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壓軸小題組合練(A)
1.若f(x)＝，e
f(b) B.f(a)＝f(b)
C.f(a)1
答案 A
解析 由f′(x)＝<0，解得x>e，
∴f(x)在(e，＋∞)上為減函數(shù)，
∵ef(b).
2.已知函數(shù)f(x)＝(a＞0，且a≠1)在R上單調(diào)遞減，且關于x的方程|f(x)|＝2－x恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是( )
A. B.
C.∪ D.∪
答案 C
解析 由題設可得解得≤a≤.結合圖象(圖略)可知方程|f(x)|＝2－x在(－∞，0)和(0，＋∞)上分別只有一個實數(shù)根.當3a＞2，即a＞時，則x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x只有一個解，則Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，解得a＝或a＝1(舍去)，經(jīng)檢驗a＝，符合題意；當1≤3a≤2，即≤a≤時，符合題設條件.綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是≤a≤或a＝.故選C.
3.設函數(shù)f(x)＝若關于x的方程f(x)－loga(x＋1)＝0(a＞0，且a≠1)在區(qū)間[0,5]內(nèi)恰有5個不同的根，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(1，) B.(，＋∞)
C.(，＋∞) D.(，)
答案 C
解析 要使方程f(x)－loga(x＋1)＝0(a＞0且a≠1)在區(qū)間[0,5]內(nèi)恰有5個不同的根，只需函數(shù)y＝f(x)與y＝loga(x＋1)的圖象在區(qū)間[0,5]內(nèi)恰有5個不同的交點，顯然a>1，在同一坐標系內(nèi)作出它們的圖象如圖：
要使它們在區(qū)間[0,5]內(nèi)恰有5個不同的交點，只需得a＞，故選C.
4.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n(λ－n)－6，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則λ的取值范圍是( )
A.(－∞，2) B.(－∞，3)
C.(－∞，4) D.(－∞，5)
答案 A
解析 ∵Sn＝3n(λ－n)－6，①
∴Sn－1＝3n－1(λ－n＋1)－6，n≥2，②
由①－②，得an＝3n－1(2λ－2n－1)(n≥2，n∈N*).
∵數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，
∴an＞an＋1，
∴3n－1(2λ－2n－1)＞3n(2λ－2n－3)，
化為λ＜n＋2(n≥2)，
∴λ＜4.又a1＞a2，∴λ＜2.綜上，λ＜2.
5.如果定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意m≠n，均有mf(m)＋nf(n)－mf(n)－nf(m)>0成立，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”.給出下列函數(shù)：
①f(x)＝ln2x－5；
②f(x)＝－x3＋4x＋3；
③f(x)＝2x－2(sinx－cosx)；
④f(x)＝其中是“H函數(shù)”的個數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 B
解析 由題設，得(m－n)[f(m)－f(n)]>0(m≠n).
∴“H函數(shù)”就是函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù).
對于①，f(x)＝ln2x－5，顯然f(x)為R上的增函數(shù)；
對于②，當x＝0和x＝2時函數(shù)值相等，因此函數(shù)f(x)＝－x3＋4x＋3不可能是R上的增函數(shù)；
對于③，f′(x)＝2－2cos≥0在R上恒成立，則f(x)＝2x－2(sinx－cosx)是R上的增函數(shù)；
對于④，當x＝0和x＝1時函數(shù)值相等，因此函數(shù)f(x)＝不可能為R上的增函數(shù)，因此符合條件的函數(shù)個數(shù)為2.
6.(2018河南省南陽市第一中學模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax＋x2－xlna，對任意的x1，x2∈[0,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤a－2恒成立，則a的取值范圍為( )
A.[e2，＋∞) B.[e，＋∞)
C.[2，e] D.[e，e2]
答案 A
解析 由題意可得|f(x1)－f(x2)|max
＝f(x)max－f(x)min≤a－2，且a>2，
由于f′(x)＝axlna＋2x－lna＝lna＋2x，
所以當x>0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，
則f(x)max＝f(1)＝a＋1－lna，f(x)min＝f(0)＝1，
所以f(x)max－f(x)min＝a－lna，
故a－2≥a－lna，即lna≥2，所以a≥e2，即a的取值范圍為.
7.(2018洛陽統(tǒng)考)在△ABC中，點P滿足＝2，過點P的直線與AB，AC所在直線分別交于點M，N，若＝m，＝n(m>0，n>0)，則m＋2n的最小值為( )
A.3 B.4
C. D.
答案 A
解析 ∵＝＋＝＋＝＋＝＋，
∵M，P，N三點共線，∴＋＝1，
∵m>0，n>0，
∴m＋2n＝(m＋2n)
＝＋＋＋≥＋2＝3，
當且僅當＝，即m＝n＝1時等號成立.
8.(2018濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ex(x<0)與g(x)＝x2＋ln(x＋a)的圖象上存在關于y軸對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(－∞，e) B.
C. D.
答案 A
解析 由已知得，方程f(x)＝g(－x)在x<0時有解，
即ex－ln(－x＋a)＝0在(－∞，0)上有解，
令m(x)＝ex－ln(－x＋a)，
則m(x)＝ex－ln(－x＋a)在其定義域上是增函數(shù)，且x→－∞時，m(x)<0，
當a≤0，x→a時，m(x)>0，
故ex－ln(－x＋a)＝0
在(－∞，0)上有解，
當a>0時，則ex－ln(－x＋a)＝0在(－∞，0)上有解可化為e0－lna>0，即lna<1，故00，當t>1時，f′(t)<0，因此f(t)≤f(1)＝0，即lnt≤t－1，
所以ln(x＋2y－3)≤x＋2y－3－1，
ln(2x－3y＋5)≤2x－3y＋5－1，
因此ln(x＋2y－3)＋ln(2x－3y＋5)≤x＋2y－3－1＋2x－3y＋5－1＝3x－y，
因為3x－y≤ln(x＋2y－3)＋ln(2x－3y＋5)，
所以x＋2y－3＝1,2x－3y＋5＝1，所以x＝，y＝，
所以x＋y＝.
14.設函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f2(x)＋bf(x)＋c有三個零點x1，x2，x3，則x1x2＋x2x3＋x1x3＝________.
答案 2
解析 作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，
由圖可得關于x的方程f(x)＝t的解有兩個或三個(t＝1時有三個，t≠1時有兩個)，所以關于t的方程t2＋bt＋c＝0只能有一個根t＝1(若有兩個根，則關于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有四個或五個根)，由f(x)＝1，可得x1，x2，x3的值分別為0,1,2，x1x2＋x2x3＋x1x3＝01＋12＋02＝2.
15.在△ABC中，AB＝6，AC＝6，∠BAC＝，點D滿足＝，點E在線段AD上運動，若＝λ＋μ，則3λ＋取得最小值時，向量的模為________.
答案 2
解析 在△ABC中，AB＝6，AC＝6，∠BAC＝，
可得BC＝6.
∵點D滿足＝，
∴CD＝2.
如圖建立平面直角坐標系，則A(0,6)，B(6,0)，D(2,0)，
設＝k＝(2k，－6k)，＝λ＋μ＝λ(6，－6)＋μ(0，－6)＝(6λ，－6λ－6μ)，
∴2k＝6λ，－6k＝－6λ－6μ，∴μ＝2λ，
∴3λ＋＝3λ＋≥2＝，
當且僅當λ2＝時等號成立.
此時＝(6λ，－18λ)，||＝＝2.
16.已知函數(shù)f(x)＝xex＋c有兩個零點，則c的取值范圍是________.
答案
解析 ∵f′(x)＝ex(x＋1)，∴易知f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(x)min＝f(－1)＝c－e－1，由題意得c－e－1<0，得c
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