2019高考數(shù)學一輪復習 第11章 計數(shù)原理和概率 第2課時 排列與組合練習 理.doc
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第2課時 排列與組合 1.若A2n3=10An3,則n=( ) A.1 B.8 C.9 D.10 答案 B 解析 原式等價于2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),整理得n=8. 2.(2017東北四市聯(lián)考)甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐,若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座,則有多少種坐法( ) A.10 B.16 C.20 D.24 答案 C 解析 一排共有8個座位,現(xiàn)有兩人就坐,故有6個空座.∵要求每人左右均有空座,∴在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐,即有A52=20種坐法. 3.(2017廣東汕頭模擬)某同學有同樣的畫冊2本,同樣的集郵冊3本,從中取出4本贈送給4位朋友,每位朋友1本,則不同的贈送方法共有( ) A.4種 B.10種 C.18種 D.20種 答案 B 解析 分兩類:第一類是取出1本畫冊,3本集郵冊,此時贈送方法有C41=4種;第二類是取出2本畫冊,2本集郵冊,此時贈送方法有C42=6種,故贈送方法共有4+6=10種. 4.用0到9這10個數(shù)字,可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為( ) A.324 B.328 C.360 D.648 答案 B 解析 首先應考慮“0”是特殊元素,當0排在末位時,有A92=98=72個,當0不排在末位時,有A41A81A81=488=256個,于是由分類加法計算原理,得符合題意的偶數(shù)共有72+256=328個. 5.5名成人帶兩個小孩排隊上山,小孩不排在一起也不排在頭尾,則不同的排法種數(shù)有( ) A.A55A42種 B.A55A52種 C.A55A62種 D.A77-2A66種 答案 A 解析 先排大人,有A55種排法,再排小孩,有A42種排法(插空法).故有A42A55種不同的排法. 6.(2018山東臨沂重點中學模擬)馬路上有七盞路燈,晚上用時只亮三盞燈,且任意兩盞亮燈不相鄰,則不同的開燈方案共有( ) A.60種 B.20種 C.10種 D.8種 答案 C 分析 先安排四盞不亮的路燈,再利用“插入法”,插入三盞亮的路燈,即可得結果. 解析 根據(jù)題意,可分兩步: 第一步,先安排四盞不亮的路燈,有1種情況; 第二步,四盞不亮的路燈排好后,有5個空位,在5個空位中任意選3個,插入三盞亮的路燈,有C53=10(種)情況. 故不同的開燈方案共有101=10(種),故選C. 解題技巧 破解此類題的關鍵點:一是“定元”,確定要求不相鄰的元素及其個數(shù);二是“插空”,先排無位置要求的幾個元素(注意是“有序”還是“無序”),再把規(guī)定不相鄰的元素插入無位置要求的元素的兩端和元素之間的空位;三是“計數(shù)”,根據(jù)兩個計數(shù)原理求出不同的排列總數(shù). 易錯提醒 本題的易錯點有兩處:一是“有序”“無序”識別不清,如本題,先安排四盞不亮的路燈時誤以為“有序”,得到A44種不同的排法,導致結果出錯;二是插入的空位漏算頭尾兩處,導致出錯. 7.(2014四川,理)六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有( ) A.192種 B.216種 C.240種 D.288種 答案 B 解析 根據(jù)甲、乙的位置要求分類解決,分兩類. 第一類:甲在左端,有A55=54321=120種方法; 第二類:乙在最左端,有4A44=44321=96種方法. 所以共有120+96=216種方法. 8.用數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成沒有重復數(shù)字,并且比20 000大的五位偶數(shù)共有( ) A.288個 B.240個 C.144個 D.126個 答案 B 解析 對個位是0和個位不是0兩類情形分類計算;對每一類情形按“個位——最高位——中間三位”分步計數(shù):①個位是0并且比20 000大的五位偶數(shù)有14A43=96個;②個位不是0并且比20 000大的五位偶數(shù)有23A43=144個;故共有96+144=240個.本題考查兩個基本原理,是典型的源于教材的題目. 9.若把英語單詞“error”中字母的拼寫順序寫錯了,則可能出現(xiàn)錯誤的種數(shù)是( ) A.20種 B.19種 C.10種 D.9種 答案 B 解析 “error”由5個字母組成,其中3個相同,這相當于5個人站隊,只要給e、o選定位置,其余三個相同的字母r,位置固定,即所有拼寫方式為A52,error拼寫錯誤的種數(shù)為A52-1=19. 10.有5列火車分別準備停在某車站并行的5條軌道上,若快車A不能停在第3道上,貨車B不能停在第1道上,則5列火車不同的停靠方法數(shù)為( ) A.56 B.63 C.72 D.78 答案 D 解析 若沒有限制,5列火車可以隨便停,則有A55種不同的??糠椒ǎ豢燔嘇停在第3道上,則5列火車不同的停靠方法為A44種;貨車B停在第1道上,則5列火車不同的??糠椒锳44種;快車A停在第3道上,且貨車B停在第1道上,則5列火車不同的??糠椒锳33種.故符合要求的5列火車不同的??糠椒〝?shù)為A55-2A44+A33=120-48+6=78. 11.(2018滄州七校聯(lián)考)身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人,身穿藍色衣服的有一人,現(xiàn)將這五人排成一行,要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰,則不同的排法種數(shù)共有( ) A.24 B.28 C.36 D.48 答案 D 解析 分類計數(shù)原理,按紅紅之間有藍無藍兩類來分. (1)當紅紅之間有藍時,則有A22A42=24種; (2)當紅紅之間無藍時,則有C21A22C21C31=24種. 因此,這五個人排成一行,穿相同顏色衣服的人不能相鄰,則有48種排法.故選D. 12.安排7位工作人員在10月1日到10月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不安排在10月1日和10月2日的不同的安排方法共有__________種. 答案 2 400 解析 共有A52A55=2 400種不同的安排方法. 13.一份試卷有10道考題,分為A,B兩組,每組5題,要求考生選答6題,但每組最多選4題,則每位考生有________種選答方案. 答案 200 解析 分三類:A組4題B組2題,A組3題B組3題,A組2題B組4題.共有C54C52+C53C53+C52C54=50+100+50=200種. 14.(2017滄州七校聯(lián)考)由0,1,2,…,9這十個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的四位數(shù)中,個位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕對值等于8的個數(shù)為________個. 答案 210 解析 若個位數(shù)和百位數(shù)是0,8,則方法數(shù)是A22A82=112;若個位數(shù)和百位數(shù)是1,9,則由于首位不能排0,則方法數(shù)是A22C71C71=98,故總數(shù)是112+98=210. 15.(2017四川成都二診)各大學在高考錄取時采取專業(yè)志愿優(yōu)先的錄取原則.一考生從某大學所給的7個專業(yè)中,選擇3個作為自己的第一、二、三專業(yè)志愿,其中甲、乙兩個專業(yè)不能同時兼報,則該考生不同的填報專業(yè)志愿的方法有________種. 答案 180 解析 從7個專業(yè)選3個,有C73=35種選法,甲、乙同時兼報的有C22C51=5種選法,則專業(yè)共有35-5=30種選法,則按照專業(yè)順序進行報考的方法種數(shù)為A3330=180. 16.用0,1,2,…,9十個數(shù)字組成五位數(shù),其中3個奇數(shù)與2個偶數(shù)且數(shù)字不重復的五位數(shù)有________個. 答案 11 040 解析 一類:含有數(shù)字0:C53C41C41A44=3 840. 二類:沒有數(shù)字0:C53C42A55=7 200. 由分類加法計數(shù)原理得:共有11 040. 17.甲、乙兩人從4門課程中各選2門,求 (1)甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有多少種? (2)甲、乙所選的課程中至少有一門不同的選法有多少種? 答案 (1)24 (2)30 解析 (1)甲、乙兩人從4門課程中各選2門,且甲、乙所選課程中恰有1門相同的選法種數(shù)共有C42C21C21=24種. (2)甲、乙兩人從4門課程中各選兩門不同的選法種數(shù)為C42C42,又甲乙兩人所選的兩門課程都相同的選法種數(shù)為C42種,因此滿足條件的不同選法種數(shù)為C42C42-C42=30種. 18.從1到9的9個數(shù)字中取3個偶數(shù)4個奇數(shù),試問: (1)能組成多少個沒有重復數(shù)字的七位數(shù)? (2)上述七位數(shù)中,3個偶數(shù)排在一起的有幾個? (3)(1)中的七位數(shù)中,偶數(shù)排在一起,奇數(shù)也排在一起的有幾個? 答案 (1)100 800個 (2)14 400個 (3)5 760個 解析 (1)分三步完成:第一步,在4個偶數(shù)中取3個,有C43種情況; 第二步,在5個奇數(shù)中取4個,有C54種情況; 第三步,3個偶數(shù)和4個奇數(shù)進行排列,有A77種情況.所以符合題意的七位數(shù)有C43C54A77=100 800個. (2)上述七位數(shù)中,3個偶數(shù)排在一起的有C43C54A55A33=14 400個. (3)上述七位數(shù)中,3個偶數(shù)排在一起,4個奇數(shù)也排在一起的有C43C54A33A44A22=5 760個. 1.(2018廣東佛山一中月考)以正六邊形的頂點和中心為三角形的頂點,可以構造不同的三角形的個數(shù)為( ) A.35 B.32 C.30 D.27 答案 B 解析 從7個點中選3個點有C73種情況,其中三點共線的情況有3種,故可以構造不同的三角形的個數(shù)為C73-3=32. 2.(2018山東師大附中模擬)甲、乙、丙三人輪流值日,從周一到周六每人值班兩天,若甲不值周一,乙不值周六,則可以排出不同的值日表有( ) A.50種 B.72種 C.48種 D.42種 答案 D 解析 C41C42C22+C42C32C22=42,故選D. 3.某電視臺從錄制的5個新聞報道和4個人物專訪中選出5個,準備在7月1日于7月5日中每天播出一個,若新聞報道不少于3個,則不同的播出方法共有( ) A.81種 B.810種 C.9 600種 D.9 720種 答案 D 解析 (C53C42+C54C41+C55)A55=9 720種. 4.(2017山東師大附中模擬)從5名男醫(yī)生,4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊,要求其中男、女醫(yī)生都有,則不同的組隊方案共有( ) A.70種 B.80種 C.100種 D.140種 答案 A 解析 從9名醫(yī)生中任選3名有C93=84種,都是男醫(yī)生和都是女醫(yī)生的有C53+C43=14種,男、女醫(yī)生都有的選法為84-14=70種. 5.(2016四川)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為( ) A.24 B.48 C.60 D.72 答案 D 解析 C31A44=72.選D. 6.(名師原創(chuàng))“整治裸官”“小官巨貪”“拍蠅打虎”“境外追逃”“回馬槍”成為2016年中國反腐的5個焦點.某大學新聞系學生用2017年元旦的時間調(diào)查社會對這些熱點的關注度,若準備按順序分別調(diào)查其中的4個熱點,則“整治裸官”作為其中的一個調(diào)查熱點,但不作為第一個調(diào)查熱點的種數(shù)為________. 答案 72 解析 先從“小官巨貪”“拍蠅打虎”“境外追逃”“回馬槍”這4個熱點中選出3個,有C43種不同的選法;在調(diào)查時,“整治裸官”安排的順序有A31種可能情況,其余三個熱點順序有A33種,故不同調(diào)查順序的總數(shù)為C43A31A33=72. 7.(2017天津)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數(shù)字,且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有________個.(用數(shù)字作答) 答案 1 080 解析 一個數(shù)字是偶數(shù)、三個數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù)有C41C53A44=960(個),四個數(shù)字都是奇數(shù)的四位數(shù)有A54=120(個),則至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)一共有960+120=1 080(個). 8.從6男2女共8名學生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人組成4人服務隊,要求服務隊中至少有1名女生,共有________種不同的選法.(用數(shù)字作答) 答案 660 解析 分兩步,第一步,選出4人,由于至少1名女生,故有C84-C64=55種不同的選法;第二步,從4人中選出隊長、副隊長各1人,有A42=12種不同的選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有5512=660種不同的選法.- 配套講稿:
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