2020版高中數(shù)學 第三章 概率學案（含解析）新人教B版必修3.docx
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第三章 概率 1 辨析頻率與概率 概率與頻率雖只有一字之差，但意義大不相同，同時二者之間又有一定的聯(lián)系．下面和同學們一起認識一下這對“孿生兄弟”． 一、頻率與概率的區(qū)別 頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，它的值等于隨機事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比．頻率是隨機的，在試驗前不能確定，做同樣次數(shù)的重復試驗得到的某事件發(fā)生的頻率不一定相同．而概率是一個確定的值，是客觀存在的，與每次試驗無關(guān)，與試驗次數(shù)也無關(guān)． 例1連續(xù)拋擲一枚硬幣10次，落地后正面向上出現(xiàn)了6次，設(shè)“拋一次硬幣，正面向上”為事件A，則下列說法正確的有________． ①P(A)＝；②P(A)≈； ③再連續(xù)拋擲該硬幣10次，落地后出現(xiàn)正面的次數(shù)還是6； ④事件A發(fā)生的頻率為； ⑤無論哪一次拋，硬幣落地后正面向上的概率相同． 解析?、堍菡_．在一次試驗中，事件A發(fā)生的概率為，再連續(xù)拋擲該硬幣10次，落地后出現(xiàn)正面的次數(shù)不確定． 答案?、堍? 點評 頻率的隨機性和概率的確定性是二者的本質(zhì)區(qū)別． 二、頻率與概率的聯(lián)系 1．在大量重復進行同一試驗時，頻率總是在某個常數(shù)附近擺動．由于事件的隨機性，有時候頻率也可能出現(xiàn)偏離該“常數(shù)”較大的情形，但隨著試驗次數(shù)的增加，這種情形出現(xiàn)的可能性會減?。怕适穷l率的穩(wěn)定值，可看作是頻率在 理論上的平均值，它從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大?。? 2．在實際問題中，某些隨機事件的概率往往難以確切的得到，因此我們常常通過大量的重復試驗，用隨機事件發(fā)生的頻率來估計概率． 例2一個不透明的袋中裝有大小質(zhì)地相同的紅、白兩種顏色的小球，某學習小組做摸球試驗，每次從袋中摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻后再摸．試驗的部分數(shù)據(jù)如下表： 摸球次數(shù) 30 60 90 120 150 180 210 270 300 摸到紅球的次數(shù) 6 25 31 38 45 53 67 摸到紅球的頻率 0.300 0.247 (1)將表格補充完整；(所求頻率保留3位小數(shù)) (2)估計從中隨機摸一個球，求摸到紅球的概率P.(保留2位小數(shù)) 解 (1)第二行依次填：18,74. 第三行依次填：0.200,0.278,0.258,0.253,0.250，0.252，0.248. (2)由(1)知，雖然抽取次數(shù)不同，所得頻率值不同，但隨試驗次數(shù)的增加，頻率在常數(shù)0.250附近擺動，故P≈0.25. 點評 只有當頻率值在某一常數(shù)附近擺動時，才能將此常數(shù)近似看作該事件發(fā)生的概率．現(xiàn)實生活中很多事件的概率是難以確切得到的，鑒于隨機事件的發(fā)生帶有隨機性的同時又存在一定的規(guī)律性，故一般通過大量的重復試驗，用隨機事件的頻率來估計概率. 2 概率加法公式應(yīng)用點撥 概率的加法公式是計算概率的一個最基本的公式，根據(jù)它可以計算一些復雜事件的概率．概率的加法公式可推廣為若事件A1，A2，…，An彼此互斥(兩兩互斥)，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于各個事件發(fā)生的概率之和．用此公式時，同學們首先要判斷事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．下面舉例說明概率加法公式的應(yīng)用． 一、計算互斥事件和的概率 例1由經(jīng)驗得知，某市某大型超市付款處排隊等候付款的人數(shù)及其概率如下表： 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 5人以上 概率 0.10 0.16 0.30 0.3 0.10 0.04 求：(1)至多2人排隊的概率； (2)至少2人排隊的概率． 解 (1)記“沒有人排隊”為事件A，“1人排隊”為事件B，“2人排隊”為事件C，則A，B，C彼此互斥． P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56. (2)記“至少2人排隊”為事件D，“少于2人排隊”為事件A∪B，那么事件D與事件A∪B是對立事件，則P(D)＝P()＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.10＋0.16)＝0.74. 點評 應(yīng)用概率加法公式求概率的前提有兩個：一是所求事件是幾個事件的和，二是這幾個事件彼此互斥．在應(yīng)用概率加法公式前，一定要弄清各事件之間的關(guān)系，把一個事件分拆為幾個彼此互斥的事件的和，再應(yīng)用公式求解所求概率． 二、求解“至少”與“至多”型問題 例2甲、乙、丙、丁四人同時參加一等級考試，已知恰有1人過關(guān)(事件A)的概率為0.198，恰有2人過關(guān)(事件B)的概率為0.38，恰有3人過關(guān)(事件C)的概率為0.302,4人都過關(guān)(事件D)的概率為0.084.求： (1)至少有2人過關(guān)的概率P1； (2)至多有3人過關(guān)的概率P2. 分析 “至少有2人過關(guān)”即事件B∪C∪D.“至多有3人過關(guān)”即事件A，B，C與事件“4人均未過關(guān)”的并事件，其對立事件為D.(注意“4人均未過關(guān)”這種可能情況) 解 由條件知，事件A，B，C，D彼此互斥． (1)P1＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.766. (2)P2＝P()＝1－P(D)＝1－0.084＝0.916. 點評 處理“至多”“至少”型問題，既可以分情況討論，也可以從反面考慮，即借助對立事件的概率間接求解．當事件包含的情況較多時，常利用P(A)＝1－P()求P(A)． 三、列方程求解概率問題 例3某班級同學的血型分別為A型、B型、AB型、O型，從中任取一名同學，其血型為AB型的概率為0.09，為A型或O型的概率為0.61，為B型或O型的概率為0.6，試求任取一人，血型為A型、B型、O型的概率各是多少？ 分析 設(shè)出所求事件的概率，將題中涉及到的事件用所求事件表示出來，借助這些事件的概率及公式，列方程求解即可． 解 記“任取一人，血型為A型”，“任取一人，血型為B型”，“任取一人，血型為AB型”，“任取一人，血型為O型”分別為事件E，F(xiàn)，G，H，顯然事件E，F(xiàn)，G，H兩兩互斥． 故 解得 所以任取一人，血型為A型、B型、O型的概率分別為0.31、0.3、0.3. 點評 本題很好地應(yīng)用了全體事件的和為必然事件這一點．挖掘題目中的隱含條件并合理利用是解決某些問題的關(guān)鍵，同學們應(yīng)注重這種能力的培養(yǎng). 3 隨機事件的概率 結(jié)論1 概率大的隨機事件不一定意味著肯定發(fā)生．在一次試驗中，概率大的隨機事件的發(fā)生不一定優(yōu)于概率小的隨機事件的發(fā)生． 釋義 對于概率的大小問題，只能說明相對于同一隨機事件而言，概率大的發(fā)生的可能性大，概率小的發(fā)生的可能性小． 例1 在一次試驗中，隨機事件A發(fā)生的概率是0.3，隨機事件B發(fā)生的概率是0.7，你認為如果做一次試驗，可能出現(xiàn)B不發(fā)生A發(fā)生的現(xiàn)象嗎？為什么？ 解 這是可能的．因為隨機事件B的發(fā)生概率大于隨機事件A的發(fā)生概率，但并不意味著在一次試驗中隨機事件B的發(fā)生一定優(yōu)于隨機事件A的發(fā)生，隨機事件的發(fā)生是不確定的． 結(jié)語 結(jié)論1實現(xiàn)實際生活中小概率事件發(fā)生的可能性．對于概率問題，必須注意的是概率是相對于大量重復試驗的前提下得到的理論值，但在少數(shù)的有限試驗中，概率不一樣的隨機事件發(fā)生的可能性無法確定． 結(jié)論2 概率是由巨大數(shù)據(jù)統(tǒng)計后得出的結(jié)論，是一種大的整體的趨勢；而頻率是數(shù)據(jù)統(tǒng)計的結(jié)果，是一種具體的趨勢和規(guī)律．概率可以看作頻率在理論上的期望值． 釋義 概率與頻率的關(guān)系是整體與具體、理論與實踐、戰(zhàn)略與戰(zhàn)術(shù)的關(guān)系，頻率隨著隨機事件次數(shù)的增加會趨向于概率．在處理具體的隨機事件時，用概率作指導，以頻率為依據(jù)． 例2 在某次射擊比賽中，甲運動員在決賽中以0.2環(huán)的微弱優(yōu)勢戰(zhàn)勝了乙運動員，摘得該項的金牌．下表是兩人在參賽前訓練中擊中10環(huán)以上的次數(shù)統(tǒng)計： 甲運動員： 射擊次數(shù)n 10 20 50 100 200 500 擊中10環(huán)以上的次數(shù)m 9 17 44 92 179 450 擊中10環(huán)以上的頻率 乙運動員： 射擊次數(shù)n 10 20 50 100 200 500 擊中10環(huán)以上的次數(shù)m 8 19 44 93 177 453 擊中10環(huán)以上的頻率 請根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)回答以下問題： (1)分別計算出兩位運動員擊中10環(huán)以上的頻率； (2)根據(jù)(1)中計算的結(jié)果預(yù)測兩位運動員在該比賽中每次擊中10環(huán)以上的概率． 解 (1)兩運動員擊中10環(huán)以上的頻率分別為： 甲：0.9,0.85,0.88,0.92,0.895,0.9； 乙：0.8,0.95,0.88,0.93,0.885,0.906； (2)由(1)中的數(shù)據(jù)可知兩位運動員擊中10環(huán)以上的頻率都集中在0.9這個數(shù)的附近，所以可以預(yù)測兩位運動員在該比賽中每次擊中10環(huán)以上的概率為0.9，即兩人的實力相當． 結(jié)語 結(jié)論2實現(xiàn)頻率與概率既有聯(lián)系又有區(qū)別，頻率隨著隨機事件的試驗次數(shù)的不斷增加而趨向于概率． 結(jié)論3 兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立． 釋義 對立事件是互斥事件的一個特例，兩個互斥事件不一定是對立事件，而兩個對立事件必為互斥事件． 例3 一個不透明的袋中裝入4個白球與4個黑球，從中任意摸出3個球． (1)可能發(fā)生哪些事件？ (2)指出其中每個事件的互斥事件； (3)事件“至少摸出1個白球”是哪幾個事件的和事件？它的對立事件是哪個事件？ 解 (1)以白球或黑球的個數(shù)作為討論標準，可能發(fā)生下列事件： ①摸出3個白球，記為事件A； ②摸出2個白球，1個黑球，記為事件B； ③摸出1個白球，2個黑球，記為事件C； ④摸出3個黑球，記為事件D； (2)事件A，B，C，D彼此互斥； (3)“至少摸出1個白球”的事件為A，B，C的和事件，即“至少摸出1個白球”的對立事件是D. 結(jié)語 結(jié)論3實現(xiàn)對立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別．特別在解答一些問題時，在把復雜事件加以分解的事件個數(shù)不是太多的情況下，可以把所有的事件羅列下來，結(jié)合互斥事件與對立事件的概念加以辨析. 4 點擊互斥事件 一、互斥事件、對立事件的概念 1．“互斥事件”和“對立事件”都是就兩個事件而言的，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，也就是說互斥事件至多有一個發(fā)生，也有可能兩個都不發(fā)生，而對立事件是其中必有一個發(fā)生的互斥事件．因此，對立事件必須是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，也就是說對立事件是互斥事件的充分不必要條件． 2．從集合的角度理解：兩個互斥事件對應(yīng)的基本事件所組成的集合的交集為空集，并集可能是全集，也可能不是全集；當A，B是對立事件時，其交集為空集，并集是全集． 3．互斥事件之間的關(guān)系中的“不能同時發(fā)生”體現(xiàn)了分類討論的原則“不重復”，而“不遺漏”則表現(xiàn)在所有互斥事件的和是整個事件(必然事件)． 二、例題點擊 1．互斥事件、對立事件的判斷 例1 從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個球，那么互斥但不對立的事件是( ) A．至少有1個紅球與都是紅球 B．至少有1個黑球與至少有1個紅球 C．恰有1個黑球與恰有2個紅球 D．至少有1個黑球與都是紅球 解析 “從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個球”這一事件共包含3個基本事件：(紅，紅)，(黑，黑)，(紅，黑)，故恰有1個黑球與恰有2個紅球互斥但不對立，所以選C. 答案 C 評注 借助于列舉基本事件，結(jié)合定義，易判斷出互斥與對立事件． 2．互斥事件的計算 例2 袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中任取1只，有放回地抽取3次，求3只顏色不全相同的概率． 解 記“3只顏色全相同”為事件A，則所求事件為A的對立事件． 因為“3只顏色全相同”又可分為“3只全是紅球(事件B)”“3只全是黃球(事件C)”“3只全是白球(事件D)”，且它們彼此互斥，故3只顏色全相同即為事件B＋C＋D， 由于紅球、黃球、白球的個數(shù)一樣， 故有P(B)＝P(C)＝P(D)＝， 所以P(A)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝， 因此有P()＝1－＝. 答 3只顏色不全相同的概率是. 評注 本題可將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和，但比較麻煩，故轉(zhuǎn)化為其對立事件求解，體現(xiàn)了“正難則反”的思想．注意“3只顏色全相同”可分為三個彼此互斥的基本事件，它的對立事件為“3只顏色不全相同”. 5 解古典概型的幾個注意 解古典概型問題時，要牢牢抓住它的兩個特點：(1)有限性：做一次試驗，可能出現(xiàn)的結(jié)果為有限個，即只有有限個不同的基本事件．(2)等可能性：每個基本事件發(fā)生的可能性是相等的．其計算公式P(A)＝也比較簡單，但是這類問題的解法多樣，技巧性強，下面說一下在解題中需要注意的幾個問題． 注意1——有限性和等可能性 例1 擲兩枚均勻的硬幣，求出現(xiàn)一正一反的概率． 分析 這個試驗的基本事件(所有可能結(jié)果)共有4種：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件A“出現(xiàn)一正一反”的所有可能結(jié)果為：(正，反)，(反，正)． 解 P(A)＝＝. 評注 均勻硬幣在拋擲過程中出現(xiàn)正、反面的概率是相等的，并且試驗結(jié)果是有限個． 注意2——計算基本事件的數(shù)目時，必須做到不重不漏 例2 從1,2,3,4,5這5個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字，求下列事件的概率：(1)A＝{三個數(shù)字中不含1和5}；(2)B＝{三個數(shù)字中含1或5}． 分析 這個試驗的所有可能結(jié)果為：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10種． 解 (1)事件A為(2,3,4)，故P(A)＝. (2)事件B的所有可能結(jié)果為：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共9種．故P(B)＝. 評注 在計算事件數(shù)目時，要做到不重不漏，如B中可分為含1的：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)．含5的：(1,2,5)，(1,3,5)，(2,3,5)，(3,4,5)，(1,4,5)，(2,4,5)．在歸于集合B中時，(1,2,5)，(1,3,5)，(1,4,5)這三個不能重復計算． 注意3——利用事件間的關(guān)系 例3 有3個完全相同的小球a，b，c，隨機放入甲、乙兩個盒子中，求兩個盒子都不空的概率． 分析 先分析三個小球隨機放入甲、乙兩個盒子的基本事件，再確定兩個盒子都不空的對立事件是至少有一個盒子為空所包含事件，從而確定該事件的概率． 解 a，b，c三個小球隨機放入甲、乙兩個盒子的基本事件為： 甲盒 a，b，c a，b a a，c b，c b c 空 乙盒 空 c b，c b a c，a a，b a，b，c 兩個盒子都不空的對立事件是至少有一個盒子為空， 所包含事件：甲盒子a，b，c，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a，b，c，共兩個，故P＝1－＝. 評注 在求解較復雜事件的概率時，可將其分解為幾個互斥的簡單事件的和事件，由公式P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得或采用正難則反的原則，轉(zhuǎn)化為其對立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得. 6 走出解幾何概型的幾個誤區(qū) 幾何概型和古典概型是概率中典型的問題，幾何概型和古典概型有共同點，也有很多不一樣的地方．我們在求解幾何概型問題時，經(jīng)常會出現(xiàn)一些典型的錯誤．下面用具體的例子幫你走出誤區(qū)． 一、若P(A)＝0，則A未必是不可能事件；若P(A)＝1，則A未必是必然事件 例1 有一個底面是圓形的容器，底面圓半徑是一枚硬幣半徑的10倍，現(xiàn)在把這枚硬幣隨機地扔進容器，求硬幣與底面恰好相切的概率． 解 記“硬幣與底面圓相切”為事件A，由題意知所求問題是以面積為測度的幾何概型的概率問題，事件A中硬幣的位置可由硬幣的中心確定，當硬幣與底面相切時，硬幣的中心形成一個圓周(不包括圓周內(nèi)部)，故其對應(yīng)的面積可以認為是0，故P(A)＝0. 點評 在古典概型中，P(A)＝0?A是不可能事件；而在幾何概型P(A)＝0，則A未必是不可能事件；P(A)＝1，A也未必是必然事件． 二、背景相似的問題，當試驗的角度不同時，其概率不一樣 例2 (1)在直角三角形ABC中，∠A＝90，AB＝AC，過點A作一射線交線段BC于點M，求BM≤AB的概率． (2)在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90，在線段BC上取一點M，求BM≤AB的概率． 解 (1)記“過點A作一射線交線段BC于點M，使BM≤AB”為事件Ω，由于是過點A作一射線交線段BC于點M，所以射線在∠BAC內(nèi)是等可能出現(xiàn)的， 又當AB＝BM時∠BAM＝67.5， 所以P(Ω)＝＝＝. (2)設(shè)AB＝AC＝1，則BC＝， 設(shè)“在線段BC上取一點M，使BM≤AB”為事件Ω， 則P(Ω)＝＝＝. 點評 幾何概型有關(guān)問題，有的背景相似，試驗的角度不同時，其概率是不一樣的． 三、錯用測度類型 例3 在區(qū)間[0,2]中隨機地取出兩個數(shù)，求兩數(shù)之和小于1的概率． 錯解 兩數(shù)之和小于1，那么每一個數(shù)是[0,1]之間，故每一個數(shù)對應(yīng)的概率為，那么所求兩個數(shù)的概率為＝. 錯因分析 因為兩數(shù)之和小于1，故兩個數(shù)之間有相互制約的關(guān)系，即兩個變量之間不是相互獨立的，不可將兩個變量的概率相乘，故這種做法是錯誤的，應(yīng)用面積做測度，計算概率． 正確答案 設(shè)x，y表示所取的任意兩個數(shù)，由于x∈[0,2]，y∈[0,2]，∴以兩數(shù)x，y為坐標的點在以2為邊長的正方形區(qū)域內(nèi)，設(shè)兩數(shù)和小于1為事件A，則事件A所在區(qū)域為直線x＋y＝1的下方且在正方形內(nèi)的陰影區(qū)域．∴P(A)＝＝. 四、忽視等可能 例4 以等腰直角三角形的直角頂點為圓心作圓，使這個圓與斜邊相交，則截得弦長不大于直角邊的概率為多少？ 錯解 如圖所示， 設(shè)MN是以C為圓心，以MC為半徑的圓所截取的線段， 故所求事件發(fā)生的概率為P＝＝. 錯因分析 本試驗以直角頂點為圓心作圓，使這個圓與斜邊相交，因此用圓和線段相交的長度反映概率，忽視了等可能． 正確答案 以直角頂點為圓心作圓，使這個圓與斜邊相交，半徑r的取值范圍在CH下載提示(請認真閱讀)
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