(浙江專版)2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1 函數(shù)與方程學(xué)案 新人教A版必修1.doc
《(浙江專版)2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1 函數(shù)與方程學(xué)案 新人教A版必修1.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專版)2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1 函數(shù)與方程學(xué)案 新人教A版必修1.doc(9頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
3.1 預(yù)習(xí)課本P86~88,思考并完成以下問題 (1)函數(shù)零點(diǎn)的定義是什么? (2)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理要具備哪兩個條件? (3)方程的根、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)三者之間的聯(lián)系是什么? 1.函數(shù)的零點(diǎn) 對于函數(shù)y=f(x),把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn). [點(diǎn)睛] 函數(shù)的零點(diǎn)不是一個點(diǎn),而是一個實(shí)數(shù),當(dāng)自變量取該值時,其函數(shù)值等于零. 2.方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系 方程f(x)=0有實(shí)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn). 3.函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)f(b)<0.那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根. [點(diǎn)睛] 定理要求具備兩條:①函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線;②f(a)f(b)<0. 1.判斷(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)所有的函數(shù)都有零點(diǎn).( ) (2)若方程f(x)=0有兩個不等實(shí)根x1,x2,則函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)為(x1,0)(x2,0).( ) (3)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn),則一定有f(a)f(b)<0.( ) 答案:(1) (2) (3) 2.函數(shù)f(x)=log2x的零點(diǎn)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:A 3.下列各圖象表示的函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是( ) 答案:D 4.函數(shù)f(x)=x2-5x的零點(diǎn)是________. 答案:0,5 求函數(shù)的零點(diǎn) [例1] (1)判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在,請求出. (1) f (x)=;(2) f (x)=x2+2x+4; (3) f (x)=2x-3;(4) f (x)=1-log3x. [解] (1)令=0,解得x=-3,所以函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)是x=-3. (2)令x2+2x+4=0,由于Δ=22-414=-12<0, 所以方程x2+2x+4=0無實(shí)數(shù)根, 所以函數(shù)f(x)=x2+2x+4不存在零點(diǎn). (3)令2x-3=0,解得x=log23. 所以函數(shù)f(x)=2x-3的零點(diǎn)是x=log23. (4)令1-log3x=0,解得x=3, 所以函數(shù)f(x)=1-log3x的零點(diǎn)是x=3. 函數(shù)零點(diǎn)的求法 求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時,通常轉(zhuǎn)化為解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根,則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn),該方程的根就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn);否則,函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn). [活學(xué)活用] 1.已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為( ) A. ,0 B.-2,0 C. D.0 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間 解析:選D 當(dāng)x≤1時,令2x-1=0,得x=0.當(dāng)x>1時,令1+log2x=0,得x=,此時無解.綜上所述,函數(shù)零點(diǎn)為0. [例2] 函數(shù)f(x)=ln x-的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,+∞) [解析] ∵f(1)=-2<0,f(2)=ln 2-1<0, ∴在(1,2)內(nèi)f(x)無零點(diǎn),A錯; 又f(3)=ln 3->0, ∴f(2)f(3)<0, ∴f(x)在(2,3)內(nèi)有零點(diǎn). [答案] B 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的3個步驟 (1)代入:將區(qū)間端點(diǎn)值代入函數(shù)求出函數(shù)的值. (2)判斷:把所得的函數(shù)值相乘,并進(jìn)行符號判斷. (3)結(jié)論:若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù),則在該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn),若符號為負(fù)且函數(shù)連續(xù),則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn). [活學(xué)活用] 2.若函數(shù)f(x)=x+(a∈R)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn),則a的值可能是( ) A.-2 B.0 C.1 D.3 解析:選A f(x)=x+(a∈R)的圖象在(1,2)上是連續(xù)不斷的,逐個選項(xiàng)代入驗(yàn)證,當(dāng)a=-2時,f(1)=1-2=-1<0,f(2)=2-1=1>0.故f(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn),同理,其他選項(xiàng)不符合,選A. 判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù) [例3] (1)f(x)=的零點(diǎn)個數(shù)為( ) A.3 B.2 C.1 D.0 (2)判斷函數(shù)f(x)=ln x+x2-3的零點(diǎn)的個數(shù). (1)[解析] 當(dāng)x≤0時,由f(x)=x2+2x-3=0得x1=-3,x2=1(舍去); 當(dāng)x>0時,由f(x)=-2+ln x=0得x=e2. ∴函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為2. [答案] B (2)[解] [法一 圖象法] 函數(shù)對應(yīng)的方程為ln x+x2-3=0,所以原函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)即為函數(shù)y=ln x與y=3-x2的圖象交點(diǎn)個數(shù). 在同一坐標(biāo)系下,作出兩函數(shù)的圖象(如圖). 由圖象知,函數(shù)y=3-x2與y=ln x的圖象只有一個交點(diǎn),從而ln x+x2-3=0有一個根, 即函數(shù)y=ln x+x2-3有一個零點(diǎn). [法二 判定定理法] 由于f(1)=ln 1+12-3=-2<0, f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0, ∴f(1)f(2)<0,又f(x)=ln x+x2-3的圖象在(1,2)上是不間斷的,所以f(x)在(1,2)上必有零點(diǎn), 又f(x)在(0,+∞)上是遞增的,所以零點(diǎn)只有一個. 判斷函數(shù)存在零點(diǎn)的3種方法 (1)方程法:若方程f(x)=0的解可求或能判斷解的個數(shù),可通過方程的解來判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或判斷零點(diǎn)的個數(shù). (2)圖象法:由f(x)=g(x)-h(huán)(x)=0,得g(x)=h(x),在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y1=g(x)和y2=h(x)的圖象,根據(jù)兩個圖象交點(diǎn)的個數(shù)來判定函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù). (3)定理法:函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[a,b]上是一條連續(xù)不斷的曲線,由f(a)f(b)<0即可判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn).若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)函數(shù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個零點(diǎn). [活學(xué)活用] 3.若abc≠0,且b2=ac,則函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的零點(diǎn)的個數(shù)是________. 解析:∵ax2+bx+c=0的根的判別式Δ=b2-4ac,b2=ac,且abc≠0, ∴Δ=-3b2<0, ∴方程ax2+bx+c=0無實(shí)根. ∴函數(shù)f(x)=ax2+bx+c無零點(diǎn). 答案:0 4.函數(shù)f(x)=的圖象和函數(shù)g(x)=log2x的圖象的交點(diǎn)個數(shù)是________. 解析:作出g(x)與f(x)的圖象如圖,由圖知f(x)與g(x)有3個交點(diǎn). 答案:3 層級一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1.函數(shù)f(x)=x2-x-1的零點(diǎn)有( ) A.0個 B.1個 C.2個 D.無數(shù)個 解析:選C Δ=(-1)2-41(-1)=5>0 ∴方程x2-x-1=0有兩個不相等的實(shí)根, 故函數(shù)f(x)=x2-x-1有2個零點(diǎn). 2.函數(shù)f(x)=2x2-3x+1的零點(diǎn)是( ) A.-,-1 B. ,1 C. ,-1 D.-,1 解析:選B 方程2x2-3x+1=0的兩根分別為x1=1,x2=,所以函數(shù)f(x)=2x2-3x+1的零點(diǎn)是,1. 3.函數(shù)y=x2-bx+1有一個零點(diǎn),則b的值為( ) A.2 B.-2 C.2 D.3 解析:選C 因?yàn)楹瘮?shù)有一個零點(diǎn),所以Δ=b2-4=0,所以b=2. 4.函數(shù)f(x)=2x-的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( ) A.(1,+∞) B. C. D. 解析:選B 由f(x)=2x-,得 f =2-2<0, f (1)=2-1=1>0, ∴f f (1)<0. ∴零點(diǎn)所在區(qū)間為. 5.下列說法中正確的個數(shù)是( ) ①f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零點(diǎn)為(-1,0); ②f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零點(diǎn)為-1; ③y=f(x)的零點(diǎn),即y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn); ④y=f(x)的零點(diǎn),即y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). A.1 B.2 C.3 D.4 解析:選B 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義,f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零點(diǎn)為-1,也就是函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn),即y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此,只有說法②④正確,故選B. 6.函數(shù)f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零點(diǎn)有______個. 解析:∵f(x)=(x-1)(x2+3x-10) =(x-1)(x+5)(x-2), ∴由f(x)=0得x=-5或x=1或x=2. 答案:3 7.若f(x)=x+b的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi),則b的取值范圍為________. 解析:∵f(x)=x+b是增函數(shù),又f(x)=x+b的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi),∴ ∴∴-1<b<0. 答案:(-1,0) 8.函數(shù)f(x)=ln x+3x-2的零點(diǎn)個數(shù)是________. 解析:由f(x)=ln x+3x-2=0,得ln x=2-3x,設(shè)g(x)=ln x,h(x)=2-3x,圖象如圖所示,兩個函數(shù)的圖象有一個交點(diǎn),故函數(shù)f(x)=ln x+3x-2有一個零點(diǎn). 答案:1 9.判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在,請求出. (1)f(x)=-x2+2x-1; (2)f(x)=x4-x2; (3)f(x)=4x+5; (4)f(x)=log3(x+1). 解:(1)令-x2+2x-1=0,解得x1=x2=1, 所以函數(shù)f(x)=-x2+2x-1的零點(diǎn)為1. (2)因?yàn)閒(x)=x2(x-1)(x+1)=0, 所以x=0或x=1或x=-1, 故函數(shù)f(x)=x4-x2的零點(diǎn)為0,-1和1. (3)令4x+5=0,則4x=-5<0,方程4x+5=0無實(shí)數(shù)解. 所以函數(shù)f(x)=4x+5不存在零點(diǎn). (4)令log3(x+1)=0,解得x=0, 所以函數(shù)f(x)=log3(x+1)的零點(diǎn)為0. 10.已知函數(shù)f(x)=2x-x2,問方程f(x)=0在區(qū)間[-1,0]內(nèi)是否有解,為什么? 解:因?yàn)閒(-1)=2-1-(-1)2=-<0, f(0)=20-02=1>0, 而函數(shù)f(x)=2x-x2的圖象是連續(xù)曲線,所以f(x)在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有零點(diǎn),即方程f(x)=0在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有解. 層級二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1.函數(shù)f(x)=x3-4x的零點(diǎn)為( ) A.(0,0),(2,0) B.(-2,0),(0,0),(2,0) C.-2,0,2 D.0,2 解析:選C 令f(x)=0,得x(x-2)(x+2)=0,解得x=0或x=2,故選C. 2.函數(shù)y=x2+a存在零點(diǎn),則a的取值范圍是( ) A.a(chǎn)>0 B.a(chǎn)≤0 C.a(chǎn)≥0 D.a(chǎn)<0 解析:選B 函數(shù)y=x2+a存在零點(diǎn),則x2=-a有解,所以a≤0. 3.已知f(x)=-x-x3,x∈[a,b],且f(a)f(b)<0,則f(x)=0在[a,b]內(nèi)( ) A.至少有一個實(shí)根 B.至多有一個實(shí)根 C.沒有實(shí)根 D.有唯一實(shí)根 解析:選D f(x)=-x-x3的圖象在[a,b]上是連續(xù)的,并且是單調(diào)遞減的,又因?yàn)閒(a)f(b)<0,可得f(x)=0在[a,b]內(nèi)有唯一一個實(shí)根. 4.方程log3x+x=3的解所在的區(qū)間為( ) A.(0,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:選C 令f(x)=log3x+x-3,則f(2)=log32+2-3=log3<0,f(3)=log33+3-3=1>0,那么方程log3x+x=3的解所在的區(qū)間為(2,3). 5.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),-2是它的一個零點(diǎn),且在(0,+∞)上是增函數(shù),則該函數(shù)有________個零點(diǎn),這幾個零點(diǎn)的和等于________. 解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù),所以f(0)=0.又因?yàn)閒(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0,故該函數(shù)有3個零點(diǎn),這3個零點(diǎn)之和等于0. 答案:3 0 6.對于方程x3+x2-2x-1=0,有下列判斷: ①在(-2,-1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根; ②在(-1,0)內(nèi)有實(shí)數(shù)根; ③在(1,2)內(nèi)有實(shí)數(shù)根; ④在(-∞,+∞)內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根. 其中正確的有________.(填序號) 解析:設(shè)f(x)=x3+x2-2x-1, 則f(-2)=-1<0,f(-1)=1>0, f(0)=-1<0,f(1)=-1<0, f(2)=7>0, 則f(x)在(-2,-1),(-1,0)(1,2)內(nèi)均有零點(diǎn),即①②③正確. 答案:①②③ 7.已知函數(shù)f(x)=x2-bx+3. (1)若f(0)=f(4),求函數(shù)f(x)的零點(diǎn). (2)若函數(shù)f(x)一個零點(diǎn)大于1,另一個零點(diǎn)小于1,求b的取值范圍. 解:(1)由f(0)=f(4)得3=16-4b+3,即b=4,所以f(x)=x2-4x+3,令f(x)=0即x2-4x+3=0得x1=3,x2=1. 所以f(x)的零點(diǎn)是1和3. (2)因?yàn)閒(x)的零點(diǎn)一個大于1,另一個小于1,如圖. 需f(1)<0,即1-b+3<0,所以b>4. 故b的取值范圍為(4,+∞). 8.已知函數(shù)f(x)=-3x2+2x-m+1. (1)當(dāng)m為何值時,函數(shù)有兩個零點(diǎn)、一個零點(diǎn)、無零點(diǎn). (2)若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)在原點(diǎn)處,求m的值. 解:(1)函數(shù)有兩個零點(diǎn),則對應(yīng)方程-3x2+2x-m+1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,易知Δ>0,即4+12(1-m)>0,可解得m<; 由Δ=0,可解得m=; 由Δ<0,可解得m>. 故當(dāng)m<時,函數(shù)有兩個零點(diǎn); 當(dāng)m=時,函數(shù)有一個零點(diǎn); 當(dāng)m>時,函數(shù)無零點(diǎn). (2)因?yàn)?是對應(yīng)方程的根,有1-m=0,可解得m=1.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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