2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1.2 瞬時速度與導(dǎo)數(shù)學(xué)案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx

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3.1.2　瞬時速度與導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解從平均變化率過渡到瞬時變化率的過程.2.了解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù).3.掌握函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)的定義． 知識點一　瞬時變化率 1．物體運動的瞬時速度 設(shè)物體運動的路程與時間的關(guān)系是s＝f(t)，當(dāng)t0到t0＋Δt時，當(dāng)Δt趨近于0時，函數(shù)f(t)在t0到t0＋Δt的平均變化率趨近于常數(shù)，這個常數(shù)稱為t0時刻的瞬時速度． 2．函數(shù)的瞬時變化率 設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量在x＝x0附近改變Δx時，函數(shù)值相應(yīng)地改變Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果當(dāng)Δx趨近于0時，平均變化率趨近于一個常數(shù)l，則常數(shù)l稱為函數(shù)f(x)在點x0的瞬時變化率． 知識點二　函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率稱為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或，即f′(x0)＝. 2．導(dǎo)函數(shù)定義 如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點x導(dǎo)數(shù)都存在，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導(dǎo)，這樣，對開區(qū)間(a，b)內(nèi)每個值x，都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)f′(x)，于是在區(qū)間(a，b)內(nèi)f′(x)構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)．記為f′(x)(或yx′、y′)． 3．函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點x＝x0處的函數(shù)值，即f′(x0)＝. 1．函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)即是函數(shù)在該點處的瞬時變化率．(　√　) 2．平均變化率刻畫函數(shù)在區(qū)間上的變化的快慢，瞬時變化刻畫的是函數(shù)在某一點處的變化情況．(　√　) 3．f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值．(　√　) 題型一　求函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù) 例1　求y＝x2在點x＝1處的導(dǎo)數(shù)． 解　Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2， ＝＝2＋Δx， ∴＝ (2＋Δx)＝2，∴y′|x＝1＝2. 反思感悟　求函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟 (1)求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均變化率＝； (3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝. 跟蹤訓(xùn)練1　(1)若＝k， 則等于(　　) A．2k B．k C.k D．以上都不是 答案　A 解析　， ＝2＝2k. (2)求y＝2x2＋4x在點x＝3處的導(dǎo)數(shù)． 解　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(232＋43) ＝2(Δx)2＋16Δx，＝2Δx＋16， ＝ (2Δx＋16)＝16， 所以y′|x＝3＝16. 題型二　求物體運動的瞬時速度 例2　某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1s時的瞬時速度． 解　∵＝ ＝ ＝3＋Δt， ∴＝ (3＋Δt)＝3. ∴物體在t＝1處的瞬時變化率為3， 即物體在t＝1s時的瞬時速度為3m/s. 引申探究　 1．若本例的條件不變，試求物體的初速度． 解　∵＝ ＝ ＝1＋Δt， ∴＝ (1＋Δt)＝1. ∴物體在t＝0處的瞬時變化率為1， 即物體的初速度為1m/s. 2．若本例的條件不變，試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9m/s. 解　設(shè)物體在t0時刻的瞬時速度為9m/s， ∵＝ ＝2t0＋1＋Δt. ∴＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1. 則2t0＋1＝9，∴t0＝4. 則物體在4s時的瞬時速度為9m/s. 反思感悟　(1)不能將物體的瞬時速度轉(zhuǎn)化為函數(shù)的瞬時變化率是導(dǎo)致無從下手解答本題的常見問題． (2)求運動物體瞬時速度的三個步驟 ①求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． ②求平均速度＝. ③求瞬時速度，當(dāng)Δt無限趨近于0時，無限趨近于的常數(shù)v即為瞬時速度，即v＝s′(t0)． 跟蹤訓(xùn)練2　一質(zhì)點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，若質(zhì)點M在t＝2s時的瞬時速度為8m/s，求常數(shù)a的值． 解　質(zhì)點M在t＝2時的瞬時速度即為函數(shù)在t＝2處的瞬時變化率． ∵質(zhì)點M在t＝2附近的平均變化率 ＝＝＝4a＋aΔt， ∴＝4a＝8，即a＝2. 題型三　導(dǎo)數(shù)的實際意義 例3　一條水管中流出的水量y(單位：m3)是時間x(單位：s)的函數(shù)y＝f(x)＝x2＋7x＋15(0≤x≤8)．計算2s和6s時，水管流量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并說明它們的實際意義． 解　在2s和6s時，水管流量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(2)和f′(6)，當(dāng)x＝2時，＝ ＝ ＝＝Δx＋11， 所以f′(2)＝＝ (Δx＋11)＝11， 即在2s時的水流速度為11m3/s. 同理可得在6s時的水流速度為19m3/s. 在2s與6s時，水管流量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分別為11與19.它說明在2s時附近，水流大約以11m3/s的速度流出， 在6s時附近，水流大約以19m3/s的速度流出． 反思感悟　導(dǎo)數(shù)實質(zhì)上就是瞬時變化率，它描述物體的瞬時變化，例如位移s關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)就是運動物體的瞬時速度，氣球體積V關(guān)于半徑r的導(dǎo)數(shù)就是氣球的瞬時膨脹率． 跟蹤訓(xùn)練3　服藥后，人體血液中藥物的質(zhì)量濃度y(單位：μg/mL)關(guān)于時間t(單位：min)的函數(shù)為y＝f(t)，假設(shè)函數(shù)y＝f(t)在t＝10和t＝100處的導(dǎo)數(shù)分別為f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.60，試解釋它們的實際意義． 解　f′(10)＝1.5表示服藥后10 min時，血液中藥物的質(zhì)量濃度上升的速度為1.5 μg/(mLmin)． f′(100)＝－0.6表示服藥后100 min時，血液中藥物的質(zhì)量濃度下降的速度為0.6 μg/(mLmin)． 1．如果某物體的運動方程為s＝2(1－t2)(s的單位為m，t的單位為s)，那么其在1.2s末的瞬時速度為(　　) A．－4.8m/s B．－0.88 m/s C．0.88m/s D．4.8 m/s 答案　A 解析　物體運動在1.2s末的瞬時速度即為s在1.2處的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求得． 2．設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則等于(　　) A．f′(1) B．3f′(1) C.f′(1) D．f′(3) 答案　A 解析?。絝′(1)． 3．函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，則(　　) A．與x0，h都有關(guān) B．僅與x0有關(guān)，而與h無關(guān) C．僅與h有關(guān)，而與x0無關(guān) D．與x0，h均無關(guān) 答案　B 4．設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則(　　) A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 考點　函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù) 題點　根據(jù)定義求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù) 答案　C 解析　f′(x0)＝＝ (a＋bΔx)＝a. 5．已知函數(shù)f(x)＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為－2，則實數(shù)a的值是________． 答案　2 解析　f′(1)＝＝＝－a. 由題意知，－a＝－2，∴a＝2. 利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)三步曲 (1)作差求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)作比求平均變化率＝； (3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝. 簡記為一差，二比，三極限． 一、選擇題 1．一質(zhì)點的運動方程為s＝5－3t2，若該質(zhì)點在時間段[1，1＋Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為－3Δt－6，則該質(zhì)點在t＝1時的瞬時速度是(　　) A．－3B．3C．6D．－6 答案　D 解析　由平均速度和瞬時速度的關(guān)系可知，質(zhì)點在t＝1時的瞬時速度為s′＝(－3Δt－6)＝－6. 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，則a等于(　　) A．2B．－2C．3D．－3 答案　C 解析　∵f′(1)＝ ＝＝a， 又∵f′(1)＝3，∴a＝3. 3．若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象過原點，且滿足＝－1，則f′(0)等于(　　) A．－2B．－1C．1D．2 答案　B 解析　∵f(x)的圖象過原點，∴f(0)＝0， ∴f′(0)＝＝＝－1. 4．物體的運動方程是s＝－4t2＋16t，在某一時刻的速度為0，則相應(yīng)時刻為(　　) A．t＝1B．t＝2C．t＝3D．t＝4 答案　B 解析　設(shè)在t0時刻速度為0， ∵s′(t0)＝ ＝ ＝ (－8t0＋16－4Δt) ＝－8t0＋16＝0， ∴t0＝2. 5．已知f(x)＝x2－3x，則f′(0)等于(　　) A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0 答案　C 解析　f′(0)＝＝ ＝ (Δx－3)＝－3. 6．設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，且＝1，則f′(x0)等于(　　) A．1 B．－1 C．－ D. 答案　C 解析　因為 ＝－ ＝－3f′(x0)＝1，所以f′(x0)＝－，故選C. 7．已知點P(x0，y0)是拋物線y＝f(x)＝3x2＋6x＋1上一點，且f′(x0)＝0，則點P的坐標(biāo)為(　　) A．(1,10) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(－1,10) 答案　B 解析?。? ＝ ＝3Δx＋6x0＋6， ∴f′(x0)＝＝ (3Δx＋6x0＋6)＝6x0＋6＝0， ∴x0＝－1.把x0＝－1代入y＝3x2＋6x＋1， 得y0＝－2. ∴點P的坐標(biāo)為(－1，－2)． 二、填空題 8．已知f(3)＝2，f′(3)＝－2，則＝________. 答案　8 解析　＝ ＝[2＋]＝2＋3 ＝2－3＝2－3f′(3)＝8. 9．對于函數(shù)y＝，其導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)值的點是________． 答案　 解析　設(shè)導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)值的點是(x0，f(x0))， 則f′(x0)＝ ＝＝－. 由題意知，f′(x0)＝f(x0)，即－＝， 解得x0＝－2，從而y0＝. 所以導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)值的點是. 10.如圖所示，水波的半徑以1m/s的速度向外擴張，當(dāng)半徑為5m時，則水波面的圓面積的膨脹率是________． 答案　10π 解析?。剑?(10π＋πΔr)＝10π. 11．已知函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為11，則＝________. 答案　－22 解析　 ＝－2 ＝－2f′(x0)＝－22. 三、解答題 12．某一運動物體，在x(s)時離出發(fā)點的距離(單位：m)是f(x)＝x3＋x2＋2x. (1)求在第1s內(nèi)的平均速度； (2)求在1s末的瞬時速度； (3)經(jīng)過多長時間該物體的運動速度達到14m/s? 解　(1)物體在第1s內(nèi)的平均變化率(即平均速度)為＝m/s. (2)＝ ＝ ＝6＋3Δx＋(Δx)2. 當(dāng)Δx→0時，→6， 所以物體在1s末的瞬時速度為6m/s. (3)＝ ＝ ＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2xΔx＋Δx. 當(dāng)Δx→0時，→2x2＋2x＋2， 令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2或x＝－3(舍)， 即經(jīng)過2s該物體的運動速度達到14m/s. 13．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求適合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0的值． 解　由導(dǎo)數(shù)的定義知， f′(x0)＝＝2x0， g′(x0)＝＝3x. 因為f′(x0)＋2＝g′(x0)， 所以2x0＋2＝3x， 即3x－2x0－2＝0， 解得x0＝或x0＝. 14．已知函數(shù)f(x)＝，則f′(1)等于(　　) A．－ B．1 C．2 D. 答案　A 解析　f′(1)＝＝ ＝＝－. 15．建造一棟面積為xm2的房屋需要成本y萬元，y是x的函數(shù)，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)，并解釋它的實際意義． 解?。? ＝ ＝＋＝＋， 所以當(dāng)x＝100時， ＝ ＝0.105 (萬元/m2)， 即f′(100)＝0.105. f′(100)＝0.105表示當(dāng)建筑面積為100m2時，成本增加的速度為1050元/m2，也就是說當(dāng)建筑面積為100m2時，每增加1m2的建筑面積，成本就要增加1050元．