2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué) 寒假訓(xùn)練10 空間向量與立體幾何 理.docx
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寒假訓(xùn)練10空間向量與立體幾何 [2018中山一中]如圖所示,在四棱錐中,,,,,. (1)證明:平面平面; (2)若,求二面角的余弦值. 【答案】(1)見解析;(2). 【解析】(1)證明:∵,,∴. ∵,,,∴,∴, ∵,∴平面. 又平面,∴平面平面. (2)以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示, 則,,,,∴,, 設(shè)平面的法向量為,則,即, 令,解得,即, 顯然平面的一個法向量為, ∴,∴二面角的余弦值為. 一、選擇題 1.[2018浙江學(xué)考]對于空間向量,.若,則實(shí)數(shù)() A. B. C.1 D.2 2.[2018黔東南州期末]在空間中,點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為,點(diǎn)到平面的距離為() A. B.1 C.2 D.3 3.[2018臺州期中]在長方體中,,,則異面直線與所成角的余弦值為() A. B. C. D. 4.[2018浙江模擬]如圖,在平行六面體中,為,的交點(diǎn). 若,,,則向量() A. B. C. D. 5.[2018眉山一中]已知,,,則下列向量是平面法向量的是() A. B. C. D. 6.[2018眉山一中]若直線的方向向量與平面α的法向量的夾角等于,則直線與平面所成的角等于() A. B. C. D.或 7.[2018吉安期末]已知點(diǎn),,,點(diǎn),若平面,則點(diǎn)的坐標(biāo)為() A. B. C. D. 8.[2018深圳模擬]在如圖所示的坐標(biāo)系中,為正方體,給出下列結(jié)論: ①直線的一個方向向量為; ②直線的一個方向向量為; ③平面的一個法向量為; ④平面的一個法向量為. 其中正確的個數(shù)為() A.1 B.2 C.3 D.4 9.[2018臨汾一中]如圖,在正方體中,若是線段上的動點(diǎn), 則下列結(jié)論不正確的是() A.三棱錐的正視圖面積是定值 B.異面直線,所成的角可為 C.異面直線,所成的角為 D.直線與平面所成的角可為 10.[2018蘭州期中]在正方體中,是的中點(diǎn),則直線與平面所成角的正弦值為() A. B. C. D. 11.[2018貴州調(diào)研]已知為正方體,則二面角的余弦值為() A. B. C. D. 12.[2018書生中學(xué)]如圖,在長方體中,,,點(diǎn)在棱上,且,則當(dāng)?shù)拿娣e最小時,棱的長為() A. B. C.2 D. 二、填空題 13.[2018醴陵二中]已知向量,,,若平面,則的值是______. 14.[2018定遠(yuǎn)縣期中]如圖,在正方體中,有下面結(jié)論: ①平面; ②平面; ③與底面所成角的正切值是; ④與為異面直線.其中正確的結(jié)論的序號是________. 15.[2018浙東北期中]在正方體中,異面直線與的所成角為_____,二面角的大小為_____. 16.[2018佛山一中]如圖,在正方體中,點(diǎn)為線段的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)在線段上,直線與平面所成的角為,則的取值范圍是___________. 三、解答題 17.[2018西寧四中]如圖,已知矩形所在平面外一點(diǎn),平面,,,,、分別是、的中點(diǎn). (1)求證:平面; (2)求證:; (3)求與平面所成的角的大?。? 18.[2018百色調(diào)研]如圖,在四棱錐中,四邊形為平行四邊形,為直角三角形且,是等邊三角形. (1)求證:; (2)若,求二面角的正弦值. 寒假訓(xùn)練10空間向量與立體幾何 一、選擇題 1.【答案】D 【解析】∵空間向量,.若,則, ∴,故選D. 2.【答案】C 【解析】設(shè)所求的點(diǎn)為,∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面的對稱, ∴、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等,而豎坐標(biāo)互為相反數(shù),即,,, 得坐標(biāo)為.∴點(diǎn)到平面的距離為2.故選C. 3.【答案】B 【解析】以為原點(diǎn),為軸、為軸、為軸,建立空間直角坐標(biāo)系, ∵在長方體中,,, ∴,,,,,, 設(shè)異面直線與所成角的為,則, ∴異面直線與所成角的余弦值為,故選B. 4.【答案】A 【解析】由題意,向量 .故選A. 5.【答案】B 【解析】,,設(shè)平面的法向量為, 則,取,,, 則,與共線的向量為,故選B. 6.【答案】B 【解析】設(shè)直線與平面所成的角為,則,故選B. 7.【答案】C 【解析】∵,,. ∵,,∴,∴,解得. ∴.故選C. 8.【答案】C 【解析】∵,,故①正確; ,,故②正確; 直線平面,.故③正確; 點(diǎn)的坐標(biāo)為,與平面不垂直,故④錯.故選C. 9.【答案】D 【解析】對于,三棱錐的主視圖為三角形,底邊為的長,高為正方體的高, 故棱錐的主視圖面積不變,故A正確; 對于,分別以,,為坐標(biāo)軸,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)正方體邊長為1,,,,, ∴,,∴, 當(dāng)時,方程有解,∴異面直線,所成的角可為,故B正確. 對于,連結(jié),,,則,∵,∴, 又∵,于是平面,∵平面,∴,故C正確; 對于,結(jié)合中的坐標(biāo)系,可得面的法向量為,, ∴,令,方程無解, 即直線與平面所成的角可為是錯誤的,故選D. 10.【答案】B 【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸,以為軸,以為軸, 建立如圖空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)正方體的棱長為2,則,,,, ∴,,, 設(shè)平面的法向量為,∵,, ∴,令,則,∴, 設(shè)直線與平面所成角為,則,故選B. 11.【答案】C 【解析】以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)正方體的棱長為1,∴,,,, 則,,, 設(shè)平面的法向量為,則,令,得, 設(shè)平面的法向量為,則,令,得, 設(shè)二面角的夾角為,則.故選C. 12.【答案】A 【解析】如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,, 設(shè),,,,,, ∵,∴,即, , 當(dāng)且僅當(dāng),時取等號,∴,故選A. 二、填空題 13.【答案】 【解析】∵平面,∴存在事實(shí),,使得, ∴,解得.故答案為. 14.【答案】②③④ 【解析】①∵平面,∴平面錯誤,∴①錯誤. ②連結(jié),,則,又∵面, 故,,故面,進(jìn)而得到, 同理可證, 又∵于點(diǎn),故得到平面,∴②正確. ③∵在底面的射影為,∴是與底面所成的角, 設(shè)正方體的邊長為,則,∴,∴③正確. ④由異面直線的定義可知,與為異面直線,∴④正確. 故答案為②③④. 15.【答案】; 【解析】以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)正方體中棱長為1, 則,,,,,,, 設(shè)異面直線與的所成角為,則,∴, ∴異面直線與的所成角為. ,,,, 設(shè)平面的法向量,則,取,得, 設(shè)平面的法向量,則,取,得, 設(shè)二面角的大小為,則,∴, ∴二面角的大小為.故答案為;. 16.【答案】 【解析】由題意可得: 直線于平面所成的角的取值范圍是, 不妨?。谥校?, , ∴的取值范圍是. 三、解答題 17.【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3). 【解析】(1)證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系, 則,,,,, ∵為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),∴,, ∴,,, ∴,∴與,共面, ∵平面,∴平面; (2)證明:,∴,∴; (3)解:∵,, ∴,∴, ∵平面,∴是平面的法向量, ∴與平面所成的角為. 18.【答案】(1)見解析;(2). 【解析】(1)證明:取中點(diǎn),連,,, ∵,為等邊三角形,∴,, 又,∴平面,又∵平面,∴. (2)解:∵,為中點(diǎn),結(jié)合題設(shè)條件可得,, ∴,∴. 如圖,以,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系, 則,,,, 得,,,, 設(shè)平面的一個法向量, 則,即,∴. 設(shè)平面的一個法向量, 由,即,∴. ∴. 設(shè)二面角的平面角為,則由圖可知, ∴.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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