陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué) 第四章 定積分 4.1.1 定積分的實(shí)際背景教案 北師大版選修2-2.doc

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1.1 定積分的實(shí)際背景—面積和路程問(wèn)題2 課標(biāo)要求 了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念。 三維目標(biāo) （一）知識(shí)與能力： 了解求曲邊梯形面積的過(guò)程和解決有關(guān)汽車行駛路程問(wèn)題的過(guò)程的共同點(diǎn)； （二）過(guò)程與方法： 1.體會(huì)求汽車行駛的路程有關(guān)問(wèn)題的過(guò)程； 2.感受在其過(guò)程中滲透的思想方法：分割、以不變代變、求和、取極限（逼近）。 （三）情感態(tài)度與價(jià)值觀： 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)，完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識(shí)。 教材分析 本節(jié)的主要內(nèi)容是展現(xiàn)定積分的實(shí)際背景，形成定積分的概念.教材設(shè)計(jì)了3個(gè)實(shí) 例求曲邊梯形面積、根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)的速度求路程、求物體拉力做的功，通過(guò)這些問(wèn)題的解決，總結(jié)這些問(wèn)題的解決思路即通過(guò)分割求和、加細(xì)、減小誤差，然后再研究提 高精確度的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程是定積分思想的核心，為定積分概念的引人奠定了背景和方 法的基礎(chǔ)。 學(xué)情分析 學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)了求曲邊梯形面積、根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)的速度求路程、求物體拉力做的功，為定積分概念的引人奠定了背景和方法的基礎(chǔ)。 教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)：掌握過(guò)程步驟：分割、以不變代變、求和、逼近（取極限）． 難點(diǎn)：過(guò)程的理解． 提煉的課題 定積分的概念 教學(xué)手段運(yùn)用 教學(xué)資源選擇 專家伴讀 教學(xué)過(guò)程 四、教學(xué)過(guò)程 （一）、創(chuàng)設(shè)情景 復(fù)習(xí)：1．連續(xù)函數(shù)的概念；2．求曲邊梯形面積的基本思想和步驟； 利用導(dǎo)數(shù)我們解決了“已知物體運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的關(guān)系，求物體運(yùn)動(dòng)速度”的問(wèn)題．反之，如果已知物體的速度與時(shí)間的關(guān)系，如何求其在一定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程呢？ （二）、新課探析 問(wèn)題：汽車以速度組勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)間所行駛的路程為．如果汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻的速度為（單位：km/h），那么它在0≤≤1(單位：h)這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程（單位：km）是多少？ 分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題，化歸為勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題．把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運(yùn)動(dòng)，從而求得汽車在每個(gè)小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得（單位：km）的近似值，最后讓趨緊于無(wú)窮大就得到（單位：km）的精確值．（思想：用化歸為各個(gè)小區(qū)間上勻速直線運(yùn)動(dòng)路程和無(wú)限逼近的思想方法求出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）． 解：（1）．分割 在時(shí)間區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間： ，，…， 記第個(gè)區(qū)間為，其長(zhǎng)度為 把汽車在時(shí)間段，，…，上行駛的路程分別記作： ，，…， 顯然， （2）近似代替 當(dāng)很大，即很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值，從物理意義上看，即使汽車在時(shí)間段上的速度變化很小，不妨認(rèn)為它近似地以時(shí)刻處的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”，于是的用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有 ① （3）求和 由①， == == 從而得到的近似值 （4）取極限 當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，即趨向于0時(shí)，趨向于，從而有 思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過(guò)程，你認(rèn)為汽車行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？ 結(jié)合上述求解過(guò)程可知，汽車行駛的路程在數(shù)據(jù)上等于由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積． 一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無(wú)限逼近的思想，求出它在a≤≤b內(nèi)所作的位移． 例、彈簧在拉伸的過(guò)程中，力與伸長(zhǎng)量成正比，即力（為常數(shù)，是伸長(zhǎng)量），求彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)所作的功． 分析：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解． 解： 將物體用常力沿力的方向移動(dòng)距離，則所作的功為． 1．分割 在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間： ，，…， 記第個(gè)區(qū)間為，其長(zhǎng)度為 把在分段，，…，上所作的功分別記作：，，…， （2）近似代替 有條件知： （3）求和 = 從而得到的近似值 （4）取極限 所以得到彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)所作的功為： （四）、課堂小結(jié)：求汽車行駛的路程有關(guān)問(wèn)題的過(guò)程。