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滾動檢測七(1～12章)(規(guī)范卷)
考生注意：
1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁．
2．答卷前，考生務必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學號填寫在相應位置上．
3．本次考試時間120分鐘，滿分150分．
4．請在密封線內作答，保持試卷清潔完整．
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．設集合A＝{x|(x＋3)(x－6)≥0}，B＝，則(?RA)∩B等于( )
A．(－3,6) B．[6，＋∞)
C．(－3，－2] D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
答案 C
解析 因為A＝{x|(x＋3)(x－6)≥0}＝{x|x≤－3或x≥6},
所以?RA＝{x|－3
0，解得－0時，滿足f(x)＝則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)等于( )
A．log25 B．－log25
C．－2 D．0
答案 B
解析 由已知，f(1)＝－log25, f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝log25，
f(3)＝f(0)＝0，f(4)＝f(1)＝－log25，
f(5)＝log25，f(6)＝0，
f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝673(－log25＋log25＋0)－log25＝－log25.
4．《九章算術》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊分別為5步和12步，問其內切圓的直徑為多少步？”現若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率是( )
A. B.
C．1－ D．1－
答案 C
解析 直角三角形的斜邊長為＝13，
設內切圓的半徑為r，
則5－r＋12－r＝13，解得r＝2，
∴內切圓的面積為πr2＝4π，
∴豆子落在其內切圓外部的概率是P＝1－＝1－，故選C.
5．已知各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a6,3a4，－a5成等差數列，則等于( )
A．3B．9C．10D．13
答案 C
解析 設各項均為正數的等比數列{an}的公比為q，q>0，
∵滿足a6,3a4，－a5成等差數列，
∴6a4＝a6－a5，∴6a4＝a4(q2－q)，q>0，
∴q2－q－6＝0，q>0，解得q＝3，
則＝＝10，故選C.
6．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后在生產A產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸)的幾組對應數據，根據下表提供的數據，求出y關于x的線性回歸方程為＝0.7x＋0.35，則下列結論錯誤的是( )
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
A.線性回歸直線一定過點(4.5,3.5)
B．產品的生產能耗與產量呈正相關
C．t的取值是3.15
D．A產品每多生產1噸，則相應的生產能耗約增加0.7噸
答案 C
解析 由＝＝4.5，故A正確；又由線性回歸的知識可知D，B是正確的，故選C.
7．將函數f(x)＝2sin圖象上的每個點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位得到函數g(x)的圖象，在g(x)圖象的所有對稱軸中，離原點最近的對稱軸為( )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝ D．x＝
答案 A
解析 g(x)＝2sin＝2sin，
由4x＋＝＋kπ，k∈Z，
得x＝－，k∈Z，
當k＝0時，離原點最近的對稱軸方程為x＝－，故選A.
8．設變量x，y滿足約束條件目標函數z＝3x－2y的最小值為－4，則a的值是( )
A．1B．0C．－1D.
答案 C
解析 作出約束條件所對應的可行域如圖中陰影部分(包含邊界)，
由解得
∴A(a－1，a)，
目標函數z＝3x－2y可化為y＝x－z，
平移直線y＝x－z可知，
當直線經過點A時，截距取最大值，z取最小值，
∴3(a－1)－2a＝－4，解得a＝－1，故選C.
9．如圖所示的三視圖表示的幾何體的體積為，則該幾何體的外接球的表面積為( )
A．12πB．24πC．36πD．48π
答案 C
解析 由三視圖可得該幾何體為底面邊長為4和m，一條側棱垂直底面的四棱錐，其高為4，則4m4＝，∴m＝2，
將該幾何體補成一個長方體，則其外接球半徑為R＝＝3,
故這個幾何體的外接球的表面積為4πR2＝36π.
10．若拋物線C：y2＝2xcosA(其中角A為△ABC的一個內角)的準線過點，則cos2A＋sin2A的值為( )
A．－B.C.D.
答案 A
解析 因為拋物線C：y2＝2xcosA(其中角A為△ABC的一個內角)的準線過點，
所以拋物線C：y2＝2xcosA的準線方程為x＝，
所以＝－，即cosA＝－，
因為角A為△ABC的一個內角，所以sinA＝，
cos2A＋sin2A＝cos2A＋2sinAcosA＝2＋2＝－.
故選A.
11．設l，m，n表示不同的直線，α，β，γ表示不同的平面，給出下列四個命題：
①若m∥l，且m⊥α，則l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，則l∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，則l∥m∥n；
④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，則l∥m.
其中正確命題的個數是( )
A．1B．2C．3D．4
答案 B
解析?、僬_，②中直線l與α可能平行也可能在α內，故②錯；③中直線l，m，n可能平行還可能相交于一點，故③錯；④正確，故選B.
12．已知A，B是函數f(x)＝(其中常數a>0)圖象上的兩個動點，點P(a,0)，若的最小值為0，則函數f(x)的最大值為( )
A．－B．－C．－D．－
答案 B
解析 作出函數f(x)＝(其中a>0)圖象如圖所示，
∴函數f(x)的圖象關于直線x＝a對稱，
當x0，b>0)的左焦點為F，離心率為，若經過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為________．
答案?。?
解析 設雙曲線的左焦點F(－c,0)，
離心率e＝＝，c＝a，
則雙曲線為等軸雙曲線，即a＝b，
雙曲線的漸近線方程為y＝x＝x，
則經過F和P(0,4)兩點的直線的斜率k＝＝＝1，
∴c＝4，a＝b＝2，
∴雙曲線的標準方程為－＝1.
15．已知三棱錐A－BCD中，AB＝3，AD＝1，BC＝4，BD＝2，當三棱錐A－BCD的體積最大時，其外接球的體積為________．
答案
解析 當BC⊥平面ABD時，三棱錐的體積最大，
由于AB＝3，AD＝1，BC＝4，DB＝2，
∴BD2＋AD2＝AB2，則△ABD為直角三角形，
三棱錐A－BCD的外接球就是以AD，BD，BC為棱的長方體的外接球，
長方體的體對角線等于外接球的直徑，
設外接球的半徑為r，
則(2r)2＝42＋(2)2＋1，解得r＝，
∴球體的體積為V＝π3＝.
16．數列{an}滿足a1＝1，且對任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，則＋＋…＋＝________.
答案
解析 ∵對任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，且a1＝1，
∴令m＝1代入得，都有an＋1＝a1＋an＋n，則an＋1－an＝n＋1，
∴n≥2時，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，
以上n－1個式子相加可得，an－a1＝2＋3＋4＋…＋n＝，
則an＝a1＋(n－1)(n＋2)＝n(n＋1)(n≥2)，
當n＝1時，符合上式，
∴＝＝2，
∴＋＋…＋＝2
＝2＝.
三、解答題(本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(10分)已知等差數列{an}的首項為a1，公差為d(a1∈Z，d∈Z)，前n項的和為Sn，且S7＝49,24x1)＝1－φ表示X>x1的概率．參考數據：φ(0.7257)＝0.6，φ(0.6554)＝0.4)
解 (1)該市此次檢測理科數學成績平均成績約為
u0＝650.05＋750.08＋850.12＋950.15＋1050.24＋1150.18＋1250.1＋1350.05＋1450.03＝103.2≈103.
(2)(ⅰ)記本次考試成績達到自主招生分數要求的理科數學成績約為x1，
根據題意，P(x>x1)＝1－φ＝1－φ＝0.4，即φ＝0.6.
由φ(0.7257)＝0.6，得＝0.7257，
解得x1≈117，
所以，本次考試成績達到自主招生分數要求的理科數學成績約為117分．
(ⅱ)因為Y～B，所以P(Y＝i)＝Ci4－i，i＝0,1,2,3,4.
所以Y的分布列為
Y
0
1
2
3
4
P
所以E(Y)＝4＝.
21．(12分)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，過點F垂直于x軸的直線與拋物線C相交于A，B兩點，拋物線C在A，B兩點處的切線及直線AB所圍成的三角形面積為4.
(1)求拋物線C的方程；
(2)設M，N是拋物線C上異于原點O的兩個動點，且滿足kOMkON＝kOAkOB，求△OMN面積的取值范圍．
解 (1)不妨設A，B，
過A點切線斜率存在，設為k(k≠0)，
則切線方程為y－p＝k，代入y2＝2px，
消去x得ky2－2py＋(2－k)p2＝0，
Δ＝4p2－4k(2－k)p2＝0，解得k＝1，
∴拋物線C在A處的切線斜率為1，
由拋物線C的對稱性，知拋物線C在B處的切線斜率為－1，
拋物線在A處的切線方程為y－p＝x－，
令y＝0，得x＝－，
∴S＝2pp＝4，解得p＝2.
∴拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)由已知可得kOAkOB＝－4,
設M，N(y1y2≠0)，
則kOMkON＝＝－4，∴y1y2＝－4.
令直線MN的方程為x＝ty＋n，
聯立方程組消去x得y2－4ty－4n＝0,
則y1y2＝－4n，y1＋y2＝4t，
∵y1y2＝－4，∴n＝1.
∴直線MN過定點(1,0)，
∴S△OMN＝|y1－y2|＝
＝＝2.
∵t2≥0，
∴S△OMN≥2.
綜上所知，△OMN面積的取值范圍是[2，＋∞)．
22．(12分)(2018吉林省長春外國語學校模擬)已知函數f(x)＝ax＋lnx(a∈R)．
(1)若a＝2，求曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程；
(2)求f(x)的單調區(qū)間；
(3)設g(x)＝x2－2x＋2，若對任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范圍．
解 (1)由已知得f′(x)＝2＋(x>0)，f′(1)＝2＋1＝3，f(1)＝2，所以斜率k＝3，
又切點(1,2)，所以切線方程為y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0，
故曲線y＝f(x)在x＝1處切線的切線方程為3x－y－1＝0.
(2)f′(x)＝a＋＝(x>0)，
①當a≥0時，由于x＞0，故ax＋1>0，f′(x)＞0，
所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)．
②當a＜0時，由f′(x)＝0，得x＝－.
在區(qū)間上，f′(x)＞0，在區(qū)間上，f′(x)<0，
所以，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.
(3)由已知，轉化為f(x)max＜g(x)max.g(x)＝(x－1)2＋1，x∈[0,1]，
所以g(x)max＝2，
由(2)知，當a≥0時，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，值域為R，故不符合題意．
當a＜0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，
故f(x)的極大值即為最大值，
f(x)max＝f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，
所以2>－1－ln(－a)，解得a<－.
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