高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何課件 文（打包5套）.zip

高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何課件 文（打包5套）.zip,高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí),第八章,立體幾何課件,文打包5套,高考,數(shù)學(xué),復(fù)習(xí),第八,立體幾何,課件,打包 第八章立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖和直觀圖 1 多面體的結(jié)構(gòu)特征 1 棱柱的側(cè)棱都互相平行 上 下底面是互相平行且全等 的多邊形 2 棱錐的底面是任意多邊形 側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三 角形 3 棱臺(tái)可由平行于底面的平面截棱錐得到 其上 下底面 是相似多邊形 注意 1 正棱柱 側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱 底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱 反之 正棱柱的底面是正多邊形 側(cè)棱垂直于底面 側(cè)面是矩形 2 正棱錐 底面是正多邊形 頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐 特別地 各棱均相等的正棱錐叫做正多面體 反過來 正棱錐的底面是正多邊形 且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心 2 旋轉(zhuǎn)體的幾何特征 1 圓柱 以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸 將矩形旋轉(zhuǎn) 一周而形成的曲面所圍成的幾何體 2 圓錐 以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸 將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體 3 圓臺(tái) 類似于棱臺(tái) 圓臺(tái)可看作是用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐 底面與截面之間的部分 類似于圓錐的形成過程 圓臺(tái)還可以看作是一直角梯形繞垂直于底的腰所在的直線旋轉(zhuǎn) 其余各邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體 4 球 以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸 半圓面旋轉(zhuǎn)一 周形成的幾何體 3 空間幾何體的三視圖 1 幾何體的三視圖包括 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 又稱為主視圖 左視圖 俯視圖 2 三視圖的長度特征 長對(duì)正 寬相等 高平齊 即 視圖和側(cè)視圖一樣高 正視圖和 視圖一樣長 視圖和俯視圖一樣寬 正 俯 側(cè) 注意 若相鄰兩物體的表面相交 表面的交線是它們的分界線 在三視圖中 要注意實(shí) 虛線的畫法 4 用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形 1 步驟 畫軸 取點(diǎn) 成圖 2 圖形中平行于x軸的線段 在直觀圖中仍平行于x 軸且長度保持不變 平行于y軸的線段 在直觀圖中仍平行于y 軸且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?與坐標(biāo)軸不平行的線段 可通過確定端點(diǎn)的辦法來解決 3 畫空間圖形的直觀圖時(shí) 只需增加一個(gè)豎直的z 軸 圖形中平行于z軸的線段 在直觀圖中仍平行于z 軸且長度保持不變 1 如圖8 1 1所示的是一幅電熱水壺的主視圖 它的俯視 圖是 D 圖8 1 1 2 紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上 下 東 南 西 北 現(xiàn)又沿該正方體的一些棱將正方體剪開 外面朝上展平 得到如圖8 1 2所示的平面圖形 則標(biāo) 的 面的方位是 B 圖8 1 2 A 南 B 北 C 西 D 下 3 2013年四川 一個(gè)幾何體的三視圖如圖8 1 3 則該幾 D 何體的直觀圖可以是 AC BD 圖8 1 3 4 小華拿一個(gè)矩形木框在陽光下玩 矩形木框在地面上形 成的投影不可能是 A 考點(diǎn)1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 例1 1 如圖8 1 4 模塊 均由4個(gè)棱長為1的小正方體構(gòu)成 模塊 由15個(gè)棱長為1的小正方體構(gòu)成 現(xiàn)從模塊 中選出三個(gè)放到模塊 上 使得模塊 成為一個(gè)棱長為 3的大正方體 則下列方案中 能夠完成任務(wù)的為 圖8 1 4 A 模塊 C 模塊 B 模塊 D 模塊 解析 本小題主要考查空間想象能力 先補(bǔ)齊中間一層 只能用模塊 或 且如果補(bǔ) 則后續(xù)兩塊無法補(bǔ)齊 所以只能先用 補(bǔ)中間一層 然后再補(bǔ)齊其他兩塊 答案 A 2 在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn) 它們可能是如下各種幾何體形的4個(gè)頂點(diǎn) 這些幾何形體是 寫出所有正確結(jié)論的編號(hào) 矩形 不是矩形的平行四邊形 有三個(gè)面為等腰直角三角形 有一個(gè)面為等邊三角形的四面體 每個(gè)面都是等邊三角形的四面體 每個(gè)面都是直角三角形的四面體 解析 如圖D26 四邊形AA1C1C為矩形 三棱錐B1 A1BC1就是有三個(gè)面為等腰直角三角形 有一個(gè)面為等邊三角形的四面體 三棱錐D A1BC1就是每個(gè)面都是等邊三角形的四面體 三棱錐A1 ABC就是每個(gè)面都是直角三角形的四面體 圖D26 答案 互動(dòng)探究 1 正五棱柱中 不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線 那么一個(gè)正五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共 有 D A 20條C 12條 B 15條D 10條 解析 正五棱柱中 上底面中的每一個(gè)頂點(diǎn)均可與下底面中的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成對(duì)角線 所以一個(gè)正五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有5 2 10 條 考點(diǎn)2 幾何體的三視圖 例2 1 2014年新課標(biāo) 如圖8 1 5 網(wǎng)格紙的各小格都是正方形 粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖 則這個(gè)幾何 體是 圖8 1 5 A 三棱錐 B 三棱柱 C 四棱錐 D 四棱柱 解析 根據(jù)三視圖的法則 長對(duì)正 高平齊 寬相等 可 得幾何體如圖D27 圖D27 答案 B 答案 D 規(guī)律方法 畫三視圖應(yīng)遵循 長對(duì)正 高平齊 寬相等 的原則 即 正 俯視圖一樣長 正 側(cè)視圖一樣高 俯 側(cè)視圖一樣寬 看得見的線條為實(shí)線 被遮擋的線條為虛線 互動(dòng)探究 2 將正方體 如圖8 1 6 截去兩個(gè)三棱錐 得到如圖8 1 7 所示的幾何體 則該幾何體的側(cè)視圖為 圖8 1 6 圖8 1 7 解析 畫出三視圖 如圖D28 故選B 圖D28 答案 B 考點(diǎn)3 幾何體的直觀圖 例3 已知正三角形ABC的邊長為a 那么ABC的平面 直觀圖A B C 的面積為 解析 如圖8 1 8 1 2 所示的實(shí)際圖形和直觀圖 圖8 1 8 答案 D 規(guī)律方法 用斜二測(cè)畫法畫直觀圖 關(guān)鍵是掌握水平放置的平面圖形直觀圖的畫法 而其中的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置 將直觀圖還原為其空間幾何體時(shí) 應(yīng)抓住斜二測(cè)畫法的規(guī)則 先畫出正三角形ABC的平面直觀圖A B C 再求A B C 的高即可 本題采用斜二測(cè)畫法作其直觀圖時(shí) 底不變 第三個(gè)頂點(diǎn)在y 軸上 長度為原高的一半 但它還 互動(dòng)探究 3 一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45 腰和上底長均為1的等腰梯形 則該平面圖形的面積等于 D 易錯(cuò) 易混 易漏 將三視圖還原成幾何體時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)的判斷產(chǎn)生錯(cuò)誤例題 2013年山西診斷 如圖8 1 9 水平放置的三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為2 且側(cè)棱AA1 底面A1B1C1 正視圖是 邊長為2的正方形 該三棱柱的側(cè)視圖面積為 圖8 1 9 答案 B 失誤與防范 三視圖還原求面積或體積時(shí)一定要注意幾何體擺放的形式 所給數(shù)據(jù)究竟是棱長還是棱的投影 高 第2講 空間幾何體的表面積和體積 1 柱 錐 臺(tái)和球的側(cè)面積和體積 2 rh 續(xù)表 4 R2 2 幾何體的表面積 1 棱柱 棱錐 棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和 2 圓柱 圓錐 圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是矩形 扇形 扇 環(huán)形 它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和 3 等積法的應(yīng)用 1 等積法 等積法包括等面積法和等體積法 2 等積法的前提是幾何圖形 或幾何體 的面積 或體積 通過已知條件可以得到 利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高 特別是求三角形的高和三棱錐的高 這一方法回避了具體通過作圖得到三角形 或三棱錐 的高 而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值 1 2013年廣東 某三棱錐的三視圖如圖8 2 1 則該三棱 錐的體積是 B 圖8 2 1 A 16 B 13 C 23 D 1 3 已知四棱錐P ABCD的底面是邊長為6的正方形 側(cè)棱PA 底面ABCD 且PA 8 則該四棱錐的體積是 96 C 4 如圖8 2 2 一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是底為1 高為2的矩形 俯視圖是一個(gè)圓 那么這個(gè)幾何體的表 面積為 圖8 2 2 考點(diǎn)1 幾何體的面積 答案 12 2 2013年重慶 某幾何體的三視圖如圖8 2 3 則該幾何體 的表面積為 圖8 2 3 A 180 B 200 C 220 D 240 解析 幾何體為直四棱柱 其高為10 底面是上底為2 40 四個(gè)側(cè)面的面積和為 2 8 5 2 10 200 所以四棱柱的表面積為S 40 200 240 故選D 答案 D 規(guī)律方法 第 1 小題是求實(shí)體的面積 第 2 小題只是給出幾何體的三視圖 求該幾何體的表面積時(shí) 先要根據(jù)三視圖畫出直觀圖 再確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征 最后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算 注意表面積包括底面等腰梯形的面積 互動(dòng)探究 1 2013年陜西 某幾何體的三視圖如圖8 2 4 則其表面 積為 3 圖8 2 4 考點(diǎn)2 幾何體的體積 例2 1 2014年安徽 一個(gè)多面體的三視圖如圖8 2 5 則 該多面體的體積是 圖8 2 5 A 233 B 476 C 6 D 7 解析 由題意 該多面體的直觀圖是一個(gè)正方體ABCD A B C D 挖去左下角三棱錐A EFG和右上角三棱錐C E F G 如圖D29 則多面體的體積為V 2 2 2 圖D29 答案 A 答案 C 圖D30 規(guī)律方法 求幾何體的體積時(shí) 若所給的幾何體是規(guī)則的柱體 錐體 臺(tái)體或球體 可直接利用公式求解 若是給出幾何體的三視圖 求該幾何體的體積時(shí) 先要根據(jù)三視圖畫出直觀圖 再確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征 最后利用有關(guān)公式進(jìn)行 互動(dòng)探究 2 2012年廣東 某幾何體的三視圖如圖8 2 6 則它的體 積為 圖8 2 6 A 12 B 45 C 57 D 81 答案 C 考點(diǎn)3 立體幾何中的折疊與展開 例3 2014年上海 底面邊長為2的正三棱錐P ABC 其表面展開圖是三角形P1P2P3 如圖8 2 7 求 P1P2P3的各邊長及此三棱錐的體積V 解 由題意知 在 P1P2P3中 P1A P3A P1B P2B P2C P3C 所以AB AC BC是 P1P2P3的三條中位線 圖8 2 7 互動(dòng)探究 3 圓柱的軸截面是邊長為5cm的正方形ABCD 求圓柱的側(cè)面上從A到C的最短距離 圖D31 難點(diǎn)突破 利用函數(shù)的方法解決立體幾何問題 圖8 2 8 規(guī)律方法 有關(guān)立體幾何與函數(shù)的綜合問題 一般是以立體幾何為主體 求出有關(guān)線段的長度 有關(guān)角度的三角函數(shù) 有關(guān)平面圖形或旋轉(zhuǎn)體的面積 幾何體的體積 以建立函數(shù)關(guān)系式 再利用導(dǎo)數(shù) 或基本不等式 求出最值 注意建立函數(shù)關(guān)系式一定要準(zhǔn)確 求函數(shù)最值的各種方法都要了解 x f x f x 的變化情況如下表 四邊形PDEF為平行四邊形 ED FP A P AP PB PF A B A B DE 圖D32 第3講 點(diǎn) 直線 平面之間的位置關(guān)系 1 平面基本性質(zhì)即三條公理的 圖形語言 文字語 言 符號(hào)語言 列表 續(xù)表 公理2的三條推論 推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn) 有且只有一 個(gè)平面 推論2 經(jīng)過兩條相交直線 有且只有一個(gè)平面 推論3 經(jīng)過兩條平行直線 有且只有一個(gè)平面 l A B C不共線 A B C確定平面 P P 公理4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行 等角定理 空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行 那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 2 空間線 面之間的位置關(guān)系 異面 無數(shù)個(gè) 沒有 3 異面直線所成的角過空間任一點(diǎn)O分別作異面直線a與b的平行線a 與b 那么直線a 與b 所成的 叫做異面直線a與b所成的角 或夾角 其范圍是 銳角或直角 0 90 1 2013年安徽蚌埠二模 l1 l2 l3是空間三條不同的直線 則下列命題正確的是 B A l1 l2 l2 l3 l1 l3B l1 l2 l2 l3 l1 l3C l1 l2 l3 l1 l2 l3共面D l1 l2 l3共點(diǎn) l1 l2 l3共面 2 若空間中有兩條直線 則 這兩條直線為異面直線 是 A 這兩條直線沒有公共點(diǎn) 的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件 3 在長方體ABCD A1B1C1D1中 既與AB共面也與CC1 共面的棱的條數(shù)為 C A 3條 B 4條 C 5條 D 6條 解析 如圖D33 用列舉法知 符合要求的棱為 BC CD C1D1 BB1 AA1 故選C 圖D33 D 4 若A B A l B l P l 則 A P B P C l D P 考點(diǎn)1 平面的基本性質(zhì) 例1 若直線l不平行于平面 且l 則 A 內(nèi)的所有直線與l異面B 內(nèi)不存在與l平行的直線C 內(nèi)存在唯一的直線與l平行D 內(nèi)的直線與l都相交 解析 不妨設(shè)直線l M 過點(diǎn)M的 內(nèi)的直線與l不異面 故A錯(cuò)誤 假設(shè)存在與l平行的直線m 則由m l 得l 這與l M矛盾 故B正確 C顯然錯(cuò)誤 內(nèi)存在與l異面的直線 故D錯(cuò)誤 故選B 答案 B 規(guī)律方法 直線在平面內(nèi)也叫平面經(jīng)過直線 如果直線不在平面內(nèi) 記作l 包括直線與平面相交及直線與平面平行兩種情形 反映平面基本性質(zhì)的三個(gè)公理是研究空間圖形和研究點(diǎn) 線 面位置關(guān)系的基礎(chǔ) 三個(gè)公理也是立體幾何作圖和邏輯推理的依據(jù) 公理1是判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù) 公理2的作用是確定平面 這是把立體幾何轉(zhuǎn)化成平面幾何的依據(jù) 公理3是證明三 多 點(diǎn)共線或三線共點(diǎn)的依據(jù) 互動(dòng)探究 1 下列推斷中 錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是 A A l A B l B l A B C A B C 且A B C不共線 重合 l A l A A 1個(gè)C 3個(gè) B 2個(gè)D 0個(gè) 考點(diǎn)2 空間內(nèi)兩直線的位置關(guān)系 例2 如圖8 3 1 在正方體ABCD A1B1C1D1中 M N分 別是BC1 CD1的中點(diǎn) 則下列判斷錯(cuò)誤的是 圖8 3 1 A MN與CC1垂直C MN與BD平行 B MN與AC垂直D MN與A1B1平行 答案 D 規(guī)律方法 判斷直線是否平行比較簡(jiǎn)單直觀 可以利用公理4 判斷直線是否異面則比較困難 掌握異面直線的兩種判斷方法 反證法 先假設(shè)兩條直線不是異面直線 即兩條直線平行或相交 再由假設(shè)的條件出發(fā) 經(jīng)過嚴(yán)格的推理 導(dǎo)出矛盾 從而否定假設(shè) 肯定兩條直線異面 在客觀題中 也可用下述結(jié)論 過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線 與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線 互動(dòng)探究 2 如圖8 3 2所示的是正方體和正四面體 P Q R S分別是所在棱的中點(diǎn) 則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是 填上所 有正確答案的序號(hào) 圖8 3 2 3 如圖8 3 3 G H M N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn) 則使直線GH MN是異面直線的圖形有 填上所有正確答案的序號(hào) 圖8 3 3 解析 圖 中 直線GH MN 圖 中 G H N三點(diǎn)在三棱柱的側(cè)面上 MG與這個(gè)側(cè)面相交于G M 平面GHN 因此直線GH與MN異面 圖 中 連接MG GM HN 因此GH與MN共面 圖 中 G M N共面 但H 平面GMN 因此GH與MN異面 答案 考點(diǎn)3 異面直線所成的角 例3 在正方體ABCD A1B1C1D1中 1 求AC與A1D所成角的大小 2 若E F分別為AB AD的中點(diǎn) 求A1C1與EF所成角的大小 解 1 如圖8 3 4 連接AB1 B1C 由ABCD A1B1C1D1是正方體 易知A1D B1C 從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角 AB1 AC B1C B1CA 60 即A1D與AC所成的角為60 圖8 3 4 圖8 3 5 2 如圖8 3 5 連接AC BD 在正方體ABCD A1B1C1D1中 AC BD AC A1C1 E F分別為AB AD的中點(diǎn) EF BD EF AC EF A1C1 即A1C1與EF所成的角為90 規(guī)律方法 求異面直線所成角的基本方法就是平移 有時(shí)候平移兩條直線 有時(shí)候只需要平移一條直線 直到得到兩條相交直線 最后在三角形或四邊形中解決問題 B 考點(diǎn)4 三點(diǎn)共線 三線共點(diǎn)的證明 例4 如圖8 3 6 在正方體ABCD A1B1C1D1中 E F分別是AB和AA1的中點(diǎn) 求證 1 E C D1 F四點(diǎn)共面 2 CE D1F DA三線共點(diǎn) 圖8 3 6 圖8 3 7 同理點(diǎn)P 平面ADD1A1 又平面ABCD 平面ADD1A1 DA 點(diǎn)P 直線DA CE D1F DA三線共點(diǎn) 規(guī)律方法 要證明M N K三點(diǎn)共線 由公理3知 只要證明M N K都在兩個(gè)平面的交線上即可 證明多點(diǎn)共線 問題 可由兩點(diǎn)連一條直線 再驗(yàn)證其他各點(diǎn)均在這條直線上 可直接驗(yàn)證這些點(diǎn)都在同一條特定的直線上 相交兩平面的唯一交線 關(guān)鍵是通過繪出圖形 作出兩個(gè)適當(dāng)?shù)钠矫婊蜉o助平面 證明這些點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn) 互動(dòng)探究 5 在空間四邊形ABCD的邊AB BC CD DA上分別取 E F G H四點(diǎn) 若EF與GH交于點(diǎn)M 則 A A 點(diǎn)M一定在AC上B 點(diǎn)M一定在BD上C 點(diǎn)M可能在AC上 也可能在BD上D 點(diǎn)M既不在AC上 也不在BD上解析 點(diǎn)M在平面ABC內(nèi) 又在平面ADC內(nèi) 故必在交線AC上 第4講 直線 平面平行的判定與性質(zhì) 續(xù)表 1 設(shè)AA 是長方體的一條棱 這個(gè)長方體中與AA 平行 的棱共有 C A 1條 B 2條 C 3條 D 4條 2 b是平面 外一條直線 下列條件中可得出b 的是 D A b與 內(nèi)一條直線不相交B b與 內(nèi)兩條直線不相交C b與 內(nèi)無數(shù)條直線不相交D b與 內(nèi)任意一條直線不相交 3 下列命題中 正確命題的個(gè)數(shù)是 A 若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面 內(nèi) 則l 若直線l與平面 平行 則l與平面 內(nèi)的任意一條直線都平行 如果兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面平行 那么另一條直線也與這個(gè)平面平行 若直線l與平面 平行 則l與平面 內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn) A 1個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè) 4 設(shè)m n表示不同直線 表示不同平面 則下列命 題中正確的是 D A 若m m n 則n B 若m n m n 則 C 若 m m n 則n D 若 m n m n 則n 考點(diǎn)1 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 例1 2013年新課標(biāo) 如圖8 4 1 在直三棱柱ABC A1B1C1中 D E分別是AB BB1的中點(diǎn) 1 證明 BC1 平面A1CD 圖8 4 1 圖D34 1 證明 如圖D34 連接AC1 交A1C于點(diǎn)F 則F為AC1的中點(diǎn) 又 在直三棱柱ABC A1B1C1中 D是AB的中點(diǎn) 故DF為三角形ABC1的中位線 故DF BC1 由于DF 平面A1CD 而BC1 平面A1CD 故有BC1 平面A1CD 規(guī)律方法 證明直線a與平面 平行 關(guān)鍵是在平面 內(nèi)找一條直線b 使a b 如果沒有現(xiàn)成的平行線 應(yīng)依據(jù)條件作出平行線 有中點(diǎn)的常作中位線 互動(dòng)探究 1 如圖8 4 2 A B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn) M N P分別為其所在棱的中點(diǎn) 能得出AB 平面MNP的圖形的序號(hào)是 寫出所有符合要求的圖形序號(hào) 圖8 4 2 并設(shè)直線AC 平面MNP D 則有AB MD M為BC中點(diǎn) D為AC中點(diǎn) 這樣平面MND 平面AB 顯然與題設(shè)條件不符 得不到AB 平面MNP 答案 考點(diǎn)2 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 例2 2013年江蘇 如圖8 4 3 在三棱錐S ABC中 平面SAB 平面SBC AB BC AS AB 過點(diǎn)A作AF SB 垂足為F 點(diǎn)E G分別是棱SA SC的中點(diǎn) 求證 1 平面EFG 平面ABC 2 BC SA 圖8 4 3 證明 1 AS AB AF SB F是SB的中點(diǎn) E F分別是SA SB的中點(diǎn) EF AB 又 EF 平面ABC AB 平面ABC EF 平面ABC 同理 FG 平面ABC 又 EF FG F EF FG 平面EFG 平面EFG 平面ABC 2 平面SAB 平面SBC 且交線為SB AF 平面SAB 且AF SB AF 平面SBC 又 BC 平面SBC AF BC 又 AB BC AB AF A AB AF 平面SAB BC 平面SAB 又 SA 平面SAB BC SA 規(guī)律方法 證明平面與平面平行 就是在一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線平行于另一個(gè)平面 從而將面面平行問題轉(zhuǎn)化為線面平行問題 互動(dòng)探究 2 如圖8 4 4 在正方體ABCD A1B1C1D1中 S是B1D1的 中點(diǎn) E F G分別是BC DC和SC的中點(diǎn) 求證 平面EFG 平面BB1D1D 圖8 4 4 證明 E F分別為BC DC的中點(diǎn) EF為中位線 則EF BD 又EF 平面BB1D1D BD 平面BB1D1D EF 平面BB1D1D 連接SB 同理可證EG 平面BB1D1D 又EF EG E 平面EFG 平面BB1D1D 考點(diǎn)3 線面 面面平行的綜合應(yīng)用 例3 已知有公共邊AB的兩個(gè)正方形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi) P Q分別是對(duì)角線AE BD上的點(diǎn) 且AP DQ 求證 PQ 平面CBE 1 3 2 圖8 4 5 又 PQ 平面CBE PQ 平面POQ PQ 平面CBE 規(guī)律方法 證明線面平行 關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行 方法一是作三角形得到的 方法二是通過作平行四邊形得到在平面內(nèi)的一條直線KH 方法三利用了面面平行的性質(zhì)定理 互動(dòng)探究 3 2014年遼寧 已知m n表示兩條不同的直線 表示平 面 則下列說法正確的是 B A 若m n 則m nB 若m n 則m nC 若m m n 則n D 若m m n 則n 解析 若m n 則m n或m n相交或m n異面 故A錯(cuò)誤 若m n 由直線和平面垂直的定義知 m n 故B正確 若m m n 則n 或n 故C錯(cuò)誤 若m m n 則n與 位置關(guān)系不確定 故D錯(cuò)誤 易錯(cuò) 易混 易漏 立體幾何中的探究性問題 例題 2014年四川 在如圖8 4 6所示的多面體中 四邊形 ABB1A1和ACC1A1都為矩形 1 若AC BC 證明 直線BC 平面ACC1A1 2 設(shè)D E分別是線段BC CC1的中點(diǎn) 則在線段AB上是否存在一點(diǎn)M 使直線DE 平面A1MC 請(qǐng)證明你的結(jié)論 圖8 4 6 正解 1 四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形 AA1 AB AA1 AC AB AC為平面ABC內(nèi)的兩條相交直線 AA1 平面ABC 直線BC 平面ABC AA1 BC 又由已知 AC BC AA1 AC為平面ACC1A1內(nèi)的兩條相 交直線 BC 平面ACC1A1 2 如圖8 4 7 取線段AB的中點(diǎn)M 連接A1M MC A1C AC1 設(shè)O為A1C AC1的交點(diǎn) 圖8 4 7 由已知 O為AC1的中點(diǎn) 如圖8 4 7 連接MD OE 第5講 直線 平面垂直的判定與性質(zhì) 1 線面垂直與面面垂直 垂直 續(xù)表 2 直線與平面所成的角 1 如果直線與平面平行或者在平面內(nèi) 那么直線與平面所 成的角等于0 2 如果直線和平面垂直 那么直線與平面所成的角等于 90 3 平面的斜線與它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線與平面所成的角 其范圍是 0 90 斜線與平面所成的線面角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角 3 二面角從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面組成的圖象叫做二面角 從二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn) 在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線 這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角 平面角 是直角的二面角叫做 直二面角 D 1 垂直于同一條直線的兩條直線一定 A 平行B 相交C 異面D 以上都有可能 2 給定空間中的直線l及平面 條件 直線l與平面 內(nèi) 無數(shù)條直線都垂直 是 直線l與平面 垂直 的 C A 充要條件C 必要非充分條件 B 充分非必要條件D 既非充分又非必要條件 3 如圖8 5 1 在正方體ABCD A1B1C1D1中 下列結(jié)論中 正確的個(gè)數(shù)是 D 圖8 5 1 BD1 AC BD1 A1C1 BD1 B1C A 0個(gè) B 1個(gè) C 2個(gè) D 3個(gè) 4 已知三條直線m n l 三個(gè)平面 下面四個(gè)命 題中 正確的是 D 考點(diǎn)1 直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 例1 2014年山東 如圖8 5 2 在四棱錐P ABCD中 APE F分別為線段AD PC的中點(diǎn) 1 求證 AP 平面BEF 2 求證 BE 平面PAC 圖8 5 2 2 由題意知 ED BC ED BC 四邊形BCDE為平行四邊形 因此BE CD 又AP 平面PCD AP CD 因此AP BE 四邊形ABCE為菱形 BE AC 又AP AC A AP AC 平面PAC BE 平面PAC 規(guī)律方法 直線與直線垂直 直線與平面垂直 平面與平面垂直 直線與平面垂直 直線與直線垂直 通過直線與平面位置關(guān)系的不斷轉(zhuǎn)化來處理有關(guān)垂直的問題 出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí) 平行要聯(lián)想到三角形中位線 垂直要聯(lián)想到三角形的高 出現(xiàn)圓周上的點(diǎn)時(shí) 聯(lián)想到直徑所對(duì)的圓周角為直角 互動(dòng)探究 1 如圖8 5 3 PA O所在的平面 AB是 O的直徑 C是 O上的一點(diǎn) E F分別是A在PB PC上的射影 則下 列結(jié)論中正確命題的個(gè)數(shù)是 圖8 5 3 AF PB EF PC AF BC AE 平面PBC A 1個(gè)C 3個(gè) B 2個(gè)D 4個(gè) 解析 正確 又AF 平面PBC 假設(shè)AE 平面PBC AF AE 顯然不成立 故 錯(cuò)誤 答案 C 考點(diǎn)2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 例2 2014年江蘇 如圖8 5 4 在三棱錐P ABC中 D E F分別為棱PC AC AB的中點(diǎn) 已知PA AC PA 6 BC 8 DF 5 求證 1 直線PA 平面DEF 2 平面BDE 平面ABC 圖8 5 4 證明 1 D E分別是PC AC的中點(diǎn) PA DE 又DE 平面DEF 且PA 平面DEF 直線PA 平面DEF 2 由 1 知 PA DE 又PA AC DE AC 又F是AB的中點(diǎn) 又DF 5 DE2 EF2 DF2 即DE EF 又EF AC E DE 平面ABC 又DE 平面BDE 故平面BDE 平面ABC 規(guī)律方法 證明兩個(gè)平面互相垂直 就是證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線 從而將面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為線面垂直的問題 互動(dòng)探究 2 如圖8 5 5 在立體圖形D ABC中 若AB CB AD CD E是AC的中點(diǎn) 則下列結(jié)論正確的是 A 平面ABC 平面ABDB 平面ABD 平面BDCC 平面ABC 平面BDE 且平面ADC 平面BDED 平面ABC 平面ADC 且平面ADC 平面BDE 圖8 5 5 解析 要判斷兩個(gè)平面的垂直關(guān)系 就需找一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面垂直 因?yàn)锳B CB 且E是AC的中點(diǎn) 所以BE AC 同理有DE AC 于是AC 平面BDE 因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi) 所以平面ABC 平面BDE 又由于AC 平面ACD 所以平面ACD 平面BDE 故選C 答案 C 考點(diǎn)3 線面所成的角 例3 如圖8 5 6 在正方體ABCD A1B1C1D1中 求A1B與平面A1B1CD所成的角 圖8 5 6解 如圖8 5 6 連接BC1 交B1C于點(diǎn)O 連接A1O 設(shè)正方體的棱長為a 又 BA1O為銳角 BA1O 30 故A1B與平面A1B1CD所成的角為30 規(guī)律方法 求直線和平面所成的角時(shí) 應(yīng)注意的問題是 先判斷直線和平面的位置關(guān)系 當(dāng)直線和平面斜交時(shí) 常有以下步驟 作 作出或找到斜線與平面所成的角 證 論證所作或找到的角為所求的角 算 常用解三角形的方法求角 結(jié)論 點(diǎn)明斜線和平面所成角的值 解析 如圖D36 連接AC交BD于點(diǎn)O 連接C1O 過點(diǎn)C作CH C1O于點(diǎn)H 圖D36 互動(dòng)探究 3 2013年大綱 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于 難點(diǎn)突破 立體幾何中的探究性問題 例題 已知四棱錐P ABCD的直觀圖及三視圖如圖8 5 7 1 求四棱錐P ABCD的體積 2 若點(diǎn)E是側(cè)棱PC的中點(diǎn) 求證 PA 平面BDE 3 若點(diǎn)E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn) 是否無論點(diǎn)E在什么位置 都有BD AE 并證明你的結(jié)論 圖8 5 7 思維點(diǎn)撥 1 由直觀圖三視圖確定棱錐的底面和高 再求 體積 2 欲證PA 平面BDE 需找一個(gè)經(jīng)過PA與平面BDE相交的平面 結(jié)合E為PC的中點(diǎn) AC與BD的交點(diǎn)為AC的中點(diǎn) 故取平面PAC 3 無論點(diǎn)E在PC上的什么位置 都有BD AE 的含 義是BD 平面PAC 2 證明 如圖8 5 8 連接AC 交BD于點(diǎn)F 則F為AC 的中點(diǎn) 圖8 5 8 又 E為PC的中點(diǎn) PA EF 又PA 平面BDE EF 平面BDE PA 平面BDE 3 解 無論點(diǎn)E在什么位置 都有BD AE 證明如下 四邊形ABCD是正方形 BD AC PC 底面ABCD 且BD 平面ABCD BD PC 又AC PC C BD 平面PAC 無論點(diǎn)E在PC上什么位置 都有AE 平面PAC 無論點(diǎn)E在PC上什么位置 都有BD AE