2019高考數(shù)學(xué) 專題十八 圓錐曲線綜合精準(zhǔn)培優(yōu)專練 文.doc
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培優(yōu)點(diǎn)十八 圓錐曲線綜合 1.直線過定點(diǎn) 例1:已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為,過左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且. (1)求的方程; (2)若直線是圓上的點(diǎn)處的切線,點(diǎn)是直線上任一點(diǎn),過點(diǎn)作橢圓的切線,,切點(diǎn)分別為,,設(shè)切線的斜率都存在.求證:直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 【答案】(1);(2)證明見解析,. 【解析】(1)由已知,設(shè)橢圓的方程為, 因?yàn)椋环猎O(shè)點(diǎn),代入橢圓方程得, 又因?yàn)?,所以,,所以,? 所以的方程為. (2)依題設(shè),得直線的方程為,即, 設(shè),,, 由切線的斜率存在,設(shè)其方程為, 聯(lián)立得,, 由相切得, 化簡得,即, 因?yàn)榉匠讨挥幸唤?,所以,所以切線的方程為, 即,同理,切線的方程為, 又因?yàn)閮汕芯€都經(jīng)過點(diǎn),所以,所以直線的方程為, 又,所以直線的方程可化為, 即,令,得, 所以直線恒過定點(diǎn). 2.面積問題 例2:已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,焦距為4,直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上.斜率為的直線與線段相交于點(diǎn),與橢圓相交于、兩點(diǎn). (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)求四邊形面積的取值范圍. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)由橢圓焦距為4,設(shè),,連結(jié),設(shè), 則,又,得,, , 解得,,所以橢圓方程為. (2)設(shè)直線方程:,、, 由,得,所以, 由(1)知直線:,代入橢圓得,,得,由直線與線段相交于點(diǎn),得, , 而與,知,, 由,得,所以, 四邊形面積的取值范圍. 3.參數(shù)的值與范圍 例3:已知拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,過焦點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn). (1)求拋物線的方程以及的值; (2)記拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),若,,求的值. 【答案】(1),;(2). 【解析】(1)拋物線的焦點(diǎn), ,則,拋物線方程為; 點(diǎn)在拋物線上,. (2)依題意,,設(shè),設(shè)、, 聯(lián)立方程,消去,得. 所以 ①,且, 又,則,即, 代入①得,消去得, ,則,, 則 , 當(dāng),解得,故. 4.弦長類問題 例4:已知橢圓的左右頂點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn),且橢圓的上頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為. (1)求橢圓的方程; (2)若直線與相交于,兩點(diǎn),與相交于,兩點(diǎn),且,求的取值范圍. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)由題意可知:,又橢圓的上頂點(diǎn)為, 雙曲線的漸近線為:, 由點(diǎn)到直線的距離公式有:,∴橢圓方程. (2)易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為,代入,消去并整理得: , 要與相交于兩點(diǎn),則應(yīng)有:, 設(shè),, 則有:,. 又. 又:,所以有:, ,② 將,代入,消去并整理得:, 要有兩交點(diǎn),則.③ 由①②③有. 設(shè)、.有,, . 將代入有. ,令,, 令,. 所以在內(nèi)恒成立,故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增, 故. 5.存在性問題 例5:已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在橢圓上. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)是否存在斜率為2的直線,使得當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn),時(shí),能在直線上找到一點(diǎn),在橢圓上找到一點(diǎn),滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由. 【答案】(1);(2)不存在,見解析. 【解析】(1)設(shè)橢圓的焦距為,則, ∵在橢圓上,∴, ∴,,故橢圓的方程為. (2)假設(shè)這樣的直線存在,設(shè)直線的方程為, 設(shè),,,,的中點(diǎn)為, 由,消去,得, ∴,且,故且, 由,知四邊形為平行四邊形, 而為線段的中點(diǎn),因此為線段的中點(diǎn), ∴,得, 又,可得,∴點(diǎn)不在橢圓上, 故不存在滿足題意的直線. 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、解答題 1.已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)并且與圓相外切,動(dòng)圓圓心的軌跡為. (1)求曲線的軌跡方程; (2)過點(diǎn)的直線與軌跡交于、兩點(diǎn),設(shè)直線,設(shè)點(diǎn),直線交于,求證:直線經(jīng)過定點(diǎn). 【答案】(1);(2)見解析. 【解析】(1)由已知,, 軌跡為雙曲線的右支,,,, 曲線標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)由對(duì)稱性可知,直線必過軸的定點(diǎn), 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,,,知直線經(jīng)過點(diǎn), 當(dāng)直線的斜率存在時(shí),不妨設(shè)直線,,, 直線,當(dāng)時(shí),,, 得,,, 下面證明直線經(jīng)過點(diǎn),即證,即, 即,由,, 整理得,,即 即證經(jīng)過點(diǎn),直線過定點(diǎn). 2.已知點(diǎn)在橢圓上,設(shè),分別為橢圓的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn),原點(diǎn)到直線的距離為. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)為橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn),直線,分別交軸、軸于,兩點(diǎn),求四邊形的面積. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn),有, 由等面積法,可得原點(diǎn)到直線的距離為, 聯(lián)立兩方程解得,,所以橢圓的方程為. (2)設(shè)點(diǎn),則,即. 直線,令,得. 從而有,同理,可得. 所以四邊形的面積為 . 所以四邊形的面積為. 3.已知點(diǎn)為圓的圓心,是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在圓的半徑上,且有點(diǎn)和上的點(diǎn),滿足,. (1)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),判斷點(diǎn)的軌跡是什么?并求出其方程; (2)若斜率為的直線與圓相切,與(1)中所求點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn),, 且(其中是坐標(biāo)原點(diǎn)),求的取值范圍. 【答案】(1)是以點(diǎn),為焦點(diǎn),焦距為2,長軸長為的橢圓,;(2). 【解析】(1)由題意是線段的垂直平分線, 所以, 所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn),為焦點(diǎn),焦距為2,長軸長為的橢圓, ∴,,, 故點(diǎn)的軌跡方程是. (2)設(shè)直線:,,, 直線與圓相切,得,即, 聯(lián)立,消去得:, ,得, ,, ∴ , 所以,得, ∴,解得或, 故所求范圍為. 4.已知橢圓的焦距為,離心率為,圓,,是橢圓的左右頂點(diǎn),是圓的任意一條直徑,面積的最大值為2. (1)求橢圓及圓的方程; (2)若為圓的任意一條切線,與橢圓交于兩點(diǎn),,求的取值范圍. 【答案】(1),;(2). 【解析】(1)設(shè)點(diǎn)到軸距離為,則,易知當(dāng)線段在軸時(shí),,, ,,,,, 所以橢圓方程為,圓的方程為. (2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線的方程為,此時(shí); 設(shè)直線方程為:,直線為圓的切線,,, 直線與橢圓聯(lián)立,,得, 判別式,由韋達(dá)定理得:, 所以弦長,令, 所以; 綜上,, 5.如圖,己知、是橢圓的左、右焦點(diǎn),直線經(jīng)過左焦點(diǎn),且與橢圓交,兩點(diǎn),的周長為. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)是否存在直線,使得為等腰直角三角形?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由. 【答案】(1);(2)不存在,見解析. 【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為,因?yàn)橹本€與軸的交點(diǎn)為,故. 又的周長為,即,故,所以,. 因此,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)不存在.理由如下: 先用反證法證明不可能為底邊,即. 由題意知,設(shè),,假設(shè),則, 又,,代入上式,消去,得:. 因?yàn)橹本€斜率存在,所以直線不垂直于軸,所以,故. (與,,矛盾) 聯(lián)立方程,得:,所以矛盾. 故. 再證明不可能為等腰直角三角形的直角腰. 假設(shè)為等腰直角三角形,不妨設(shè)為直角頂點(diǎn). 設(shè),則,在中,由勾股定理得:,此方程無解.故不存在這樣的等腰直角三角形.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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