點(diǎn)中只能選出4個(gè)點(diǎn)，任何兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都不等于4. 因?yàn)閤x=4501+2，8501=4010.故當(dāng)n=xx時(shí)，2n+1=4011.從左到右，每8個(gè)連續(xù)的點(diǎn)中取前4個(gè)點(diǎn)，剩下的3個(gè)點(diǎn)中取2個(gè)點(diǎn)，共取xx個(gè)點(diǎn)，任何兩點(diǎn)間的距離都不等于4. 另一方面，如果n≤2004，那么2n+1≤4009.從左到右，第8個(gè)連續(xù)點(diǎn)一組，至多502組，其中最后一組只有1個(gè)點(diǎn).因此不論怎么取xx個(gè)點(diǎn)，前501組中總有一組取的點(diǎn)多于4個(gè)，從而有兩個(gè)點(diǎn)的距離為4. 綜上所述，n的最小值是xx.