《2019高考數(shù)學大二輪復習 專題10 系列4選講 第2講 不等式選講增分強化練 理.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2019高考數(shù)學大二輪復習 專題10 系列4選講 第2講 不等式選講增分強化練 理.doc(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第2講 不等式選講
1.請考生在下面兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.作答時請寫清題號.
[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).曲線C2:x2+y2-4y=0,以坐標原點為極點,以x軸正半軸為極軸建立極坐標系,若點P的極坐標為(2,-).
(1)求曲線C2的極坐標方程;
(2)若C1與C2相交于M、N兩點,求+的值.
解析:(1)因為
所以曲線C2的極坐標方程為ρ=4sin θ.
(2)把曲線C1的參數(shù)方程代入曲線C2的方程得
(2-t)2+(-2+t)2-4(-2+t)=0,
化簡得t2-t+16=0,
t1+t2=,t1t2=16,∴t1>0,t2>0.
又點P(2,-)的直角坐標為(2,-2),故+=+===.
[選修4-5:不等式選講]
已知f(x)=|2x+m|(m∈R).
(1)當m=0時,求不等式f(x)+|x-2|<5的解集;
(2)對于任意實數(shù)x,不等式|2x-2|-f(x)
2.
2.請考生在下面兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.作答時請寫清題號.
[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
以平面直角坐標系的原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線C1的極坐標方程為ρsin(θ-)=,曲線C2的極坐標方程為ρ=2cos(θ-).
(1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的參數(shù)方程;
(2)設M,N分別是曲線C1,C2上的兩個動點,求|MN|的最小值.
解析:(1)依題意,ρsin(θ-)=ρsin θ-ρcos θ=,所以曲線C1的普通方程為x-y+2=0.
因為曲線C2的極坐標方程為
ρ2=2ρcos(θ-)=ρcos θ+ρsin θ,
所以x2+y2-x-y=0,
即(x-)2+(y-)2=1,
所以曲線C2的參數(shù)方程為(θ是參數(shù)).
(2)由(1)知,圓C2的圓心(,)圓心到直線x-y+2=0的距離d==.
又半徑r=1,所以|MN|min=d-r=-1.
[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=|x-m|+|x+1|(m∈R)的最小值為4.
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈(0,+∞),且a+2b+3c=m,求證:++≥3.
解析:(1)f(x)=|x-m|+|x+1|≥|(x-m)-(x+1)|=|m+1|,
所以|m+1|=4,解得m=-5或m=3.
(2)證明:由題意,a+2b+3c=3.
于是++=(a+2b+3c)(++)
=(3++++++)
≥(3+2 +2 +2 )=3,
當且僅當a=2b=3c時等號成立,即a=1,b=,c=時等號成立.
3.(2018廈門第二次質檢)請考生在下面兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.作答時請寫清題號.
[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系xOy中,曲線C1:+y2=1,曲線C2:(φ為參數(shù)),以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求C1,C2的極坐標方程;
(2)射線l的極坐標方程為θ=α(ρ≥0),若l分別與C1,C2交于異于極點的A,B兩點,求的最大值.
解析:(1)C1:x2+4y2=4,∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,
故C1的極坐標方程:ρ2(3sin2θ+1)=4.
C2的直角坐標方程:(x-2)2+y2=4,
∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,故C2的極坐標方程:
ρ=4cos θ.
(2)直線l分別與曲線C1,C2聯(lián)立,得到
則|OA|2=,
則|OB|2=16cos2α,
∴=4cos2α(3sin2α+1)=(4-4sin2α)(3sin2α+1),
令t=sin2α,則=(4-4t)(3t+1)=-12t2+8t+4,∴t=,即sin α=時,
有最大值.
[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x+a|,其中a>0.
(1)求函數(shù)f(x)的值域;
(2)對于滿足b2+c2+bc=1的任意實數(shù)b,c,關于x的不等式f(x)≥3(b+c)恒有解,求a的取值范圍.
解析:(1)∵a>0,∴-a<2,
∴f(x)=
故f(x)∈[-a-2,a+2].
(2)∵()2-bc=(b-c)2≥0,
∴bc≤()2,
∵(b+c)2=bc+1,
∴(b+c)2≤()2+1,
∴-≤b+c≤.
當且僅當b=c=時,(b+c)max=,
∴[3(b+c)]max=2
關于x的不等式f(x)≥3(b+c)恒有解?[f(x)]max≥[3(b+c)]max
即a+2≥2,故a≥2-2,
又a>0,所以a≥2-2.
4.請考生在下面兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.作答時請寫清題號.
[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcos(θ-)=2.已知點Q為曲線C1上的動點,點P在線段OQ上,且滿足|OQ||OP|=4.動點P的軌跡為C2.
(1)求C2的直角坐標方程;
(2)設點A的極坐標為(2,),點B在曲線C2上,求△AOB面積的最大值.
解析:(1)設P的極坐標為(ρ,θ)(ρ>0),Q的極坐標為(ρ1,θ)(ρ1>0),
由題設知,|OP|=ρ,|OQ|=ρ1=,
由|OQ||OP|=4得C2的極坐標方程
ρ=2cos(θ-)(ρ>0),
因此C2的直角坐標方程為(x-)2+(y-)2=1,但不包括點(0,0).
(2)設點B的極坐標為(ρB,α)(ρB>0),
由題設知|OA|=2,ρB=2cos(α-),
于是△AOB面積為S=|OA|ρBsin∠AOB
=2cos(α-)|sin(α-)|=2|sin2α-|≤,
當α=0時,S取得最大值.
所以△AOB面積的最大值為.
[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=x2-|x|+1.
(1)求不等式f(x)≥2x的解集;
(2)若關于x的不等式f(x)≥|+a|在[0,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.
解析:(1)不等式f(x)≥2x等價于x2-|x|-2x+1≥0, ①
當x≥0時,①式化為x2-3x+1≥0,
解得x≥或0≤x≤;
當x<0時,①式化為x2-x+1≥0,
解得x<0,綜上所述,不等式f(x)≥2x的解集為
{x|x≤或x≥}.
(2)不等式f(x)≥|+a|在[0,+∞)上恒成立,
?-f(x)≤+a≤f(x)在[0,+∞)上恒成立,
?-x2+x-1≤+a≤x2-x+1在[0,+∞)上恒成立,
?-x2+x-1≤a≤x2-x+1在[0,+∞)上恒成立,
由-x2+x-1=-(x-)2-≤-(當且僅當x=時取等號),
x2-x+1=(x-)2+≥(當且僅當x=時取等號),
所以-≤a≤,
綜上所述,a的取值范圍是[-,].
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