2020版高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 1.2.1“且”與“或”學案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx
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1．2.1 “且”與“或” 學習目標 1.了解聯(lián)結詞“且”“或”的含義.2.會用聯(lián)結詞“且”“或”聯(lián)結或改寫某些數(shù)學命題，并判斷新命題的真假.3.掌握根據(jù)命題真假求參數(shù)取值范圍的方法． 知識點一 “且” 1．定義：用聯(lián)結詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結起來，就得到一個新命題，記作p∧q，讀作“p且q”．當p，q都是真命題時，p∧q是真命題；當p，q兩個命題中有一個命題是假命題時，p∧q是假命題． 將命題p和命題q以及p∧q的真假情況繪制為命題“p∧q”的真值表如下： p q p∧q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 命題“p∧q”的真值表可簡單歸納為“同真則真”，“有假則假”． 2．“且”是具有“兼有性”的邏輯聯(lián)結詞，對“且”的理解，可聯(lián)系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”與“x∈B”這兩個條件都要同時滿足． 3.我們也可以用串聯(lián)電路來理解聯(lián)結詞“且”的含義，如圖所示，若開關p，q的閉合與斷開分別對應命題p，q的真與假，則整個電路的接通與斷開對應命題p∧q的真與假． 知識點二 “或” 1．定義：一般地，用聯(lián)結詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結起來，就得到一個新命題，記作p∨q，讀作“p或q”． 當p，q兩個命題有一個命題是真命題時，p∨q是真命題；當p，q兩個命題都是假命題時，p∨q是假命題． 將命題p和命題q以及p∨q的真假情況繪制為命題“p∨q”的真值表如下： p q p∨q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 命題“p∨q”的真值表可簡單歸納為“假假才假”． 2．對“或”的理解：我們可聯(lián)系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一個是成立的，即可以是x∈A且x?B，也可以是x?A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B. 3.我們可以用并聯(lián)電路來理解聯(lián)結詞“或”的含義，如圖所示，若開關p，q的閉合與斷開對應命題p，q的真與假，則整個電路的接通與斷開分別對應命題p∨q的真與假． 1．邏輯聯(lián)結詞“且”“或”只能出現(xiàn)在命題的結論中．( ) 2．命題“p∨q”是真命題，p，q至少有一個是真命題．( √ ) 3．梯形的對角線相等且平分是“p∨q”形式的命題．( ) 題型一 含有“且”“或”命題的構成 命題角度1 命題形式的區(qū)分 例1 指出下列命題的形式及構成它的命題． (1)向量既有大小又有方向； (2)矩形有外接圓或有內(nèi)切圓； (3)2≥2. 解 (1)是p∧q形式的命題． 其中p：向量有大小，q：向量有方向． (2)是p∨q形式的命題． 其中p：矩形有外接圓，q：矩形有內(nèi)切圓． (3)是p∨q形式的命題． 其中p：2>2，q：2＝2. 反思感悟 不含有邏輯聯(lián)結詞的命題是簡單命題；由簡單命題與邏輯聯(lián)結詞“或”“且”構成的命題稱之為復合命題． 判斷一個命題是簡單命題還是復合命題，不能僅從字面上看它是否含有“或”“且”等邏輯聯(lián)結詞，而應從命題的結構來看是否用邏輯聯(lián)結詞聯(lián)結兩個命題． 跟蹤訓練1 指出下列命題的形式及構成它的簡單命題： (1)24既是8的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)； (2)菱形是圓的內(nèi)接四邊形或是圓的外切四邊形． 解 (1)這個命題是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍數(shù)，q：24是6的倍數(shù)． (2)這個命題是“p∨q”的形式，其中p：菱形是圓的內(nèi)接四邊形，q：菱形是圓的外切四邊形． 命題角度2 用邏輯聯(lián)結詞構造新命題 例2 分別寫出下列命題的“p且q”“p或q”形式的命題． (1)p：梯形有一組對邊平行，q：梯形有一組對邊相等； (2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解． 解 (1)p或q：梯形有一組對邊平行或梯形有一組對邊相等． p且q：梯形有一組對邊平行且梯形有一組對邊相等． (2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解． p且q：－1與－3是方程x2＋4x＋3＝0的解． 反思感悟 用邏輯聯(lián)結詞“或”“且”聯(lián)結p，q構成新命題時，在不引起歧義的前提下，可以把p，q中的條件或結論合并． 跟蹤訓練2 分別寫出由下列命題構成的“p∧q”“p∨q”的形式． (1)p：函數(shù)y＝3x2是偶函數(shù)，q：函數(shù)y＝3x2是增函數(shù)； (2)p：是無理數(shù)，q：是實數(shù)； (3)p：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和， q：三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角． 解 (1)p∧q：函數(shù)y＝3x2是偶函數(shù)且是增函數(shù)； p∨q：函數(shù)y＝3x2是偶函數(shù)或是增函數(shù)． (2)p∧q：是無理數(shù)且是實數(shù)； p∨q：是無理數(shù)或是實數(shù)． (3)p∧q：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和且大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角； p∨q：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和或大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角． 題型二 “p∧q”和“p∨q”形式命題的真假判斷 例3 分別指出“p∨q”“p∧q”的真假． (1)p：函數(shù)y＝sinx是奇函數(shù)；q：函數(shù)y＝sinx在R上單調(diào)遞增； (2)p：直線x＝1與圓x2＋y2＝1相切；q：直線x＝與圓x2＋y2＝1相交； (3)p：不等式x2－2x＋1>0的解集為R；q：不等式x2－2x＋2≤1的解集為?. 解 (1)∵p真，q假，∴“p∨q”為真，“p∧q”為假． (2)∵p真，q真，∴“p∨q”為真，“p∧q”為真． (3)∵p假，q假，∴“p∨q”為假，“p∧q”為假． 反思感悟 判斷p∧q與p∨q形式命題的真假的步驟 (1)首先判斷命題p與q的真假． (2)對于p∧q，“一假則假，全真則真”， 對于p∨q，只要有一個為真，則p∨q為真，全假為假． 跟蹤訓練3 分別指出由下列各組命題構成的“p或q”“p且q”形式的命題的真假． (1)p：?{0}，q：0∈?； (2)p：是無理數(shù)，q：π不是無理數(shù)； (3)p：集合A＝A，q：A∪A＝A； (4)p：函數(shù)y＝x2＋3x＋4的圖象與x軸有公共點，q：方程x2＋3x－4＝0沒有實數(shù)根． 解 (1)∵p真，q假，∴“p或q”為真，“p且q”為假． (2)∵p真，q假，∴“p或q”為真，“p且q”為假． (3)∵p真，q真，∴“p或q”為真，“p且q”為真． (4)∵p假，q假，∴“p或q”為假，“p且q”為假． 由復合命題的真假求參數(shù)的范圍 典例 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負實數(shù)根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實數(shù)根，若“p∨q”是真命題，“p∧q”是假命題，求實數(shù)m的取值范圍． 考點 “或”“且”的綜合問題 題點 由復合命題的真假求參數(shù)的范圍 解 p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負實數(shù)根??m>2. q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實數(shù)根?Δ＝16(m－2)2－16<0?1
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