2019高考數(shù)學二輪復習 第二編 專題六 解析幾何 第3講 圓錐曲線的綜合問題配套作業(yè) 文.doc
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第3講 圓錐曲線的綜合問題 配套作業(yè) 1.(2018武漢模擬)已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,直線x=4與x軸的交點為P,與拋物線的交點為Q,且|QF|=|PQ|. (1)求拋物線的方程; (2)如圖所示,過F的直線l與拋物線相交于A,D兩點,與圓x2+(y-1)2=1相交于B,C兩點(A,B兩點相鄰),過A,D兩點分別作拋物線的切線,兩條切線相交于點M,求△ABM與△CDM面積之積的最小值. 解 (1)由已知P(4,0),Q,|QF|=+. 因為|QF|=|PQ|,所以+=, 得p=2. 所以拋物線方程為x2=4y. (2)由題意可知,l斜率存在. 設l:y=kx+1.A(x1,y1),D(x2,y2). 設M(x0,y0),則過A,D的弦方程可設為:xx0=2y0+2y即y=x-y0, ∴∴即M(2k,-1). ∴M到l的距離d==2. ∴S△ABMS△CDM=|AB||CD|d2 =(|AF|-1)(|DF|-1)d2 =y(tǒng)1y2d2=d2 又由聯(lián)立得:x2-4kx-4=0, ∴x1x2=-4. ∴S△ABMS△CDM=(2)2=1+k2≥1. 當且僅當k=0時取等號. ∴當k=0時,△ABM與△CDM面積之積的最小值為1. 2.(2018廈門一檢)已知拋物線C:y2=2px(p>0)上一點M(t,8)到焦點F的距離是t. (1)求拋物線C的方程; (2)過F的直線與拋物線C交于A,B兩點,是否存在一個定圓與以AB為直徑的圓內切,若存在,求該定圓的方程;若不存在,請說明理由. 解 (1)由拋物線定義得|MF|=t+, 又|MF|=t,∴t+=t,即t=2p, ∴M(2p,8),∵點M(2p,8)在拋物線y2=2px上, ∴p2=16,解得p=-4(舍去)或p=4, ∴拋物線C的方程為y2=8x. (2)當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x-2), l與拋物線交于點A(x1,y1),B(x2,y2), 聯(lián)立化簡得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0, 顯然Δ>0,x1+x2=, 設A,B的中點為M,則xM=(x1+x2)=, yM=k(xM-2)=, |AB|=x1+x2+p=8+, 設定圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2, ∴2+2=2, ∴-+(2-a)2+b2=+(4-r)2, ∴解得 定圓的方程為(x-3)2+y2=9, 當直線l的斜率不存在時,以AB為直徑的圓的方程為 (x-2)2+y2=16, 該圓也與定圓(x-3)2+y2=9內切. 綜上,所求定圓的方程為(x-3)2+y2=9. 3.(2018福州模擬)如圖,在矩形ABCD中,|AB|=4,|AD|=2,O為AB的中點,P,Q分別是AD和CD上的點,且滿足①=,②直線AQ與BP的交點在橢圓E:+=1(a>b>0)上. (1)求橢圓E的方程; (2)設R為橢圓E的右頂點,M為橢圓E第一象限部分上一點,作MN垂直于y軸,垂足為N,求梯形ORMN面積的最大值. 解 (1)設AQ與BP的交點為G(x,y),P(-2,y1),Q(x1,2),由題可知,=,=,=, 從而有=,整理得+y2=1,即為橢圓E的方程. (2)由(1)知R(2,0),設M(x0,y0), 則y0= , 從而梯形ORMN的面積 S=(2+x0)y0= , 令t=2+x0,則2- 配套講稿:
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