2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 保分專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列及運算練習(xí) 文.doc

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第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列及運算 A組　小題提速練 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}，若點(n，an)(n∈N*)在經(jīng)過點(8,4)的定直線l上，則數(shù)列{an}的前15項和S15＝(　　) A．12　　　　　　　　 B．32 C．60 D．120 解析：∵點(n，an)在定直線上，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a8＝4，∴S15＝＝＝15a8＝60. 答案：C 2．已知各項不為0的等差數(shù)列{an}滿足a4－2a＋3a8＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b2b8b11等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：∵a4－2a＋3a8＝0，∴2a＝a4＋3a8， ∴2a＝a5＋a7＋2a8＝a5＋a7＋a7＋a9，即2a＝4a7， ∴a7＝2，∴b7＝2，又∵b2b8b11＝b6b8b7＝bb7＝(b7)3＝8，故選D. 答案：D 3．在等差數(shù)列{an}中，an>0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，則a5a6的最大值等于(　　) A．3 B．6 C．9 D．36 解析：∵a1＋a2＋…＋a10＝30，得a5＋a6＝＝6，又an>0，∴a5a6≤2＝2＝9. 答案：C 4．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a2＝7，a4＝3，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn＞0的最大的自然數(shù)n是(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：∵{an}的公差d＝＝－2，∴{an}的通項為an＝7－2(n－2)＝－2n＋11，∴{an}是遞減數(shù)列，且a5＞0＞a6，a5＋a6＝0，于是S9＝9a5＞0，S10＝10＝0，S11＝11a6＜0，故選A. 答案：A 5．在等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝34，a2an－1＝64，且前n項和Sn＝62，則項數(shù)n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2an－1＝a1an＝64，又a1＋an＝34，解得a1＝2，an＝32或a1＝32，an＝2.當(dāng)a1＝2，an＝32時，Sn＝＝＝＝62，解得q＝2.又an＝a1qn－1，所以22n－1＝2n＝32，解得n＝5.同理，當(dāng)a1＝32，an＝2時，由Sn＝62，解得q＝.由an＝a1qn－1＝32n－1＝2，得n－1＝＝4，即n－1＝4，n＝5.綜上，項數(shù)n等于5，故選B. 答案：B 6．在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 015，其前n項和為Sn，若－＝2，則S2 016的值等于(　　) A．－2 015 B．2015 C．2016 D．0 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， S12＝12a1＋d，S10＝10a1＋d， 所以＝＝a1＋d. ＝a1＋d，所以－＝d＝2， 所以S2 016＝2 016a1＋d＝0. 答案：D 7．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足S17＞0，S18＜0，則，，…，中最大的項為(　　) A. B. C. D. 解析：因為{an}是等差數(shù)列，所以S17＝＝17a9＞0，a9＞0，S18＝＝9(a9＋a10)＜0，a10＜0，即該等差數(shù)列前9項均是正數(shù)項，從第10項開始是負(fù)數(shù)項，則最大，故選C. 答案：C 8．正項等比數(shù)列{an}中，a2＝8,16a＝a1a5，則數(shù)列{an}的前n項積Tn中的最大值為(　　) A．T3 B．T4 C．T5 D．T6 解析：設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，則16a＝a1a5＝a2a4＝8a4，a4＝，q2＝＝，又q＞0，則q＝，an＝a2qn－2＝8n－2＝27－2n，則Tn＝a1a2…an＝25＋3＋…＋(7－2n)＝2n(6－n)，當(dāng)n＝3時，n(6－n)取得最大值9，此時Tn最大，即(Tn)max＝T3，故選A. 答案：A 9．(2018銅仁質(zhì)檢)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為(　　) A. B. C．1 D．－ 解析：因為a3a4a5＝3π＝a，所以a4＝3，即log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a＝7log33＝，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝. 答案：B 10．(2018江西紅色七校聯(lián)考)等比數(shù)列{an}滿足an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，則公比q為(　　) A. B. C．2 D．4 解析：由已知可得，解得或(舍去)，故＝＝4＝q2，故q＝2，選C. 答案：C 11．(2017高考全國卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項的和為(　　) A．－24 B．－3 C．3 D．8 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6＝a，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，又a1＝1，所以d2＋2d＝0，又d≠0，則d＝－2，所以a6＝a1＋5d＝－9，所以{an}前6項的和S6＝6＝－24，故選A. 答案：A 12．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，若a1a6a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，則tan的值是(　　) A．1 B. C．－ D．－ 解析：{an}是等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a1a6a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，∴a＝()3,3b6＝7π，∴a6＝，b6＝， ∴tan＝tan＝tan ＝tan(－)＝tan(－2π－)＝－tan＝－. 答案：D 二、填空題 13．已知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d≠0，Sn為其前n項和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8＝________. 解析：因為{an}為等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64. 答案：64 14．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________. 解析：由3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，則3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1. 答案：3n－1 15．(2018江西師大附中檢測)已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S1，S3，S4成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的公比為________． 解析：設(shè){an}的公比為q，由題意易知q>0且q≠1，因為S1，S3，S4成等差數(shù)列，所以2S3＝S1＋S4，即＝a1＋，解得q＝. 答案： 16．(2018開封模擬)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，當(dāng)x<0時，f(x)>1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若數(shù)列{an}滿足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝(n∈N*)，則a2 016的值為________． 解析：根據(jù)題意，不妨設(shè)f(x)＝()x，則a1＝f(0)＝1，∵f(an＋1)＝，∴an＋1＝an＋2，∴數(shù)列{an}是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列，∴an＝2n－1，∴a2 016＝4 031. 答案：4 031 B組　大題規(guī)范練 1．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3的值； (2)設(shè)bn＝an＋3，證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，并求an. 解析：(1)因為數(shù)列{an}的前n項和為Sn， 且Sn＝2an－3n(n∈N*)． 所以n＝1時，由a1＝S1＝2a1－31，解得a1＝3， n＝2時，由S2＝2a2－32，得a2＝9， n＝3時，由S3＝2a3－33，得a3＝21. (2)證明：因為Sn＝2an－3n，所以Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)， 兩式相減，得an＋1＝2an＋3，* 把bn＝an＋3及bn＋1＝an＋1＋3，代入*式， 得bn＋1＝2bn(n∈N*)，且b1＝6， 所以數(shù)列{bn}是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列， 所以bn＝62n－1， 所以an＝bn－3＝62n－1－3＝3(2n－1)． 2．已知數(shù)列{an}的首項為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*，又2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記bn＝2an－λ(log2an＋1)2，若數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍． 解析：(1)由Sn＋1＝qSn＋1?、倏傻?，當(dāng)n≥2時，Sn＝qSn－1＋1?、? ①－②得：an＋1＝qan. 又S2＝qS1＋1且a1＝1， 所以a2＝q＝qa1， 所以數(shù)列{an}是以1為首項，q為公比的等比數(shù)列． 又2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列， 所以2a3＝2a2＋a2＋2＝3a2＋2， 即：2q2＝3q＋2， 所以2q2－3q－2＝0， 解得：q＝2或q＝－(舍)， 所以數(shù)列{an}的通項公式為：an＝2n－1(n∈N*)． (2)由題意得：bn＝22n－1－λ(log22n)2＝2n－λn2， 若數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，則有 bn＋1－bn＝2n＋1－λ(n＋1)2－2n＋λn2＝2n－2nλ－λ>0，即λ<. 因為＝>1， 所以數(shù)列為遞增數(shù)列． 所以≥，所以λ<. 3．設(shè)Sn，Tn分別是數(shù)列{an}，{bn}的前n項和，已知對于任意n∈N*，都有3an＝2Sn＋3，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且T5＝25，b10＝19. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式； (2)設(shè)cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Rn，并求Rn的最小值． 解析：(1)由3an＝2Sn＋3，得 當(dāng)n＝1時，有a1＝3； 當(dāng)n≥2時，3an－1＝2Sn－1＋3， 從而3an－3an－1＝2an，即an＝3an－1， 所以an≠0，＝3， 所以數(shù)列{an}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，因此an＝3n. 設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，由T5＝25，b10＝19， 得 解得b1＝1，d＝2，因此bn＝2n－1. (2)由(1)可得cn＝ ＝＝－， Rn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋＝－3， 因為cn＝>0，所以數(shù)列{Rn}單調(diào)遞增． 所以n＝1時，Rn取最小值，故最小值為. 4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足an＋Sn＝2n. (1)證明：數(shù)列{an－2}為等比數(shù)列，并求出an； (2)設(shè)bn＝(2－n)(an－2)，求{bn}的最大項． 解析：(1)證明：由a1＋S1＝2a1＝2，得a1＝1. 由an＋Sn＝2n可得an＋1＋Sn＋1＝2(n＋1)，兩式相減得， 2an＋1－an＝2， ∴an＋1－2＝(an－2)， ∴{an－2}是首項為a1－2＝－1，公比為的等比數(shù)列， an－2＝(－1)n－1，故an＝2－n－1. (2)由(1)知bn＝(2－n)(－1)n－1＝(n－2)n－1， 由bn＋1－bn＝－＝＝≥0，得n≤3， 由bn＋1－bn<0得n>3，∴b1b5>…>bn>…，故{bn}的最大項為b3＝b4＝.