2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)回扣(四)數(shù)列學(xué)案 理.doc
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基礎(chǔ)回扣(四) 數(shù)列 [要點回扣] 1.a(chǎn)n與Sn的關(guān)系式 已知前n項和Sn=a1+a2+a3+…+an,則an=.由Sn求an時,易忽略n=1的情況. [對點專練1] 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+1,則an=________. [答案] 2.等差數(shù)列的有關(guān)概念 (1)等差數(shù)列的判斷方法:定義法an+1-an=d(d為常數(shù),n∈N*)或an+1-an=an-an-1(n≥2). (2)等差數(shù)列的通項:an=a1+(n-1)d(n∈N*)或an=am+(n-m)d.(n,m∈N*) (3)等差數(shù)列的前n項和:Sn=,Sn=na1+d. [對點專練2] 等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S3=6,a3=0.則公差d等于________. [答案] -2 3.等差數(shù)列的性質(zhì) (1)當(dāng)公差d≠0時,等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是關(guān)于n的一次函數(shù),且斜率為公差d;前n項和Sn=na1+d=n2+n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0. (2)若公差d>0,則為遞增等差數(shù)列;若公差d<0,則為遞減等差數(shù)列;若公差d=0,則為常數(shù)列. (3)當(dāng)m+n=p+q時,則有am+an=ap+aq,特別地,當(dāng)m+n=2p時,則有am+an=2ap. (4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差數(shù)列. [對點專練3] 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S10=12,S20=17,則S30為( ) A.15 B.20 C.25 D.30 [答案] A 4.等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)等比數(shù)列的判斷方法:定義法=q(q為常數(shù),n∈N*),其中q≠0,an≠0或=(n≥2).如一個等比數(shù)列{an}共有2n+1項,奇數(shù)項之積為100,偶數(shù)項之積為120,則an+1=. (2)等比數(shù)列的通項:an=a1qn-1或an=amqn-m. (3)等比數(shù)列的前n項和:當(dāng)q=1時,Sn=na1;當(dāng)q≠1時,Sn==. (4)等比中項:若a,A,b成等比數(shù)列,那么A叫做a與b的等比中項.值得注意的是,不是任何兩數(shù)都有等比中項,只有同號兩數(shù)才存在等比中項,且有兩個,即為.如已知兩個數(shù)a,b(a≠b)的等差中項為A,等比中項為B,則A與B的大小關(guān)系為A>B. [對點專練4] 在等比數(shù)列{an}中,若a1=1,a5=16,則a3=________. [答案] 4 5.等比數(shù)列的性質(zhì) 當(dāng)m+n=p+q時,則有aman=apaq,特別地,當(dāng)m+n=2p時,則有aman=a. [對點專練5] 各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a5a6=9,則log3a1+log3a2+…+log3a10=________. [答案] 10 6.?dāng)?shù)列求和 數(shù)列求和時要明確項數(shù)、通項,并注意根據(jù)通項的特點選取合適的方法.?dāng)?shù)列求和的方法有公式法、分組求和法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法等. [對點專練6] 數(shù)列{an}滿足an+an+1=(n∈N,n≥1),若a2=1,Sn是{an}的前n項和,則S21的值為________. [答案] [易錯盤點] 易錯點1 忽視數(shù)列首項致誤 【例1】 已知數(shù)列{an}對任意n∈N*都滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8-5n,則數(shù)列{an}的通項公式為________. [錯解] ∵a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8-5n, ∴a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=8-5(n-1), 兩式相減,得2n-1an=-5, ∴an=-. [錯因分析] 當(dāng)n=1時,由題中條件可得a1=3,而代入錯解中所得的通項公式可得a1=-5,顯然是錯誤的.其原因是:兩式相減時,所適用的條件是n≥2,并不包含n=1的情況.只有所求的通項公式對n=1時也成立,才可以這樣寫,否則要分開寫. [正解] 當(dāng)n≥2時,由于a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8-5n, 那么a1+2a2+22a3+…+2n-1an-1=8-5(n-1), 兩式對應(yīng)相減可得2n-1an=8-5n-[8-5(n-1)]=-5, 所以an=-. 而當(dāng)n=1時,a1=3≠-=-5, 所以數(shù)列{an}的通項公式為 an= 本題實質(zhì)上已知數(shù)列{an}的前n項和Sn,求通項an與Sn的關(guān)系中,an=Sn-Sn-1,成立的條件是n≥2,求出的an中不一定包括a1,而a1應(yīng)由a1=S1求出,然后再檢驗a1是否在an中,這是一個典型的易錯點. [對點專練1] (1)數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*),2Sn-nan=n,若S20=-360,則a2=________. (2)已知數(shù)列{an}的前n項之和為Sn=n2+n+1,則數(shù)列{an}的通項公式為________. [解析] (1)∵2Sn-nan=n,① ∴當(dāng)n≥2時,2Sn-1-(n-1)an-1=n-1,② ∴①-②得:(2-n)an+(n-1)an-1=1,③ (1-n)an+1+nan=1,④ 由③-④得,(2-2n)an=(1-n)(an-1+an+1), 又∵n≥2,∴1-n≠0.∴2an=an-1+an+1(n≥2), ∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,當(dāng)n=1時,2S1-a1=1,∴a1=1, ∴S20=20+d=-360,∴d=-2,∴a2=1-2=-1. (2)當(dāng)n=1時,a1=S1=3; 當(dāng)n≥2時,an=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n, ∴an= [答案] (1)-1 (2)an= 易錯點2 忽視等比數(shù)列公比的條件致誤 【例2】 各項均為實數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S10=10,S30=70,則S40等于( ) A.150 B.-200 C.150或-200 D.400或-50 [錯解] 記b1=S10,b2=S20-S10,b3=S30-S20,b4=S40-S30,b1,b2,b3,b4是公比為r的等比數(shù)列.∴b1+b2+b3=10+10r+10r2=S30=70,即r2+r-6=0,得r=2或r=-3.故S40=,代入得S40=150或-200.選C. [錯因分析] 數(shù)列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30的公比q10>0.忽略了此隱含條件,就產(chǎn)生了增解-200. [正解] 記b1=S10,b2=S20-S10,b3=S30-S20,b4=S40-S30,b1,b2,b3,b4是公比為r=q10>0的等比數(shù)列. ∴b1+b2+b3=10+10r+10r2=S30=70, ∴r2+r-6=0, ∴r=2,r=-3(舍去), ∴S40=b1+b2+b3+b4==150,故選A. 在等比數(shù)列中,公比的條件在使用中要注意隱含條件,Sn中q≠0;構(gòu)造新數(shù)列要注意新數(shù)列的公比和原公比的關(guān)系,如等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30的公比為q10>0. [對點專練2] (1)已知等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,給出下列四個有關(guān)數(shù)列{an}的命題: p1:如果a1>0且q>1,那么數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列; p2:如果a1<0且q<1,那么數(shù)列{an}是遞減的等比數(shù)列; p3:如果a1<0且00且01,則qn-1單調(diào)遞增,又a1>0,所以{an}單調(diào)遞增,p1為真命題;p2中an=(-1)n,則{an}不具有單調(diào)性,所以p2為假命題;p3中若00,所以{an}單調(diào)遞減,p4為真命題.綜上,可知真命題的個數(shù)為3,故選C. (2)①當(dāng)q=1時,S3+S6=9a1,S9=9a1, ∴S3+S6=S9成立. ②當(dāng)q≠1時,由S3+S6=S9 得+=, ∴q9-q6-q3+1=0,即(q3-1)(q6-1)=0. ∵q≠1,∴q3-1≠0,∴q6=1,∴q=-1. [答案] (1)C (2)1或-1 易錯點3 分類討論不當(dāng)致誤 【例3】 已知等差數(shù)列{an}的首項a1=21,公差d=-4,則數(shù)列{|an|}的前n項和Sn=________. [錯解] 由題意,知an=21-4(n-1)=25-4n, 因此由an≥0,解得n≤,即數(shù)列{an}的前6項大于0,從第7項開始,以后各項均小于0. |a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =(a1+a2+a3+…+a6)-(a7+a8+…+an) =2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+a8+…+an) =2n2-23n+132, 所以Sn=2n2-23n+132. [錯因分析] 忽視了n≤6的情況,只給出了n≥7的情況. [正解] 由題意,知an=21-4(n-1)=25-4n,因此由an≥0,解得n≤,即數(shù)列{an}的前6項大于0,從第7項開始,以后各項均小于0. 當(dāng)n≤6時,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=-2n2+23n. 當(dāng)n≥7時,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =(a1+a2+a3…+a6)-(a7+a8+…+an) =2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+a8+…+an) =2n2-23n+132, 所以Sn= 在數(shù)列問題中,一定要注意項數(shù)n的取值范圍,特別是在它取不同的值造成不確定的因素時,要注意對其加以分類討論. [對點專練3] (1)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an-an-1(n≥2),a1=1,a2=3,記Sn=a1+a2+…+an,則下列結(jié)論正確的是( ) A.a(chǎn)100=-1,S100=5 B.a(chǎn)100=-3,S100=5 C.a(chǎn)100=-3,S100=2 D.a(chǎn)100=-1,S100=2 (2)已知Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項和,且S8>S9>S7,有下列四個命題,其中是假命題的是( ) A.公差d<0 B.在所有Sn<0中,S17最大 C.a(chǎn)8>a9 D.滿足Sn>0的n的個數(shù)有15個 [解析] (1)由題意知,a1=1,a2=3,a3=2,a4=-1,a5=-3,a6=-2,a7=1,a8=3由此可以得出數(shù)列{an}以6為一個周期,所以a100=a4=-1,S100=a1+a2+a3+a4=5,故選A. (2)∵a8=S8-S7>0,a9=S9-S8<0,∴公差d=a9-a8<0,∴A,C為真命題;∵S17===17a9<0,又S9=S7+a8+a9>S7,∴a8+a9>0,∴S16===8(a8+a9)>0,∴滿足Sn>0的n的個數(shù)有16個,∴D為假命題,故選D. [答案] (1)A (2)D 易錯點4 數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別認(rèn)識不清致誤 【例4】 已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且對于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,則實數(shù)λ的取值范圍是________. [錯解] 因為an=n2+λn是關(guān)于n的二次函數(shù),且n≥1,所以-≤1,解得λ≥-2. [錯因分析] 數(shù)列是以正整數(shù)N*(或它的有限子集{1,2,…,n})為定義域的函數(shù),因此它的圖象只是一些孤立的點. [正解] 解法一:作出滿足條件的數(shù)列的圖象,如圖.由圖得,-<,所以λ>-3. 解法二:由{an}是遞增數(shù)列,得an-(2n+1),對任意n∈N*成立. 而-(2n+1)≤-3,所以λ>-3. 數(shù)列是特殊的函數(shù),其定義域為N*或它的子集,其圖象是一些孤立的點,在研究其性質(zhì)時不可忽略其特性. [對點專練4] (1)設(shè)函數(shù)f(x)=an=f(n),若數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍為( ) A.(-∞,2) B. C. D. (2)等差數(shù)列{an}中,d<0,若|a3|=|a9|,則數(shù)列{an}的前n項和取最大值時,n的值為________. [解析] (1)由題意,知f(x)=(a-2)x在(2,+∞)上是減函數(shù),且a1>a2,所以 即解得a<.故選C. (2)因為d<0,|a3|=|a9|,所以a3=-a9,a3+a9=0,a3+a9=2a6=0,a6=0,所以Sn取最大值時n=5或6. [答案] (1)C (2)5或6
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