2020高考數(shù)學刷題首選卷 第七章 平面解析幾何 考點測試50 兩條直線的位置關系與距離公式 理(含解析).docx
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考點測試50 兩條直線的位置關系與距離公式 高考概覽 考綱研讀 1.能根據(jù)兩直線方程判斷這兩條直線平行或垂直 2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標 3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離 一、基礎小題 1.過點(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 答案 A 解析 設直線方程為x-2y+c=0(c≠-2),又該直線經(jīng)過點(1,0),故c=-1,所求直線方程為x-2y-1=0.故選A. 2.若點P(a,b)與Q(b-1,a+1)關于直線l對稱,則直線l的傾斜角α為( ) A.135 B.45 C.30 D.60 答案 B 解析 由題意知,PQ⊥l,∵kPQ==-1, ∴kl=1,即tanα=1,∴α=45.故選B. 3.已知點A(1,-2),B(m,2),且線段AB的垂直平分線的方程是x+2y-2=0,則實數(shù)m的值是( ) A.-2 B.-7 C.3 D.1 答案 C 解析 因為線段AB的中點,0在直線x+2y-2=0上,代入解得m=3. 4.已知直線x+y-1=0與直線2x+my+3=0平行,則它們之間的距離是( ) A.1 B. C.3 D.4 答案 B 解析 ∵=≠,∴m=2,兩平行線之間的距離d==.故選B. 5.已知點M是直線x+y=2上的一個動點,若點P的坐標為(,-1),則|PM|的最小值為( ) A. B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 |PM|的最小值即點P(,-1)到直線x+y=2的距離,又=1,故|PM|的最小值為1.選B. 6.若直線l1:ax+2y-8=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行,則實數(shù)a的值為( ) A.1 B.1或2 C.-2 D.1或-2 答案 A 解析 直線l1的方程為y=-x+4.若a=-1,顯然兩直線不平行,所以a≠-1;要使兩直線平行,則有=,解得a=1或a=-2.當a=-2時,兩直線重合,所以不滿足條件,所以a=1.故選A. 7.若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關于點(2,1)對稱,則直線l2恒過定點( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2) 答案 B 解析 直線l1:y=k(x-4)恒過定點(4,0),其關于點(2,1)的對稱點為(0,2).又由于直線l1:y=k(x-4)與直線l2關于點(2,1)對稱,故直線l2恒過定點(0,2). 8.若動點A,B分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移動,則AB的中點M到原點的距離的最小值為( ) A.3 B. C.3 D.2 答案 C 解析 點M在直線x+y-6=0上,到原點的最小距離等價于原點O(0,0)到直線x+y-6=0的距離,即d===3.故選C. 9.已知x,y滿足x+2y-5=0,則(x-1)2+(y-1)2的最小值為( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 (x-1)2+(y-1)2表示點P(x,y)到點Q(1,1)的距離的平方.由已知可得點P在直線l:x+2y-5=0上,所以|PQ|的最小值為點Q到直線l的距離,即d==,所以(x-1)2+(y-1)2的最小值為d2=.故選A. 10.已知△ABC的頂點A(5,1),邊AB上的中線CM所在直線的方程為2x-y-5=0,邊AC上的高BH所在直線的方程為x-2y-5=0,則直線BC的方程為( ) A.2x+y-11=0 B.6x-5y-10=0 C.5x-6y-9=0 D.6x-5y-9=0 答案 D 解析 依題意知kAC=-2,點A(5,1),則直線AC的方程為2x+y-11=0, 聯(lián)立可得點C(4,3). 設B(x0,y0),則AB的中點M為,, 代入2x-y-5=0,得2x0-y0-1=0, 所以解得點B(-1,-3),故kBC=,則直線BC的方程為y-3=(x-4),即6x-5y-9=0.故選D. 11.已知A(-2,1),B(1,2),點C為直線y=x上的動點,則|AC|+|BC|的最小值為( ) A.2 B.2 C.2 D.2 答案 C 解析 設B關于直線y=x的對稱點為B′(x0,y0),則解得B′(2,-1).由平面幾何知識得|AC|+|BC|的最小值即是|B′A|==2.故選C. 12.已知點A(-3,-4),B(6,3)到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實數(shù)a的值為________. 答案?。颍? 解析 由題意及點到直線的距離公式得=,解得a=-或-. 二、高考小題 13.(2016全國卷Ⅱ)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=( ) A.- B.- C. D.2 答案 A 解析 圓的方程可化為(x-1)2+(y-4)2=4,則圓心坐標為(1,4),圓心到直線ax+y-1=0的距離為=1,解得a=-.故選A. 14.(2015山東高考)一條光線從點(-2,-3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為( ) A.-或- B.-或- C.-或- D.-或- 答案 D 解析 如圖,作出點P(-2,-3)關于y軸的對稱點P0(2,-3).由題意知反射光線與圓相切,其反向延長線過點P0.故設反射光線為y= k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.∴圓心到直線的距離 d==1,解得k=-或k=-.故選D. 15.(2015廣東高考)平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+=0或2x+y-=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+=0或2x-y-=0 答案 A 解析 設與直線2x+y+1=0平行的直線方程為2x+y+m=0(m≠1),因為直線2x+y+m=0與圓x2+y2=5相切,即點(0,0)到直線2x+y+m=0的距離為,所以=,|m|=5.故所求直線的方程為2x+y+5=0或2x+y-5=0.故選A. 16.(經(jīng)典重慶高考)已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點,且△ABC為等邊三角形,則實數(shù)a=________. 答案 4 解析 由△ABC為等邊三角形可得,C到AB的距離為,即(1,a)到直線ax+y-2=0的距離d==,即a2-8a+1=0,可求得a=4. 三、模擬小題 17.(2018福建閩侯六中模擬)“直線(m+2)x+3my+1=0與(m-2)x+(m+2)y=0互相垂直”是“m=”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 B 解析 若直線(m+2)x+3my+1=0與(m-2)x+(m+2)y=0互相垂直,則(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,解得m=-2或m=,即“直線(m+2)x+3my+1=0與(m-2)x+(m+2)y=0互相垂直”是“m=”的必要不充分條件. 18.(2018天津一中模擬)已知直線x+a2y+6=0與直線(a-2)x+3ay+2a=0平行,則a的值為( ) A.0或3或-1 B.0或3 C.3或-1 D.0或-1 答案 D 解析 由題意知13a-a2(a-2)=0,即a(a2-2a-3)=0,∴a=0,a=-1或a=3,經(jīng)驗證當a=3時,兩直線重合.故選D. 19.(2018廣西陸川模擬)光線沿著直線y=-3x+b射到直線x+y=0上,經(jīng)反射后沿著直線y=ax+2射出,則有( ) A.a(chǎn)=,b=6 B.a(chǎn)=-,b=-6 C.a(chǎn)=3,b=- D.a(chǎn)=-3,b= 答案 B 解析 由題意,直線y=-3x+b與直線y=ax+2關于直線y=-x對稱,故直線y=ax+2上點(0,2)關于y=-x的對稱點(-2,0)在直線y=-3x+b上,∴b=-6,y=-3x-6上的點(0,-6),關于直線y=-x對稱點(6,0)在直線y=ax+2上,∴a=-,故選B. 20.(2018杭州月考)已知P1(a1,b1)與P2(a2,b2)是直線y=kx+1(k為常數(shù))上兩個不同的點,則關于x和y的方程組的解的情況是( ) A.無論k,P1,P2如何,總是無解 B.無論k,P1,P2如何,總有唯一解 C.存在k,P1,P2,使之恰有兩解 D.存在k,P1,P2,使之有無窮多解 答案 B 解析 由題意,直線y=kx+1一定不過原點O,P1,P2是直線y=kx+1上不同的兩點,則與不平行,因此a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程組 一定有唯一解.故選B. 21.(2018湖北孝感五校聯(lián)考)已知直線y=2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線,若點A,B的坐標分別是(-4,2),(3,1),則點C的坐標為( ) A.(-2,4) B.(-2,-4) C.(2,4) D.(2,-4) 答案 C 解析 設A(-4,2)關于直線y=2x的對稱點為(x,y),則解得 ∴BC所在直線方程為y-1=(x-3),即3x+y-10=0. 聯(lián)立解得則C(2,4).故選C. 22.(2018百校聯(lián)盟TOP20聯(lián)考)我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)立了割圓術,也就是用內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓,即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時,其周長就越逼近圓周長.這種用極限思想解決數(shù)學問題的方法是數(shù)學史上的一項重大成就,現(xiàn)作出圓x2+y2=2的一個內(nèi)接正八邊形,使該正八邊形的其中4個頂點在坐標軸上,則下列4條直線中不是該正八邊形的一條邊所在直線的為( ) A.x+(-1)y-=0 B.(1-)x-y+=0 C.x-(+1)y+=0 D.(-1)x-y+=0 答案 C 解析 如圖所示,可知A(,0),B(1,1),C(0,),D(-1,1),所以直線AB,BC,CD的方程分別為y=(x-),y=(1-)x+,y=(-1)x+,整理成一般式為x+(-1)y-=0,(1-)x-y+=0,(-1)x-y+=0,分別對應題中的A,B,D選項.故選C. 23.(2018北京西城區(qū)月考)已知l1,l2是分別經(jīng)過A(1,1),B(0,-1)兩點的兩條平行直線,當l1,l2間的距離最大時,則直線l1的方程是________. 答案 x+2y-3=0 解析 當直線AB與l1,l2垂直時,l1,l2間的距離最大.因為A(1,1),B(0,-1),所以kAB==2,所以兩平行直線的斜率為k=-,所以直線l1的方程是y-1=-(x-1),即x+2y-3=0. 24.(2018河南焦作調(diào)研)著名數(shù)學家華羅庚曾說過:“數(shù)形結合百般好,割裂分家萬事休.”事實上,有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決,如: 可以轉(zhuǎn)化為平面上點M(x,y)與點N(a,b)的距離.結合上述觀點,可得f(x)=+的最小值為________. 答案 5 解析 ∵f(x)=+= +,∴f(x)的幾何意義為點M(x,0)到兩定點A(-2,4)與B(-1,3)的距離之和,設點A(-2,4)關于x軸的對稱點為A′,則A′為(-2,-4).要求f(x)的最小值,可轉(zhuǎn)化為|MA|+|MB|的最小值,利用對稱思想可知|MA|+|MB|≥|A′B|==5,即f(x)=+的最小值為5. 一、高考大題 本考點在近三年高考中未涉及此題型. 二、模擬大題 1.(2018江西九江月考)已知直線l1:x+a2y+1=0和直線l2:(a2+1)x-by+3=0(a,b∈R). (1)若l1∥l2,求b的取值范圍; (2)若l1⊥l2,求|ab|的最小值. 解 (1)因為l1∥l2,所以-b-(a2+1)a2=0, 即b=-a2(a2+1)=-a4-a2=-2+, 因為a2≥0,所以b≤0. 又因為a2+1≠3,所以b≠-6. 故b的取值范圍是(-∞,-6)∪(-6,0]. (2)因為l1⊥l2,所以(a2+1)-a2b=0,顯然a≠0,所以ab=a+,|ab|=≥2,當且僅當a=1時等號成立,因此|ab|的最小值為2. 2.(2018湖北十堰模擬)已知三條直線l1:2x-y+a=0(a>0),l2:4x-2y-1=0和l3:x+y-1=0,且兩平行直線l1與l2間的距離是. (1)求a的值; (2)能否找到一點P,使得P點同時滿足下列三個條件:①P是第一象限的點;②P點到l1的距離是P點到l2的距離的;③P點到l1的距離與P點到l3的距離之比是∶.若能,求P點坐標;若不能,說明理由. 解 (1)l2的方程可化為2x-y-=0, ∴l(xiāng)1與l2間的距離d==, ∴=,∴a+=, ∵a>0,∴a=3. (2)能. 假設存在滿足題意的P點. 設點P(x0,y0),因為P點滿足條件②,所以P點在與l1,l2平行的直線l′:2x-y+C=0上,其中C滿足=,C≠3且C≠-, 則C=或C=, ∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0. 因為P點滿足條件③, 所以由點到直線的距離公式得 =, 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, ∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0. ∵P點在第一象限, ∴3x0+2=0不滿足題意. 由解得(舍去). 由解得 ∴存在滿足題意的P點,且P點的坐標為,.- 配套講稿:
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