2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 算法初步 1.1.1 算法的概念學(xué)案（含解析）新人教B版必修3.docx

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1.1.1　算法的概念 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解算法的含義.2.了解算法的思想.3.會(huì)用自然語言描述一些具體問題的算法． 知識(shí)點(diǎn)一　算法的概念 思考1　有一碗醬油，一碗醋和一個(gè)空碗．現(xiàn)要把兩碗盛的物品交換過來，試用自然語言表述你的操作辦法． 答案　先把醋倒入空碗，再把醬油倒入原來盛醋的碗，最后把倒入空碗中的醋倒入原來盛醬油的碗，就完成了交換． 思考2　某笑話有這樣一個(gè)問題：把大象裝進(jìn)冰箱總共分幾步？答案是分三步．第一步：把冰箱門打開；第二步：把大象裝進(jìn)去；第三步：把冰箱門關(guān)上．這是一個(gè)算法嗎？ 答案　是． 梳理　算法概念 12世紀(jì)的算法 是指用阿拉伯?dāng)?shù)字進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算的過程 數(shù)學(xué)中的算法 通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟 現(xiàn)代算法 通?？梢跃幊捎?jì)算機(jī)程序，讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問題 知識(shí)點(diǎn)二　算法的特征 思考　算法與一般意義上具體問題的解法的區(qū)別與聯(lián)系是什么？ 答案　(1)它們之間是一般與特殊的關(guān)系，也是抽象與具體的關(guān)系． (2)要設(shè)計(jì)出解決一類問題的算法，可以借助于此類問題中的某一個(gè)問題的解決過程和思路進(jìn)行設(shè)計(jì)，而此類問題中的任何一個(gè)具體問題都可以利用這類問題的一般算法來解決． 梳理　算法的五個(gè)特征 (1)有限性：一個(gè)算法的步驟是有限的，它應(yīng)在有限步操作之后停止． (2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的，并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不是模棱兩可的． (3)邏輯性：算法從初始步驟開始，分為若干個(gè)明確的步驟，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能進(jìn)行下一步，而且每一步都是正確無誤的，從而組成具有很強(qiáng)邏輯性的步驟序列． (4)普遍性：一個(gè)確定的算法，應(yīng)該能夠解決一類問題． (5)不唯一性：求解某一個(gè)問題的算法不一定只有唯一的一個(gè)，也可以有不同的算法． 特別提醒：判斷一個(gè)問題是不是算法，關(guān)鍵是明確算法的含義及算法的特征． 知識(shí)點(diǎn)三　算法的設(shè)計(jì) 思考　自然語言是唯一描述算法的語言嗎？ 答案　不是．描述算法可以有不同的方式，常用的有自然語言、框圖(流程圖)、程序設(shè)計(jì)語言等． 梳理　(1)設(shè)計(jì)算法的目的 設(shè)計(jì)算法的目的實(shí)際上是尋求一類問題的解決方法，它可以通過計(jì)算機(jī)來完成．設(shè)計(jì)算法的關(guān)鍵是把過程分解成若干個(gè)明確的步驟，然后用計(jì)算機(jī)能夠接受的“語言”準(zhǔn)確地描述出來，從而達(dá)到讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行的目的． (2)設(shè)計(jì)算法的要求 ①寫出的算法必須能解決一類問題． ②要使算法盡量簡單、步驟盡量少． ③要保證算法步驟有效，且計(jì)算機(jī)能夠執(zhí)行． 1．算法是解決一個(gè)問題的方法．(　　) 2．一個(gè)算法可以產(chǎn)生不確定的結(jié)果．(　　) 3．算法的步驟必須是明確的、有限的．(　√　) 題型一　算法概念的理解 例1　下列關(guān)于算法的說法，正確的個(gè)數(shù)有(　　) ①求解某一類問題的算法是唯一的； ②算法必須在有限步操作之后停止； ③算法的每一步操作必須是明確的，不能有歧義或模糊； ④算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果． A．1B．2C．3D．4 答案　C 解析　由于算法具有有限性、確定性等特點(diǎn)，因而②③④正確，而解決某類問題的算法不一定唯一，從而①錯(cuò)． 反思與感悟　算法實(shí)際上是解決問題的一種程序性方法，它通常用來解決某一個(gè)或某一類問題，在用算法解決問題時(shí)，體現(xiàn)了特殊與一般的數(shù)學(xué)思想． 跟蹤訓(xùn)練1　下列描述不能看作算法的是(　　) A．做米飯需要刷鍋，淘米，添水，加熱這些步驟 B．洗衣機(jī)的使用說明書 C．解方程2x2＋x－1＝0 D．利用公式S＝πr2，計(jì)算半徑為4的圓的面積，就是計(jì)算π42 答案　C 解析　A，B，D都描述了解決問題的過程，可以看作算法，而C只描述了一個(gè)事實(shí)，沒說明怎么解決問題，不是算法． 題型二　算法的閱讀理解 例2　下面算法要解決的問題是_______________________________________________． S1　輸入三個(gè)數(shù)，并分別用a，b，c表示． S2　比較a與b的大小，如果ab. 第三步運(yùn)行后a>c. 第四步運(yùn)行后b>c，所以a>b>c. 第五步運(yùn)行后，顯示a，b，c的值，且從大到小排列． 反思與感悟　一個(gè)算法的作用往往并不顯而易見，這需要我們結(jié)合具體數(shù)值去執(zhí)行一下才知道． 跟蹤訓(xùn)練2　下面給出了一個(gè)問題的算法： S1　輸入a. S2　若a≥4，則執(zhí)行第三步，否則執(zhí)行第四步． S3　輸出2a－1. S4　輸出a2－2a＋3. 這個(gè)算法解決的問題是________________________________________________________． 答案　求函數(shù)f(x)＝當(dāng)x＝a時(shí)的函數(shù)值f(a) 題型三　算法的設(shè)計(jì)與應(yīng)用 例3　有一個(gè)底面半徑為3，母線為5的圓錐，寫出求該圓錐體積的算法． 解　如圖，先給r，l賦值，計(jì)算h，再根據(jù)圓錐體積公式V＝πr2h計(jì)算V，然后輸出結(jié)果． S1　令r＝3，l＝5. S2　計(jì)算h＝. S3　計(jì)算V＝πr2h. S4　輸出運(yùn)算結(jié)果． 反思與感悟　利用公式解決問題時(shí)，必須先求出公式中的各個(gè)量，在設(shè)計(jì)算法時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮未知量的求法． 跟蹤訓(xùn)練3　已知一個(gè)等邊三角形的周長為a，求這個(gè)三角形的面積．設(shè)計(jì)一個(gè)算法解決這個(gè)問題． 解　S1　輸入a的值． S2　計(jì)算l＝的值． S3　計(jì)算S＝l2的值． S4　輸出S的值． 例4　已知函數(shù)f(x)＝設(shè)計(jì)一個(gè)算法求函數(shù)的任一函數(shù)值． 解　S1　輸入x＝a. S2　若a≥2，則執(zhí)行第三步；若a＜2，則執(zhí)行第四步． S3　輸出f(a)＝a2－a＋1. S4　輸出f(a)＝a＋1. 反思與感悟　首先結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式的特征，然后選擇恰當(dāng)?shù)乃惴ㄕZ言進(jìn)行描述． 跟蹤訓(xùn)練4　已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1, 設(shè)計(jì)一個(gè)算法求函數(shù)的任一函數(shù)值． 解　S1　輸入x＝a. S2　若a＜2，則執(zhí)行第三步，否則執(zhí)行第四步． S3　輸出f(a)＝3－a. S4　輸出f(a)＝a－1. 例5　所謂正整數(shù)p為素?cái)?shù)是指：p的所有約數(shù)只有1和p.例如，35不是素?cái)?shù)，因?yàn)?5的約數(shù)除了1,35外，還有5與7；29是素?cái)?shù)，因?yàn)?9的約數(shù)只有1和29.試設(shè)計(jì)一個(gè)能夠判斷一個(gè)任意正整數(shù)n(n＞1)是否為素?cái)?shù)的算法． 解　算法如下： S1　給出任意一個(gè)正整數(shù)n(n＞1)． S2　若n＝2，則輸出“2是素?cái)?shù)”，判斷結(jié)束． S3　令m＝1. S4　m＝m＋1. S5　如果m≥n，則輸出“n是素?cái)?shù)”，判斷結(jié)束． S6　判斷m能否整除n， ①如果能整除，則輸出“n不是素?cái)?shù)”，判斷結(jié)束； ②如果不能整除，則轉(zhuǎn)第四步． 反思與感悟　設(shè)計(jì)一個(gè)具體問題的算法，通常按以下步驟： (1)認(rèn)真分析問題，找出解決該問題的一般數(shù)學(xué)方法． (2)借助有關(guān)變量或參數(shù)對算法加以表述． (3)將解決問題的過程劃分為若干步驟． (4)用簡練的語言將這個(gè)步驟表示出來． 跟蹤訓(xùn)練5　判斷一個(gè)大于2的整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的算法步驟如何設(shè)計(jì)？ 解　S1　給定大于2的整數(shù)n. S2　令i＝2. S3　用n除以i，得到余數(shù)r. S4　判斷“r＝0”是否成立．若成立，則n不是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法；否則，將i的值增加1，仍用i表示． S5　判斷“i>(n－1)”是否成立．若成立，則n是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法；否則，返回第三步．  1．下列關(guān)于算法的說法正確的是(　　) A．一個(gè)算法的步驟是可逆的 B．描述算法可以有不同的方式 C．算法可以看成是按照要求設(shè)計(jì)好的、有限的、確切的計(jì)算序列，并且這樣的步驟或序列只能解決當(dāng)前問題 D．算法只能用一種方式顯示 答案　B 解析　由算法的定義知A，C，D錯(cuò)． 2．計(jì)算下列各式中S的值，能設(shè)計(jì)算法求解的是(　　) ①S＝＋＋＋…＋； ②S＝＋＋＋…＋＋…； ③S＝＋＋＋…＋(n≥1，n∈N＋)． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 答案　B 解析　由算法的有限性知②不能設(shè)計(jì)算法求解，①③都能通過有限步輸出確定結(jié)果． 3．已知直角三角形兩直角邊長為a，b，求斜邊長c的一個(gè)算法分下列三步： (1)計(jì)算c＝； (2)輸入直角三角形兩直角邊長a，b的值； (3)輸出斜邊長c的值． 其中正確的順序是________． 答案　(2)(1)(3) 解析　算法的步驟是有先后順序的，第一步是輸入，最后一步是輸出，中間的步驟是賦值、計(jì)算． 4．求過P(a1，b1)，Q(a2，b2)兩點(diǎn)的直線的斜率有如下的算法，請?jiān)跈M線上填出適當(dāng)步驟． S1　令x1＝a1，y1＝b1，x2＝a2，y2＝b2. S2　判斷“x1＝x2”是否成立．若成立，則輸出“斜率不存在”；否則，執(zhí)行第三步． S3　________________________________________________________________________. S4　輸出k. 答案　計(jì)算斜率k＝ 解析　由題意可知，“第三步”應(yīng)根據(jù)直線斜率公式計(jì)算斜率k的值． 5．寫出解二元一次方程組的算法． 解　S1?、伲?②得7x＝1.③ S2　解③得x＝. S3?、?－①2得7y＝5.④ S4　解④得y＝. S5　得到方程組的解為 1．算法的特點(diǎn)：有限性、確定性、邏輯性、不唯一性、普遍性． 2．算法設(shè)計(jì)的要求： (1)寫出的算法必須能夠解決一類問題(如判斷一個(gè)整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，求任意一個(gè)方程的近似解等)，并且能夠重復(fù)使用． (2)要使算法盡量簡單，步驟盡量少． (3)要保證算法正確，且算法步驟能夠一步一步執(zhí)行，每步執(zhí)行的操作必須確切，不能含混不清，而且在有限步后能得到結(jié)果． 一、選擇題 1．下列可以看成算法的是(　　) A．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，課前預(yù)習(xí)，課上認(rèn)真聽講并記好筆記，課下先復(fù)習(xí)再做作業(yè)，之后做適當(dāng)?shù)木毩?xí)題 B．今天餐廳的飯真好吃 C．這道數(shù)學(xué)題難做 D．方程2x2－x＋1＝0無實(shí)數(shù)根 答案　A 解析　A是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)步驟，所以是算法． 2．下面是判斷一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有實(shí)數(shù)根的算法步驟．對該算法步驟排序正確的是(　　) ①輸入一元二次方程的系數(shù)：a，b，c. ②計(jì)算Δ＝b2－4ac的值． ③判斷Δ≥0是否成立．若Δ≥0成立，則輸出“方程有實(shí)數(shù)根”；否則輸出“方程無實(shí)數(shù)根”，結(jié)束算法． A．①②③B．②①③C．③①②D．②③① 答案　A 解析　根據(jù)該算法的構(gòu)成，容易得到答案為A. 3．在用二分法求方程零點(diǎn)的算法中，下列說法正確的是(　　) A．這個(gè)算法可以求所有的零點(diǎn) B．這個(gè)算法可以求任何方程的零點(diǎn) C．這個(gè)算法能求所有零點(diǎn)的近似解 D．這個(gè)算法可以求變號(hào)零點(diǎn)的近似解 答案　D 解析　二分法的理論依據(jù)是函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理．它解決的是求變號(hào)零點(diǎn)的問題，并不能求所有零點(diǎn)的近似值． 4．有藍(lán)、黑兩個(gè)墨水瓶，但現(xiàn)在卻錯(cuò)把藍(lán)墨水裝在了黑墨水瓶中，黑墨水錯(cuò)裝在了藍(lán)墨水瓶中，要求將其互換，現(xiàn)有空墨水瓶若干，解決這一問題最少需要的步驟數(shù)為(　　) A．2B．3C．4D．5 答案　B 解析　S1　將藍(lán)墨水裝到一個(gè)空墨水瓶中； S2　將黑墨水裝到黑墨水瓶中； S3　將藍(lán)墨水裝到藍(lán)墨水瓶中，這樣就解決了這個(gè)問題，故選B. 5．已知一個(gè)算法： (1)給出三個(gè)數(shù)x、y、z； (2)計(jì)算M＝x＋y＋z； (3)計(jì)算N＝M； (4)得出每次計(jì)算結(jié)果． 則上述算法是(　　) A．求和 B．求余數(shù) C．求平均數(shù) D．先求和再求平均數(shù) 答案　D 解析　由算法過程可知，M為三數(shù)之和，N為這三數(shù)的平均數(shù)，故選D. 6．下面是對高斯消去法的理解： ①它是解方程組的一種方法； ②它可以用來解多元一次方程組； ③用它來解方程組時(shí)，有些方程組的答案可能不準(zhǔn)確． 其中正確的是(　　) A．①②B．③C．①③D．②③ 答案　A 解析　只有①②符合題意． 7．下列各式中T的值不能用算法求解的是(　　) A．T＝12＋22＋32＋42＋…＋1002 B．T＝＋＋＋＋…＋ C．T＝1＋2＋3＋4＋5＋… D．T＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100 答案　C 解析　根據(jù)算法的有限性知C不能用算法求解． 8．對于算法： S1　輸入n. S2　判斷n是否等于2，若n＝2，則n滿足條件；若n＞2，則執(zhí)行第三步． S3　依次從2到(n－1)檢驗(yàn)?zāi)懿荒鼙籲整除，若不能被n整除，則執(zhí)行第四步；若能整除n，則結(jié)束算法． S4　輸出n. 滿足條件的n是(　　) A．質(zhì)數(shù)B．奇數(shù)C．偶數(shù)D．約數(shù) 答案　A 解析　此題首先要理解質(zhì)數(shù)，只能被1和自身整除的大于1的整數(shù)叫質(zhì)數(shù).2是最小的質(zhì)數(shù)，這個(gè)算法通過對2到(n－1)一一驗(yàn)證，看是否有其他約數(shù)，來判斷其是否為質(zhì)數(shù)． 二、填空題 9．下面是解決一個(gè)問題的算法： S1　輸入x. S2　若x≥6，轉(zhuǎn)到S3；否則轉(zhuǎn)到S4. S3　輸出3x－2. S4　輸出x2－2x＋4. 當(dāng)輸入x的值為________時(shí)，輸出的數(shù)值最小，且最小值為________． 答案　1　3 解析　所給算法解決的是求分段函數(shù)f(x)＝的函數(shù)值的問題．當(dāng)x≥6時(shí)，f(x)＝3x－2≥36－2＝16；當(dāng)x＜6時(shí)，f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3.所以f(x)min＝3，此時(shí)x＝1，即當(dāng)輸入x的值為1時(shí)，輸出的數(shù)值最小，且最小值是3. 10．一個(gè)算法的步驟如下： S1　令i＝0，S＝2. S2　如果i≤15，則執(zhí)行S3，否則執(zhí)行S6. S3　計(jì)算S＋i并將結(jié)果代替S. S4　用i＋2的值代替i. S5　轉(zhuǎn)去執(zhí)行S2. S6　輸出S. 運(yùn)行該算法輸出的結(jié)果S＝________. 答案　58 解析　據(jù)題意知，S＝2＋2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝58. 11．下面給出了解決問題的算法： S1　輸入x. S2　若x≤1，則y＝2x－1，否則y＝x2＋3. S3　輸出y. 當(dāng)輸入的x值為________時(shí)，輸入值與輸出值相等． 答案　1 解析　該算法的作用是求分段函數(shù)y＝的函數(shù)值．解得x＝1；無解． 12．給出下列算法： S1　輸入x的值． S2　當(dāng)x＞4時(shí)，計(jì)算y＝x＋2；否則執(zhí)行下一步． S3　計(jì)算y＝. S4　輸出y. 當(dāng)輸入x＝0時(shí)，輸出y＝________. 答案　2 解析　0＜4，執(zhí)行第三步，y＝＝2. 三、解答題 13．某商場舉辦優(yōu)惠促銷活動(dòng)．若購物金額在800元以上(不含800元)，打7折；若購物金額在400元以上(不含400元)，800元以下(含800元)，打8折；否則，不打折．請為商場收銀員設(shè)計(jì)一個(gè)算法，要求輸入購物金額x，輸出實(shí)際交款額y. 解　算法步驟如下： S1　輸入購物金額x(x>0)． S2　判斷“x>800”是否成立，若成立，則y＝0.7x，轉(zhuǎn)第四步；否則，執(zhí)行第三步． S3　判斷“400＜x≤800”是否成立，若成立，則y＝0.8x，轉(zhuǎn)第四步；否則，y＝x. S4　輸出y，結(jié)束算法． 四、探究與拓展 14．下面是求15和18的最小公倍數(shù)的算法，其中不恰當(dāng)?shù)囊徊绞莀_______． S1　先將15分解素因數(shù)：15＝35. S2　然后將18分解素因數(shù)：18＝322. S3　確定它們的所有素因數(shù)：2,3,5. S4　計(jì)算出它們的最小公倍數(shù)：235＝30. 答案　第四步 解析　素因數(shù)2,3,5的最高指數(shù)分別是1,2,1，算出它們的最小公倍數(shù)為2325＝90. 15．如圖所示，漢諾塔問題是指有3根桿子A，B，C，桿子上有若干碟子，把所有的碟子從B桿移動(dòng)到A桿上，每次只能移動(dòng)一個(gè)碟子，大的碟子不能疊在小的碟子上面．把B桿上的3個(gè)碟子全部移動(dòng)到A桿上，最少需要移動(dòng)的次數(shù)是________． 答案　7 解析　直接進(jìn)行分析，將最小的碟子命名為①，中間的碟子命名為②，最大的碟子命名為③，進(jìn)行如下移動(dòng)：①→A，②→C，①→C，③→A，①→B，②→A，①→A，此時(shí)按要求全部放好，移動(dòng)7次．