2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 (I).doc

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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 (I) 一、選擇題（每小題5分，共8小題，共40分） 1．復(fù)數(shù)，則（ ） A．0 B． C．1 D． 2．已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且，則的值為（ ） A．16 B．15 C．14 D．13 3．下列敘述中正確的是（ ） A．若，則“”的充分條件是“” B．若，則“”的充要條件是“” C．命題“”的否定是“” D．是等比數(shù)列，則是為單調(diào)遞減數(shù)列的充分條件 4．已知直線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓在第二象限的交點(diǎn)為M，與軸的交點(diǎn)為N，是橢圓的右焦點(diǎn),且，則橢圓的方程為（ ） A． B． C． D． 5．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為（ ） A． B． C． D． 6．已知，，則是的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 7．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則不等式的解集為（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（ ） A． B． C． D． 二、填空題（每小題5分，共6小題，共30分） 9．已知方程表示橢圓，則的取值范圍為_(kāi)_________. 10．設(shè)公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則__________. 11．在正四面體中，棱長(zhǎng)為2，且E是棱中點(diǎn)，則的值為_(kāi)_________. 12．已知，，且，則的最小值等于__________. 13．設(shè)拋物線 （）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.過(guò)焦點(diǎn)的直線分別交拋物線于兩點(diǎn)，分別過(guò)作的垂線，垂足為. 若，且三角形的面積為，則的值為_(kāi)__________. 14．已知函數(shù)，若是函數(shù)唯一的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________. 三、解答題（共6小題，共80分） 15．（13分）數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，. 其中 （Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 16．（13分）已知函數(shù)在處取得極值. （Ⅰ）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 17．（13分）在如圖所示的多面體中，平面，平面，，且，是的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求平面與平面所成的二面角的正弦值； （Ⅲ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與 平面所成的角是. 若存在，指出點(diǎn)的位置； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 18．（13分）已知數(shù)列滿足，，其中 （Ⅰ）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 19．（14分）已知橢圓：的離心率，左頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn). 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn). （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）已知為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，對(duì)于任意的都有，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由； （Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn)，求的最大值. 20．（14分）已知函數(shù)，. （Ⅰ）若在處取得極值，求的值； （Ⅱ）設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)滿足，求證：.  高二數(shù)學(xué)參考答案 1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．A 7．C 8．A 9． 10．2 11． 12． 13． 14． 15． （Ⅰ）證明：∵，∴， ∴， 又，∴， ∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.…………… …………… 6分 （Ⅱ）由（1）知，， ∴， ∴ ，① . ② ①-②得 ， ∴. …………… …………… 7分 16． （Ⅰ）時(shí)，取得極值， 故解得.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意。 …………… …………… 6分 （Ⅱ）由知， 得 令 則在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 等價(jià)于上恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根. 當(dāng)時(shí)，，于是上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞增； 依題意有 解得 . …………… ……………7分 17．（Ⅰ）證明：∵， 是的中點(diǎn)，∴， 又平面，∴， ∵，∴平面， ∴． …………… …………… 3分 （Ⅱ）以為原點(diǎn)，分別以， 為， 軸，如圖建立坐標(biāo)系．則： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 設(shè)平面的一個(gè)法向量，則： ， 取， ， ，所以， 設(shè)平面的一個(gè)法向量，則： 取， ， ，所以， ． 故平面與平面所成的二面角的正弦值為． …………… …………… 5分 （Ⅲ）在棱上存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角是， 設(shè)且， ， ∴， ∴， ， ，∴， 若直線與平面所成的的角為，則： ， 解得， 所以在棱上存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角是， 點(diǎn)為棱的中點(diǎn)． …………… …………… 5分 18．（Ⅰ）證明：， 所以數(shù)列是等差數(shù)列， ，因此， 由. …………… …………… 6分 （Ⅱ）由， 所以， 所以， 因?yàn)?，所以恒成立? 依題意要使對(duì)于，恒成立，只需，且解得，的最小值為. …………… …………… 7分 19．（Ⅰ）∵左頂點(diǎn)為 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．…………… ……3分 （Ⅱ）直線的方程為，由消元得 化簡(jiǎn)得， ，則 當(dāng)時(shí)， ， ∴ ∵點(diǎn)為的中點(diǎn) ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，則. 直線的方程為，令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，假設(shè)存在定點(diǎn)使得,則，即恒成立， ∴恒成立 ∴即 ∴定點(diǎn)的坐標(biāo)為. …………… …………… 5分 （Ⅲ）∵ ∴的方程可設(shè)為，由得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 由，得 ， 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)， ∴當(dāng)時(shí)， 的最小值為． 所以，原式最大值為 …………… …………… 6分 20．（Ⅰ）解：因?yàn)椋裕? 因?yàn)樵谔幦〉脴O值， 所以，解得． 驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，在處取得極大值． …………… …………3分 （Ⅱ）解：因?yàn)? 所以． ①若，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減． ②若，， 當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減． …………… …………… 5分 （Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，， 因?yàn)椋? 所以， 即， 所以． 令，， 則， 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增． 所以函數(shù)在時(shí)，取得最小值，最小值為． 所以， 即，所以或． 因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以． 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在滿足條件， 所以． …………… …………… 6分